1610907243-ac283de454695bb7f2524e2bfa39689d (824397), страница 66
Текст из файла (страница 66)
Действительно,z→+0 +∞ZZ+∞sin(zy)dyπzπ 0dy 6 z=.I (z) + = 2221+y2 y(1 + y ) 00Задача Коши00 I (z) = I(z),I(0) = π2 , 0I (0) = − π2 ,имеет решениеI(z) = I(0)e−z =π −ze .2Следовательно,a(λ) =2παZ+∞cos(αλy)1dy = e−αλ .21+yα0682Тогда интеграл Фурье имеет вид1=α2 + x2Z+∞1 −αλecos(λx) dλ.α0•7.3Задача № 2.1, §17, C. 373, [5]Записать интеграл Фурье функции f (x) =Решение.xα2 +x2 ,α > 0.Отметим, что f ∈/ L1 (R), но f ∈ L2 (R) и f (x) & 0 при x → +∞,f (x) % 0 при x → −∞; a(λ) = 0,2b(λ) =πZ+∞t sin(λt)dt.α2 + t20Этот интеграл сходится при λ > 0 и сходится равномерно при λ > δ попризнаку Дирихле. Таким образом, его можно представить как +∞Z+∞Zd 22t sin(λt)cos(λt) dt=−dt = e−αλ , λ > 0.2222πα +tdλ πα +t00Тогда интеграл Фурье имеет видx=α2 + x2Z+∞e−αλ sin(λx) dλ.0•7.4Задача № 3.3, §17, C. 373, [5]2Записать интеграл Фурье функции f (x) = e−x .Решение.Отметим, что f ∈ L1 (R), и f ∈ L2 (R).
b(λ) = 0Z+∞22a(λ) =e−t cos(λt) dt.π0683Этот интеграл сходится равномерно при λ > 0 по признаку Вейерштрасса. +∞ZZ+∞d 2222a0 (λ) =e−t cos(λt) dt = −te−t sin(λt) dt =dλ ππ00λ−πZ+∞λ2e−t cos(λt) dt = − a(λ),202λa(λ) = a(0) exp −4Тогда интеграл Фурье имеет видe−x21=√π 2λ1= √ exp −.4π 2Z+∞λexp −cos(xλ) dλ.40•Домашняя работаПредставить функцию f (x) интегралом Фурье:7.5Задача № 4.1, §17, C. 374, [5](e−αx , x > 0, α > 0,f (x) =0,x < 0.7.6Задача № 4.2, §17, C. 374, [5](e−αx sin(ωx), x > 0, α > 0,f (x) =0,x < 0.7.7Задача № 5.1, §17, C. 374, [5]Представить интегралом Фурье функцию f (x), продолжив ее нечетным образом на интервал (−∞, 0), если:(f (x) =sin x, x ∈ [0, π],0,x > π.6847.8Задача № 6.1, §17, C. 374, [5]Представить интегралом Фурье функцию f (x), продолжив ее четным образом на интервал (−∞, 0), если:f (x) = e−αx ,8x > 0, α > 0.Seminar on 28.02.2019.
Room 405.Введем обозначение:1fb(λ) = √2πZ+∞f (t) e−iλt dt.−∞fb называется преобразованием Фурье функции f . Мы будем также использовать для преобразования Фурье обозначение F (f ). Согласно формуле Фурьесправедлива формула обращения преобразования Фурье:1f (x) = √2πZ+∞fb(λ) eiλx dλ.−∞Выражение в правой части называется обратным преобразованием Фурьеи обозначается F −1 . Для того, чтобы формула обращения была справедлива, необходимо наложить на функцию f некоторые ограничения (например,условие Дини).Утверждение. Если fk → f в L1 (R), то F (fk ) → F (f ) равномерно на R. •Утверждение.
Если f ∈ L1 (R), то F (f ) определено всюду в R и ограничено:|F (f )| 6 (2π)−1/2 kf kL1 (R) .•Теорема 8.1. Если f ∈ L1 (R), то F (f ) ∈ C(R) и F (f )(x) → 0 при x → ±∞.Теорема 8.2. Если f ∈ L1 (R), f 0 ∈ L1 (R) и f ∈ C 1 (R), то F (f 0 )(λ) =iλF (f )(λ).Теорема 8.3.
Если f ∈ L1 (R) и xf (x) ∈ L1 (R), то F (f ) дифференцируемавсюду на R иddλ F (f )= −iF (xf ).6858.1Задача № 8.2, §17, C. 374, [5]2Найти преобразование Фурье функции f (x) = exp(− x2 ).Решение. Способ 1.1fb(λ) = √2πZ+∞Z+∞ 2Z+∞ 2tt11f (t)e−iλt dt = √e− 2 −iλt dt = √e− 2 −iλt dt =2π2π−∞1√2π−∞Z+∞22λ2− t2 −iλt− (iλ)2 − 2e−∞−∞λ2e− 2dt = √2πZ+∞2e√ )−( t+iλ2dt =−∞λ2e− 2√πZ+∞λ22e−z dz = e− 2 .−∞Здесь мы использовали интеграл Эйлера-Пуассона+∞R2e−z dz =√π. См.
