1610907243-ac283de454695bb7f2524e2bfa39689d (824397), страница 70

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 70)

Тогда касательное пространство к многообразию в точке (x0 , y0 ):T(x0 ,y0 ) M = {(h1 , h2 ) ∈ R2 | 2x0 h1 + 2y0 h2 = 0}72414.5ПримерДано многообразие, заданное неявно: x2 + y 2 + z 2 = 1. Тогда касательноепространство к многообразию в точке (x0 , y0 , z0 ):T(x0 ,y0 ,z0 ) M = {(h1 , h2 , h3 ) ∈ R3 | 2x0 h1 + 2y0 h2 + 2z0 h3 = 0}Касательная плоскость:x0 (x − x0 ) + y0 (y − y0 ) + z0 (z − z0 ) = 0.Написать уравнение касательной плоскости к поверхности в заданной ее точке (x0 , y0 , z0 ):14.6Задача № 4.1, §6, [5]. Эллипсоид.x2 y 2 z 2++= 1.a2 b 2 c 2https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%AD%D0%BB%D0%BB%D0%B8%D0%BF%D1%81%D0%BE%D0%B8%D0%B4 https://www.wolframalpha.com/input/?i=x%5E2%2F2%5E2%2By%5E2%2F3%5E2%2Bz%5E2%2F4%5E2%3D1Решение.y0z0x0(x − x0 ) + 2 (y − y0 ) + 2 (z − z0 ) = 0.2abc14.7Задача № 4.2, §6, [5].

Двуполостный гиперболоид.x2 y 2 z 2+− 2 = −1.a2 b2chttps://www.wolframalpha.com/input/?i=x%5E2%2By%5E2-z%5E2%3D-114.8Задача № 4.3, §6, [5]. Гиперболический параболоид.x2 y 2−= 2z.pqhttps://www.wolframalpha.com/input/?i=2z%3Dx%5E2-y%5E272514.9Задача № 5.1, §6, [5]. Однополостный гиперболоид.x2 y 2 z 2+− 2 = 1.a2 b2chttps://www.wolframalpha.com/input/?i=x%5E2%2By%5E2-z%5E2%3D114.10Задача № 5.2, §6, [5].

Эллиптический параболоид.x2 y 2−= 2z.pq14.11Задача № 5.3, §6, [5]. Конус.x2 y 2 z 2+− 2 = 0.a2 b2chttps://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9A%D0%BE%D0%BD%D1%83%D1%81Решение.y0z0x0(x−x)+(y−y)=(z − z0 ).00a2b2c2Написать уравнение касательной плоскости к поверхности в точкес параметрами u = u0 , v = v0 . Выразить коэффициенты полученногоуравнения через координаты (x0 , y0 , z0 ) точки касания:14.12Задача № 7.1, §6, [5]. Конусx = u cos v, y = u sin v, z = u;https://www.wolframalpha.com/input/?i=y%5E2%2Bz%5E2%3Dx%5E2Решение.x − x0det  cos v0y − y0z − z0sin v01−u0 sin v0 u0 cos v0 cos v0T(x0 ,y0 ,z0 ) M =  sin v01 = −u0 ((x−x0 ) cos v0 +(y−y0 ) sin v0 −(z−z0 )) =0− x0 (x − x0 ) − y0 (y − y0 ) + z0 (z − z0 ) = 0,!−u0 sin v0 h12, (h1 , h2 ) ∈ R .u0 cos v0 h2072614.13Задача. Геликоид.x = u cos v, y = u sin v, z = v;https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%93%D0%B5%D0%BB%D0%B8%D0%BA%D0%BE%D0%B8%D0%B4Решение.x − x0det  cos v0y − y0z − z0sin v00 = (x−x0 ) sin v0 −(y−y0 ) cos v0 +u0 (z−z0 ) = 0,−u0 sin v0 u0 cos v01cosv−usinv000T(x0 ,y0 ,z0 ) M =  sin v0 u0 cos v0 01h1h2!,(h1 , h2 ) ∈ R2.Домашняя работа14.14Задача № 7.2, §6, [5].

Эллипсоид.x = 3 cos u cos v, y = 2 cos u sin v, z = sin u.https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%AD%D0%BB%D0%BB%D0%B8%D0%BF%D1%81%D0%BE%D0%B8%D0%B414.15Задача № 8.1, §6, [5]. Тор (тороид).Написать уравнение касательной плоскости к поверхности:x = (b + a cos ψ) cos ϕ, y = (b + a cos ψ) sin ϕ, z = a sin ψ, b > a > 0,в точке с параметрами ϕ = ϕ0 , ψ = ψ0 . https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A2%D0%BE%D1%80_(%D0%BF%D0%BE%D0%B2%D0%B5%D1%80%D1%85%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%8C)14.16Задача № 26, §6, [5]Найти точку пересечения нормали в любой точке (x0 , y0 , z0 ) поверхности враpщения z = f ( x2 + y 2 ), где f (u) – дифференцируемая функция, f 0 (u) 6= 0,с осью вращения.72715Seminar on 25.03.2019.

