1610907243-ac283de454695bb7f2524e2bfa39689d (824397), страница 74

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 74)

. . , xk , xk+1 , . . . , xk+m ) = f (x1 , . . . , xk ) g(xk+1 , . . . , xk+m ).для полилинейных форм f , g и h произвольных степеней справедливы следующие соотношения:(λf ) ⊗ g = λ(f ⊗ g) для всех λ ∈ R,(f + g) ⊗ h = f ⊗ h + g ⊗ h,f ⊗ (g + h) = f ⊗ g + f ⊗ h,(f ⊗ g) ⊗ h = f ⊗ (g ⊗ h).Последнее свойство позволяет нам не заботиться о расстановке скобок в тензорных произведениях: (f ⊗ g) ⊗ h = f ⊗ (g ⊗ h) = f ⊗ g ⊗ h.Предположим, что dim X = n и {e1 , . . . , en } — какой-либо базис в X. Поставим в соответствие этому базису n линейных форм π k , k = 1, . . .

, n, определённых следующим образом:π k (x) = xk ,где xk есть k-я координата вектора x относительно базиса {e1 , . . . , en }, тоnPkkесть, x =xk ek . Заметим, что π k (em ) = δm, где δm— символ Кронекера.k=1763Лемма (О представлении полилинейных форм). Для каждой определённойна x полилинейной формы f степени p справедливо представлениеf=nXk1 =1...nXak1 ... kp π k1 ⊗ . . . ⊗ π kp ,kp =1где ak1 ... kp = f (ek1 , .

. . , ekp ). Формы вида π k1 ⊗ . . . ⊗ π kp , где каждый индекс kiпробегает значения от 1 до n, образуют базис в пространстве полилинейных•форм степени p.Полилинейная форма f степени p > 2 называется кососимметрической, еслиона меняет знак при перестановке двух её произвольных аргументов:f (x1 , . . . , xk , . . . , xm , .

. . , xp ) = −f (x1 , . . . , xm , . . . , xk , . . . , xp ).•Множество всех кососимметрических p-линейных форм на X образует линейное пространство, которое мы будем обозначать Λp (X). Если p = 1, тоопределим Λ1 (X) как линейное пространство всех линейных форм на X. Если p = 0, то мы положим Λ0 (X) = R. Для краткости мы будем называтькососимметрические полилинейные формы степени p (то есть, элементы пространства Λp (X)) просто p-формами или внешними p-формами.Лемма.

Пусть f ∈ Λp (X) и p > 2. Если xk = xm для пары различныхиндексов k и m, то f (x1 , . . . , xp ) = 0.•Следствие. Пусть f ∈ Λp (X) и p > 2. Если векторы x1 , . . . , xp пространстваX линейно зависимы, то f (x1 , . . . , xp ) = 0.•Следствие. Если f ∈ Λp (X) и p > dim X, то f = 0, то есть, f (x1 , . .

. , xp ) = 0для всех наборов векторов x1 , . . . , xp пространства X.•Пусть Np = {1, 2, . . . , p}. Каждое взаимно-однозначное отображение множества Np в себя называется перестановкой. Обозначим через Pp множествовсех перестановок в Np . Перестановка σ ∈ Pp называется транспозицией,если в Np существует пара различных чисел k и m, таких, что σ(k) = m,σ(m) = k и σ(`) = ` для любого `, отличного от k и m.

Всякая перестановкаиз Pp может быть представлена как суперпозиция конечного числа транспозиций. При этом чётность числа транспозиций в этом представлении не зависит764от выбора представления. Назовём сигнатурой перестановки σ число ε(σ),равное +1, если σ разлагается в суперпозицию чётного числа транспозиций,и −1, если — нечётного.Теорема. Пусть f ∈ Λp (X) и p > 2. Для любой перестановки σ ∈ Pp имеетместо равенство f (xσ(1) , . .

. , xσ(p) ) = ε(σ) f (x1 , . . . , xp ).•Введём операцию альтернирования Ap , которая каждой полилинейной форме f степени p > 2 ставит в соответствие кососимметрическую p-форму Ap f :(Ap f )(x1 , . . . , xp ) =1 Xε(σ)f (xσ(1) , . . . , xσ(p) ).p!σ∈PpСумма здесь берётся по всем перестановкам из Pp .Если f ∈ Λp (X), то Ap f = f . Операция альтернирования линейна, то есть,Ap (f + g) = Ap f + Ap g,Ap (λf ) = λ Ap fдля любого λ ∈ R и всех полилинейных форм f и g степени p. Из этих свойствоперации Ap следует, чтоAp f =nXk1 =1...nXak1 ...