ма-−∞териал третьего семестра 13.2, 24.7.Рассмотримr Z+∞Z+∞t221f (t)e−iλt dt =e− 2 cos(λt) dt.fb(λ) = √π2πРешение. Способ 2.−∞0В свою очередь,r Z+∞r Z+∞2tt222t e− 2 sin(λt) dt = −λe− 2 cos(λt) dt = −λfb(λ).fb0 (λ) = −ππ00(fb0 (λ) = −λfb(λ),Получим задачу Кошикоторая имеет решение fb(λ) =bf (0) = 1,λ2e− 2 . См. задачу 7.4.8.2Задача № 7.1, §17, C. 374, [5]Найти образ преобразования Фурье функции(1, |x| < 1,f (x) =0, |x| > 1686исследовать гладкость, интегрируемость образа;вычислить обратное преобразование.Решение.Функция f является четной и f ∈ L1 (R).
Следовательно, образ fbсуществует и является вещественнозначным:1fb(λ) = F (f ) = √2πZ+∞Z11e−iλt f (t) dt = √e−iλt dt =2π−∞Z11√2π−1−1r2 sin(λt) 12 sin λ(cos(λt) − i sin(λt)) dt = √. =0π λ2π λПоскольку f ∈ L1 (R), то несобственные интеграл+∞Rcos(λt)f (t) dt сходится−∞равномерно по λ ∈ R в силу признака Вейерштрасса. Следовательно, fb ∈C(R) и lim fb(λ) = 0:λ→∞Вычислим обратное преобразование Фурье.Z+∞Z+∞11F −1 (fb) = √eiλx fb(λ) dλ = √fb(λ) cos(λx) dλ =2π2π−∞Z+∞2π−∞sin λ1cos(λx) dλ =λπ0Z+∞sin((1 + x)λ)dλλ0+1πZ+∞sin((1 − x)λ)1dλ = (sgn(1 + x) + sgn(1 − x)).λ20См. интеграл Дирихле 12.7.8.3Задача 3884, [2]Найти образ Фурье функции(f (x) =h 1−0,687|x|a, |x| 6 a,|x| > a,исследовать гладкость и интегрируемость образа, a > 0.Решение.
Функция f является четной и f ∈ L1 (R). Следовательно, образ fbсуществует и является вещественнозначным:1fb(λ) = F (f ) = √2π1√2πZaZ+∞e−iλt f (t) dt =−∞r Za 2|t|tcos(λt) dt =cos(λt) dt =h 1−h 1−aπa−a0r Zar Za22thh cos(λt) dt −cos(λt) dt =ππa0r02 h sin(λa)·−πλrZa2 h t sin(λt) a 1· ·sin(λt) dt = −0π aλλ0rr2 h (1 − cos(λa))2 h 2 sin2 ( λa2 )· ·=··.π aλ2π aλ2Легко видеть, что fb ∈ C(R) и fb ∈ L1 (R).Найти преобразование Фурье функции f (x).8.4Пример 2.1, §17, C. 372, [5]f (x) = exp(−α|x|),Решение.(α > 0)Так как функция f абсолютно интегрируема на R, то ее преобра-зование Фурье существует и выражается формулой688Способ 1. 0ZZ+∞Z+∞11F (f ) = √e−(α+iλ)t dt =e−α|t| e−iλt dt = √ e(α−iλ)t dt +2π2π−∞−∞0 (α−iλ)t −(α+iλ)t +∞0ee1111√=√+= −2π (α − iλ) −∞ (α + iλ) 02π (α − iλ) (α + iλ)r2α· 2.π α + λ2Способ 2.1F (f ) = √2π8.5r Z+∞rZ+∞22αe−α|t| e−iλt dt =· 2.e−αt cos(λt) dt =ππ α + λ2−∞0Пример 2.2, §17, C. 372, [5]f (x) = x2 exp(−|x|).Решение.2 −|x|F (f )(λ) = F (x e8.6001 −|x|F (e )(λ) =)(λ) =(−i)2!00rr212 (1 − 3λ2 )−·=2·.π 1 + λ2π (1 + λ2 )3Пример 2.3, §17, C.