Room 5213Локальный экстремум. Второй семестр. §8.4. Экстремум функции многихпеременныхОпределение 15.1. Пусть M — (n − k)-мерное неявно заданное многообразие класса C 1 в Rn и F : Rn → R — функция класса C 1 . Мы скажем, что Fдостигает в точке a ∈ M своего локального минимума на многообразии M( локального условного минимума), если существует окрестность U точкиa, такая, что F (a) 6 F (x) для любого x ∈ U ∩ M .Если в этом определении F (a) > F (x) для любого x ∈ U ∩ M , то говорят олокальном максимуме на многообразии M или о локальном условном максимуме. Если точка a является точкой локального условного минимума илимаксимума, то она называется точкой локального условного экстремума.В точке локального экстремума производная по касательному направлению h ∈ Ta M равна нулю∂F(a) = ∇F (a) · h = 0.∂hТеорема 15.1.

(Правило множителей Лагранжа). Пусть M – (n − k)мерное неявно заданное многообразие класса C 1 в Rn и F : Rn → R —функция класса C 1 . Если функция F достигает в точке a ∈ M своего локального экстремума на многообразии M , то существуют числа λ1 , . . . , λk ,среди которых есть отличные от нуля, такие, что∇F (a) =kXλi ∇fi (a).i=1Введем обозначение: L(λ, x) = F (x) −kPλi fi (x) — функция Лагранжа.i=1Теорема 15.2. (Достаточное условие локального условного минимума). ПустьF, fi ∈ C 2 (Rn ), i = 1, . .

. , k, a ∈ M и для некоторого λ = (λ1 , . . . , λk ) функция L удовлетворяет следующим условиям:1.∂L∂x (λ, a)= 0;728∂2L∂x2 (λ, a) является положительно определенным опера2т.е., ∂∂xL2 (λ, a)hh, hi > α|h|2 для некоторого α > 0 и для2. Матрица Гессатором на Ta M ,всех h ∈ Ta M .Тогда a — точка локального минимума функции F на многообразии M .15.1Задача № 21, §5, С.

119, [5]Найти точки условного экстремума функции F (x, y) = 5 − 3x − 4y, еслиf (x, y) = x2 + y 2 − 25 = 0.2Решение. L(λ, x, y) = 5 − 3x − 4yy 2 − 25). − λ(x +3 x = − 2λ , ∂x L(λ, x, y) = −3 − 2λx = 0, ∂y L(λ, x, y) = −4 − 2λy = 0,y = − λ2 , 2 1 2x + y 2 = 25,λ = 4.1a1 = (−3, −4), λ1 = 2 , F (a1 ) = 30; a2 = (3, 4), λ2 = − 21 , F (a2 ) = −20.• Способ 1. Здесь мы применяем теорему Вейерштрасса о функции, непрерывной на компакте (на множестве S15 = {(x, y) ∈ R2 : x2 + y 2 = 25}),см. 18.2:• Способ 2.

Либо мы рассматриваем для любого h ∈ Ta1 S15 = {(h1 , h2 ) ∈R2 | 3h1 + 4h2 = 0},∂ 2L∂ 2L∂ 2L∂ 2L2(λ1 , a1 )hh, hi =(λ1 , a1 )h1 +2(λ1 , a1 )h1 h2 + 2 (λ1 , a1 )h22 =22∂x∂x∂x∂y∂y− 2λ(h21 + h22 ) = −|h|2 .В свою очередь, для любого h ∈ Ta2 S15 = {(h1 , h2 ) ∈ R2 | 3h1 + 4h2 = 0},∂ 2L∂ 2L∂ 2L∂ 2L2(λ2 , a2 )hh, hi =(λ2 , a2 )h1 +2(λ2 , a2 )h1 h2 + 2 (λ2 , a2 )h22 =22∂x∂x∂x∂y∂y− 2λ(h21 + h22 ) = |h|2 .Ответ.max F (x, y) = F (a1 ) = 30,(x,y)∈S15min F (x, y) = F (a2 ) = −20.(x,y)∈S1572915.2Пример 4, §5, С. 116, [5]Найти точки условного экстремума функции F (x, y) = 6 − 5x − 4y, еслиf (x, y) = x2 − y 2 − 9 = 0.Решение. L(λ, x, y) = 6 − 5x − 4y − λ(x2 − y 2 − 9),5 x = − 2λ , ∂x L(λ, x, y) = −5 − 2λx = 0, ∂y L(λ, x, y) = −4 + 2λy = 0,y = λ2 , 2 225x − y 2 = 9,x − y 2 = 4λ2 −4λ2=94λ2= 9.Найдем стационарные точки: a1 = (−5, 4), λ1 = 21 , a2 = (5, −4), λ2 = − 12 .• Для любого h ∈ Ta1 M = {(h1 , h2 ) ∈ R2 | 5h1 + 4h2 = 0},∂ 2L∂ 2L∂ 2L2(λ,a)hh,hi=(λ,a)h(λ1 , a1 ) h1 h2+211111∂x2∂x2∂x∂y∂ 2L169222+ 2 (λ1 , a1 ) h2 = 2λ(−h1 + h2 ) = 2λ − + 1 h22 = h22 =∂y2525 2 29 16 299999h2 + h22 =h21 + h22 >h21 + h22 =|h|2 .25 252525252525• Для любого h ∈ Ta2 M = {(h1 , h2 ) ∈ R2 | 5h1 + 4h2 = 0}∂ 2L∂ 2L∂ 2L2(λ,a)hh,hi=(λ,a)h+2(λ2 , a2 ) h1 h222221∂x2∂x2∂x∂y∂ 2L9 299 22222h1 + h2 6+ 2 (λ2 , a2 ) h2 = 2λ(−h1 + h2 ) = − h2 = −∂y252525 2 299h21 + h22 = −|h|2 .−2525Ответ.

