1610907243-ac283de454695bb7f2524e2bfa39689d (824397), страница 43
Текст из файла (страница 43)
3419k=n−1Это преобразование было названо в честь норвежского математика НильсаХенрика Абеля (1802–1829). В математическом анализе оно используется придоказательстве признака сходимости Дирихле.Преобразование Абеля является дискретным аналогом интегрирования почастям и иногда называется суммированием по частям.Для обоснования признака Абеля сходимости числового ряда при выводедискретное преобразование Абеля вместо bk = Bk − Bk−1 нужно взять bk =Bk − Bn−1 − (Bk−1 − Bn−1 ):mXak bk = am (Bm − Bn−1 ) −m−1X(ak+1 − ak )(Bk − Bn−1 ).k=nk=nТеорема (Признак Абеля равномерной сходимости ряда). Пусть {uk } — монотонная равномерно ограниченная последовательность функций uk : X →∞Pvk сходится равномерно на X, тоR, X ⊂ Rn .
Если функциональный рядряд∞Pk=1•uk vk тоже сходится равномерно на X.k=1Теорема (Признак Дирихле равномерной сходимости ряда). Пусть {uk } —монотонная равномерно сходящаяся к нулю последовательность функцийuk : X → R, X ⊂ Rn . Если последовательность частичных сумм функци∞∞PPvk равномерно ограничена на X, то рядuk vk сходитсяонального рядаk=1k=1равномерно на X.•Также напомним несколько формулnXk=1nX· sin nαcos (n+1)α· sin nαsin (n+1)α2222,cos(αk) =, α 6= 2πl, l ∈ Z.sin(αk) =ααsin 2sin 2k=1Пример 1.Показать, что числовой ряд∞Pn=1(−1)n+1nсходится условно.Подсказка. Здесь нужно воспользоваться признаком Дирихле. Гармониче∞P1ский рядn расходится по критерию Коши.n=1420Пример 2.Показать, что числовой ряд∞Pn=1sin nnсходится.Подсказка.
Здесь нужно воспользоваться признаком Дирихле.Пример 3.Показать, что абсолютный ряд∞Pn=1| sin n|nрасходится.Подсказка. Здесь нужно воспользоваться признаком сравнения:| sin n| sin2 n1cos 2n>=−.nn2n2n4.1Задача [2], 2777Исследовать на равномерную сходимость в указанном промежутке следующий функциональный ряд:∞X(−1)nn=1Решение.
Здесь un (x) =(−1)n . Поскольку Vn (x) =x+n1x+nnPsup|un (x)| =x∈(0,+∞)1n0 < x < +∞.– монотонная последовательность, vn (x) =vk (x) ≡k=11; из,−1+(−1)n,2x ∈ (0, +∞), то sup |Vn (x)| 6по определению следует, что un (x)⇒0 при(0,+∞)n → ∞. Применяем признак Дирихле.4.2Задача [4], §18 № 21.5Исследовать на равномерную сходимость в указанном промежутке следую∞Pnщий функциональный ряд:(−1)n xn , 0 6 x 6 1.n=1Решение. Способ 1.
Сходится равномерно по признаку Дирихле, так как∞Pчастичные суммы ряда(−1)n в совокупности для любого x и n ограничены, а функцииxnnn=1образуют монотонную последовательность, которая схо-дится к 0 равномерно на отрезке [0, 1].Решение.
Способ 2. Сходится равномерно по признаку Абеля, так как421числовой ряд∞Pn=1∞Pn=1(−1)nn(−1)nnсходится. Поскольку члены функционального рядане зависят от x, то этот ряд сходится равномерно на любом мно-жестве, в том числе, на отрезке [0, 1]. В свою очередь, функции xn образуют монотонную и равномерно ограниченную последовательность на отрезке[0, 1].4.3Задача [4], §18 № 28.6Исследовать на равномерную сходимость в указанном промежутке следую∞nPnщий функциональный ряд:1 + nx √5(−1), 0 6 x 6 2.n+x2n=1Решение.
Сходится по признаку Абеля. Рядпо признаку Дирихле, а последовательность∞P(−1)n√равномерно сходится5n+x2n=1 n1 + nx монотонна и равномер-но ограничена e2 .4.4Задача [2], 2780Исследовать на равномерную сходимость в указанном промежутке следующий функциональный ряд:∞P)cos( 2πn√ 3 , −∞ < x < +∞.22x +nn=1Решение. Здесь un (x) =√ 1−x2 +n2nPcos( 2πn3 ). Поскольку Vn (x) =√2 ;3из sup |un (x)| =x∈R1nмонотонная последовательность, vn (x) ≡vk (x) ≡k=1cos (n+1)πsin nπ33,πsin 3x∈R1sin π3=по определению следует, что un (x) ⇒ 0 при n → ∞.RПрименяем признак Дирихле.4.5то sup |Vn (x)| 6Задача [2], 2791Пусть ряд∞Pan сходится. Доказать, что рядn=1∞Pn=1в области x > 0.Решение. Здесь применяется признак Абеля.422an e−nx сходится равномерно4.6ЗадачаПусть fn (x) = un (x) + vn (x), причём рядравномерно.