kp Ap (π k1 ⊗ . . . ⊗ π kp )kp =1для любой полилинейной формы f степени p. Кроме того, для линейныхформ f 1 , . . . , f pf 1 (x1 ) . . . f p (x1 )1 1pAp (f ⊗ . . . ⊗ f )(x1 , . . . , xp ) =. . . . . . . . . . . . . . . . . . .p! f 1 (xp ) . . .

f p (xp )Лемма. Пусть dimX = n и {e1 , . . . , en } — базис в X. Каждая форма f ∈Λp (X) может быть однозначно представлена в таком виде:f=Xak1 ... kp π k1 ... kp ,16k1 <...<kp 6n765где сумма берётся от 1 до n по всем ki , удовлетворяющим условию под знаком суммы, ak1 ... kp ∈ R, а формы π k1 ... kp ∈ Λp (X) определены следующимобразом:π k1 (x1 ) . .

. π kp (x1 )k1 ... kpπ(x1 , . . . , xp ) = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .π k1 (xp ) . . . π kp (xp )•Из этой леммы следует, что множество p-форм {π k1 ... kp , 1 6 k1 < . . . < kp 6n} образует базис в Λp (X), а dim Λp (X) = Cnp .Определение. Внешним произведением форм f ∈ Λp (X) и g ∈ Λq (X) называется следующая форма (f ∧ g) ∈ Λp+q (X):f ∧g =(p + q)!Ap+q (f ⊗ g).p!q!•Внешнее произведение обладает следующими простейшими свойствами:(f + g) ∧ h = f ∧ h + g ∧ h,(λf ) ∧ h = λ(f ∧ h)где λ ∈ R, f ∈ Λp (X), g ∈ Λp (X), h ∈ Λq (X) с произвольными p и q.Теорема.

Если f ∈ Λp (X) и g ∈ Λq (X), тоX(f ∧ g)(x1 , . . . , xp+q ) =ε(σ) f (xσ(1) , . . . , xσ(p) ) g(xσ(p+1) , . . . , xσ(p+q) ),σ∈Pbp+qгде сумма берётся по всем упорядоченным перестановкам σ ∈ Pbp+q , то естьтаким, что σ(1) < . . . < σ(p) и σ(p + 1) < . . . < σ(p + q).•Лемма. Пусть dimX = n и {e1 , .

. . , en } — базис в X. Для любого набораиндексов {k1 , . . . , kp+q } ⊂ {1, . . . , n} имеет место равенствоπ k1 ... kp ∧ π kp+1 ... kp+q = π k1 ... kp+q .Теорема. Внешнее произведение ассоциативно, то есть,(f ∧ g) ∧ h = f ∧ (g ∧ h)766•для любых форм f ∈ Λp (X), g ∈ Λq (X) и h ∈ Λs (X) с произвольными p, q и•s.Из этой теоремы следует, что мы можем не заботиться о расстановке скобокво внешнем произведении нескольких форм и имеем право писать выражениявида f 1 ∧ f 2 ∧ .

. . ∧ f m , где f k — произвольные внешние формы.Лемма. Пусть dimX = n и {e1 , . . . , en } — базис в X. Для любого набораиндексов {k1 , . . . , kp } ⊂ {1, . . . , n} имеет место равенствоπ k1 ... kp = π k1 ∧ . . . ∧ π kp .•Таким образом, совокупность p-форм {π k1 ∧. . .∧π kp , : 1 6 k1 6 . . . 6 kp 6 n}образует базис в Λp (X), то есть, каждая p-форма f может единственнымобразом быть представлена в следующем виде:Xf=ak1 ... kp π k1 ∧ . . . ∧ π kp ,16k1 <...<kp 6nгде ak1 ...

kp ∈ R. Это выражение называется каноническим представлениемp-формы f .Теорема (Об антикоммутативности внешнего произведения). Если f ∈Λp (X) и g ∈ Λq (X), то f ∧ g = (−1)pq g ∧ f.•Пусть X и Y — линейные пространства и Φ — линейное отображение Xв Y . Линейное отображение Φ : X → Y естественным образом порождаетотображение Φ∗ : Λp (Y ) → Λp (X). Если f ∈ Λp (Y ), то(Φ∗ f )(x1 , . . . , xp ) = f (Φx1 , . . . , Φxp ).Отображение Φ∗ линейно, то есть,Φ∗ (f + g) = Φ∗ f + Φ∗ g и Φ∗ (λf ) = λΦ∗ fдля всех f, g ∈ Λp (Y ) и λ ∈ R. Кроме того,Φ∗ (f ⊗ g) = (Φ∗ f ) ⊗ (Φ∗ g),Φ∗ (Ap f ) = Ap (Φ∗ f ),Φ∗ (f ∧ g) = (Φ∗ f ) ∧ (Φ∗ g)для всех f ∈ Λp (Y ) и g ∈ Λq (Y ).76720.1ЗадачаРассмотрим пример косо-симметрической 2-формыf (x1 , x2 ) = Ax1 · x2!0 1x1 , x2 ∈ R2 .