a1 – точка условного минимума; a2 – точка условного максимума.15.3Задача № 26, §5, C. 120, [5]Найти точки условного экстремума функции F (x, y, z) = xyz, если(f1 (x, y, z) = x + y − z − 3 = 0,f2 (x, y, z) = x − y − z − 8 = 0.730Решение.L(λ1 , λ2 , x, y, z) = xyz − λ1 (x + y − z − 3) − λ2 (x − y − z − 8),yz − λ1 − λ2 = 0, xz − λ1 + λ2 = 0,xy + λ1 + λ2 = 0,x + y − z − 3 = 0, x − y − z − 8 = 0,51111231Получим стационарную точку a0 = 11,−,−424 , λ0,1 = − 32 , λ0,2 = 32 ,Ta0 M = {(h1 , h2 , h3 ) ∈ R3 | h1 + h2 − h3 = 0, h1 − h2 − h3 = 0} = {(h1 , h2 , h3 ) ∈R3 | h1 = h3 , h2 = 0}∂ 2L∂ 2L∂ 2L∂ 2L22(λ0 , a0 )hh, hi =(λ0 , a0 )h1 + 2 (λ0 , a0 )h2 + 2 (λ0 , a0 )h23∂x2∂x2∂y∂z∂ 2L∂ 2L∂ 2L(λ0 , a0 )h1 h2 + 2(λ0 , a0 )h1 h3 + 2(λ0 , a0 )h2 h3 =+2∂x∂y∂x∂z∂y∂z ∂ 2L∂ 2L∂ 2L(λ0 , a0 ) + 2 (λ0 , a0 ) + 2(λ0 , a0 ) h21 =∂x2∂z∂x∂z552y0 h21 = −5h21 = − (h21 + h23 ) = − |h|2 .22511Ответ.

( 114 , − 2 , − 4 ) – локальный условный максимум.15.4Задача № 17.1, §5, C. 119, [5]Исследовать на экстремум непрерывно дифференцируемую функцию u =u(x, y), заданную неявно условиями x2 + y 2 + u2 − 4x − 6y − 4u + 8 = 0, u > 2.https://www.wolframalpha.com/input/?i=x%5E2%2By%5E2%2Bz%5E2-4x-6y-4z%2B8%3D0Решение. Составим функцию ЛагранжаL(λ, x, y, u) = u − λ(x2 + y 2 + u2 − 4x − 6y − 4u + 8),−λ(2x − 4) = 0,x = 2, y = 3,−λ(2y − 6) = 0,1 − λ(2u − 4) = 0, x2 + y 2 + u2 − 4x − 6y − 4u + 8 = 0,7311 − λ(2u − 4) = 0, λ = 61 , u2 − 4u − 5 = 0, u = 5 > 2.Получим стационарную точку a0 = (x0 , y0 , u0 ) = (2, 3, 5), λ0 = 61 .Ta0 M = {(h1 , h2 , h3 ) ∈ R3 : 2x0 h1 + 2y0 h2 + 2u0 h3 − 4h1 − 5h1 − 4h3 = 0} ={(h1 , h2 , h3 ) ∈ R3 : 4h1 + 6h2 + 10h3 − 4h1 − 5h1 − 4h3 = 0} ={(h1 , h2 , h3 ) ∈ R3 : 6h3 = 0} = {(h1 , h2 , h3 ) ∈ R3 : h3 = 0},∂ 2L∂ 2L∂ 2L∂ 2L22(λ0 , a0 ) hh, hi =(λ0 , a0 ) h1 + 2 (λ0 , a0 ) h2 + 2 (λ0 , a0 ) h2322∂x∂x∂y∂u222∂ L∂ L∂ L+2(λ0 , a0 ) h1 h2 + 2(λ0 , a0 ) h1 h3 + 2(λ0 , a0 ) h2 h3 =∂x∂y∂x∂u∂y∂u11− (2h21 + 2h22 ) = − |h|2 .63Ответ.

Характеристики

Список файлов семинаров