372, [5]d3f (x) = 3dxРешение.11 + x2.Нечетная производная четной функции будет нечетной функцией.Следовательно образ будет чисто-мнимым.1F (f ) = (iλ)3 F () = (iλ)31 + x2r2πZ+∞0689cos(λt)dt = (iλ)31 + t2rπ −|λ|e .2Здесь мы использовали интеграл ЛапласаZ+∞cos(λt)π −|λ|dt=e .1 + t220См. задачу 7.2.Домашняя работаНайти преобразование Фурье функции f (x).8.7Задача № 7.2, §17, C. 374, [5](eix , |x| 6 π,f (x) =0, |x| > π8.8Задача № 7.3, §17, C. 374, [5](cos x, |x| 6 π,f (x) =0, |x| > π8.9Задача № 7.4, §17, C. 374, [5](sin x, |x| 6 π,f (x) =0, |x| > π8.10Задача № 8.3, §17, C.
374, [5]x2f (x) = e− 2 cos(αx), α ∈ R.См. задачу 9.4.8.11Задача № 8.6, §17, C. 374, [5]d2f (x) = 2 (xe−|x| ).dx6908.129Задача № 9.1, §17, C. 374, [5](x sin x, |x| 6 π,f (x) =0, |x| > πSeminar on 04.03.2019. Преобразование Фурье. Свертка. Теорема ПланшереляОтметим, что преобразование Фурье определяется в смысле p.v.См. материал второго семестра 13Сверткой функций f, g ∈ L1 (R) называется функция1(f ∗ g)(x) = √2πZ+∞f (t)g(x − t) dt.−∞Теорема 9.1. Если f, g ∈ L1 (R), то F (f ∗ g) = F (f ) · F (g).Если f ∈ L2 (R), то, вообще говоря, f 6∈ L1 (R) и поэтому преобразование Фурье F (f ) в обычном смысле не определено.
Тем не менее, мы можемобобщить понятие преобразования Фурье так, чтобы оно было определено нафункциях из L2 (R) и совпадало с классическим на функциях из L1 (R).Теорема 9.2. (Теорема Планшереля). Пусть f ∈ L2 (R) и+mR1√gm (λ) = 2πf (x) e−iλx dx. Тогда−m2а) gm ∈ L (R) для всех m ∈ N;б) последовательность {gm } сходится в L2 (R) при m → ∞ к некоторойфункции g ∈ L2 (R), причем kgkL2 (R) = kf kL2 (R) ;в) если f ∈ L2 ∩L1 (R), то g = F (f ). Функция g называется преобразованиемФурье функции f ∈ L2 (R).9.1Задача 16.2, §17, C. 375, [5]Пусть функции f и g непрерывны, ограничены и абсолютно интегрируемына R. Доказать, чтоF (f ∗ g) = F (f ) · F (g).691См.
теорему 9.1Решение.Z+∞Z+∞11F (f ∗ g) = √e−iλt √f (y)g(t − y) dy dt =2π2π−∞ −∞ +∞+∞ZZ11√f (y) √e−iλt g(t − y) dt dy =2π2π−∞−∞+∞+∞ZZ11√e−iλy f (y) √e−iλ(t−y) g(t − y) d(t − y) dy =2π2π−∞−∞Z+∞Z+∞11√e−iλy f (y) √e−iλz g(z) dz dy.2π2π−∞−∞Пусть fb(λ) = F (f (x))(λ). Доказать, что:9.2Задача 10.1, §17, C.
375, [5]F (eiαx f (x)) = fb(λ − α),Решение.1F (eiαx f (x)) = √2π9.3α ∈ R;Z+∞e−i(λ−α)t f (t) dt = fb(λ − α).−∞Задача 10.2, §17, C. 375, [5]F (f (x − α)) = e−iαλ fb(λ),α ∈ R;Решение.Z+∞Z+∞11F (f (x − α)) = √e−iλt f (t − α) dt = √e−iλ(z+α) f (z) dz =2π2π−∞−∞e−iαλ fb(λ).6929.4Задача 10.3, §17, C. 375, [5]F (cos(αx) · f (x)) =fb(λ − α) + fb(λ + α),2α ∈ R;Решение.1F (cos(αx) · f (x)) = √2π1√2πZ+∞e−iλt f (t) cos(αt) dt =−∞Z+∞ 1 Z+∞11√e−iλt f (t) · · eiαt + e−iαt dt =e−i(λ−α)t f (t) dt+222π−∞−∞1√2π9.5Z+∞e−i(λ+α)t fb(λ − α) + fb(λ + α)f (t) dt =.2−∞Задача 10.4, §17, C. 375, [5]F (sin(αx) · f (x)) =fb(λ − α) − fb(λ + α),2iα ∈ R.Решение.1F (sin(αx) · f (x)) = √2π1√2πZ+∞e−iλt f (t) sin(αt) dt =−∞Z+∞−∞ 1 Z+∞11√e−iλt f (t) · · eiαt − e−iαt dt =e−i(λ−α)t f (t) dt−2i2i2π−∞1√2π9.6Z+∞−i(λ+α)te fb(λ − α) − fb(λ + α)f (t) dt =.2i−∞Задача 13, §17, C.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