Здесь важно A =.−1 020.2ЗадачаLet π i ∈ L(Rn , R), i = 1, . . . , n, be the projections. More precisely, the linearfunction π i : Rn → R is such that on each vector x = (x1 , . . . , xn ) ∈ Rn itassumes the value π i (x) = xi of the projection of that vector on the correspondingcoordinate axis. Prove that π i1 (x1 ) . . .

π ip (x1 ) i1ipπ ∧ . . . ∧ π (x1 , . . . , xp ) = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . = π i1 (xp ) . . . π ip (xp ) В случае p = 2, мы имеем π i1 (x )1i1i2π ∧ π (x1 , x2 ) = i π 1 (x2 ) π 1 (x )112π ∧ π (x1 , x2 ) = 1 π (x2 )20.3i xi11 · · · x1p .. . . . .. .. .ixi1 · · · xpp pπ i2 (x1 ) = (π i1 ⊗ π i2 − π i2 ⊗ π i1 )(x1 , x2 ).i2π (x2 ) π (x1 ) = (π 1 ⊗ π 2 − π 2 ⊗ π 1 )(x1 , x2 ).2π (x2 ) 2ПримерРассмотрим 2-форму, когдаf (x1 , x2 ) = Ax1 · x2x1 , x2 ∈ Rn . Здесь важно A∗ = −A.Пусть A∗ 6= −A. Тогда альтернирование будет иметь вид:1(A2 f )(x1 , x2 ) = (A − A∗ )x1 · x22768Рассмотрим пример!!!110 −1x1x2·= (π 1 ⊗ π 2 − π 2 ⊗ π 1 )(x1 , x2 ) =221 0x1x2 x1 x2 x11 x22 − x21 x12 = 11 12 = π 1 ∧ π 2 (x1 , x2 ) x2 x2 является 2-формой.0 −RR−QQx11 x12−Rx21 + Qx31 x12   0 −P   x21  ·  x22  =  Rx11 − P x31  ·  x22  =P0x31x32−Qx11 + P x21x32− Rx21 x12 + Qx31 x12 + Rx11 x22 − P x31 x22 − Qx11 x32 + P x21 x32 =(−Rπ 2 ⊗ π 1 + Qπ 3 ⊗ π 1 + Rπ 1 ⊗ π 2 − P π 3 ⊗ π 2 − Qπ 1 ⊗ π 3 + P π 2 ⊗ π 3 )(x1 , x2 ) =P (π 2 ⊗ π 3 − π 3 ⊗ π 2 ) + Q(π 3 ⊗ π 1 − π 1 ⊗ π 3 ) + R(π 1 ⊗ π 2 − π 2 ⊗ π 1 ) (x1 , x2 ) = x1 x2 x3 x1 x2 x3 P 12 13 + Q 13 11 + R 11 12 = x2 x2 x2 x2 x2 x2 P π 2 ∧ π 3 (x1 , x2 ) + Qπ 3 ∧ π 1 (x1 , x2 ) + Rπ 1 ∧ π 2 (x1 , x2 ) =(P π 2 ∧ π 3 + Qπ 3 ∧ π 1 + Rπ 1 ∧ π 2 )(x1 , x2 ).20.4ПримерThe Cartesian coordinates of the vector product x1 × x2 of the vectors x1 =(x11 , x21 , x31 ) and x2 = (x12 , x22 , x32 ) in the Euclidean space R3 , as is known, aredefined by the equalityx1 × x2 = ! x2 x3 x3 x1 x1 x2 1 1 1 1 1 1 2 3 , 3 1 , 1 2 x2 x2 x2 x2 x2 x2 Thus, in accordance with the result of Example 20.3 we can writeπ 1 (x1 × x2 ) = π 2 ∧ π 3 (x1 , x2 ),π 2 (x1 × x2 ) = π 3 ∧ π 1 (x1 , x2 ),π 3 (x1 × x2 ) = π 1 ∧ π 2 (x1 , x2 ).769Домашняя работа20.5Пример на стр.

Характеристики

Список файлов семинаров