Показать, что ряд∞P∞Pvn (x) сходится на множестве An=1fn (x) на множестве A сходится равномер-n=1но тогда и только тогда, когда аналогичным свойством обладает также ряд∞Pun (x).n=1Решение. В ту и другую сторону мы используем критерий Коши и неравенство треугольника.В прямую сторону: m m m mmXXXXXvk (x) .fk (x) +sup vk (x) 6 sup fk (x) −uk (x) = sup sup x∈A x∈A x∈A x∈A k=nk=nk=nk=nk=nВ обратную сторону: m m m mmXXXXXsup fk (x) = sup uk (x) +vk (x) 6 sup uk (x)+sup vk (x) . x∈A x∈A x∈A x∈A k=nk=nk=nk=nДома: Исследовать на равномерную сходимость ряды:4.7∞Pn=24.8∞Pn=14.9∞Pn=1Задача [2], 2778(−1)nn+sin x ,0 6 x 6 2π.Задача [2], 2779n(n−1)(−1) 2√3 2n +ex, |x| 6 10.Задача [2], 2781sin√x sin nx,n+x0 6 x < +∞.423k=n4.10Задача [2], 2790Доказать, что если числовой рядan сходится, то ряд Дирихлеn=1дится равномерно при x > 0.4.11∞P∞Pn=1annxсхо-Задача [4], §18 № 25Доказать, что рядоси, а ряд∞Pn=1∞Pn=1x2(1+x2 )n(−1)n x2(1+x2 )nсходится равномерно на всей действительнойсоставленный из модулей членов исходного ряда, схо-дится неравномерно.4.12Задача [4], §18 № 21.3Исследовать на сходимость и равномерную сходимость функциональный рядв указанном промежутке∞X(−1)n+1,2n+sinxn=1−∞ < x < +∞.Seminar n.
05.6 Равномерная сходимость для функции5двух переменныхПусть функция f (x, y) определена в двумерном множестве X × Y, где Xи Y означают множества значений, принимаемых порознь переменными x иy, причем Y имеет своей предельной точкой, скажем, конечное число y0 .Если 1) для функции f (x, y) при y → y0 существует конечная предельнаяфункцияlim f (x, y) = ϕ(x), (x ∈ X)y→y06Теория взята из [18], Глава 14, §1424и 2) для любого числа ε > 0 найдется такое не зависящее от x число δ > 0,что при |y − y0 | < δ будет |f (x, y) − ϕ(x)| < ε сразу для всех x из X,то говорят, что функция f (x, y) стремиться к предельной функции ϕ(x)равномерно относительно x в области XЭквивалентное определение можно сформулировать следующим образом:длятого чтобы функция f (x, y) при y → y0 стремилась к функции ϕ(x) равномерно (относительно x в области X), необходимо и достаточно, чтобы кϕ(x) равномерно сходилась каждая последовательность f (x, yn ), по какомубы закону последовательность yn (со значениями из Y ) ни стремилась к y0•5.1ЗадачаНайти область сходимости, предельную функцию, исследовать на равномерную (относительно x) сходимость при t → 0, f (x, t) = sin(xt); См.
рис. 5.1.Рис. 3.17: Графики функций sin(x) ,sinx2, sinx3. См. задачу 5.1.Решение. Область сходимости есть R. Предельная функция ϕ(x) = lim f (x, t) =t→00. Если t 6= 0, то sup |f (x, t) − ϕ(x)| = sup | sin(xt)| = 1.x∈Rx∈R425Замечание. Отметим, что на любом ограниченном отрезке [a, b] будет равномерная сходимость.5.2ЗадачаНайти область сходимости, предельную функцию, исследовать на равномерную (относительно x) сходимость при t → 0, f (x, t) = xt . См.
рис. 5.2.Рис. 3.18: Графики функций√10x,1√10x, ϕ. См. задачу 5.2.Решение. Область сходимости есть (0, +∞). Предельная функция ϕ(x) =lim f (x, t) = 1. Если t 6= 0, тоt→0sup|f (x, t) − ϕ(x)| =x∈(0,+∞)sup|xt − 1| = +∞.x∈(0,+∞)Замечание. Равномерная сходимость будет на отрезке [δ, A] при 0 < δ <A. Следовательно,lim sup |xt − 1| = lim max{|δ t − 1|, |At − 1|} = 0.t→0 x∈[δ,A]5.3t→0ЗадачаНайти область сходимости, предельную функцию, исследовать на равномерную (относительно x) сходимость при t → 1, f (x, t) = xt ; См. рис. 5.3.42624Рис.
3.19: Графики функций x 3 , x 3 , x. См. задачу 5.3.Решение. Область сходимости есть (0, +∞). Предельная функция ϕ(x) =lim f (x, t) = x. Если t 6= 1, тоt→1sup|f (x, t) − ϕ(x)| =x∈(0,+∞)sup|xt − x| = +∞.x∈(0,+∞)Последнее утверждение следует из предела lim (x − x) = lim ( y1t − y1 ) = ∞.tx→+∞y→+0Замечание. Равномерная сходимость будет на промежутке (0, A], A > 0,поскольку lim sup |xt − x| = lim max{ sup |xt − x|, sup |xt − x|} = 0.t→1 x∈(0,A]t→1Действительно, рассмотримуравнение имеет решение x∗ =x∈(0,1]x∈(1,A]∂tt−1− 1 = 0 при t 6=∂x (x − x) = tx1ln t1 t−1= e− t−1 , lim x∗ = e−1 ≈ 0, 36.tt→11.
ЭтоТакимобразом, t1 1 t−1 1 t−1 t ln tln t − t−1t− t−1lim sup |x − x| = lim −−e= = lim et→1 x∈(0,1]t→1 t t→1tln t 1lim e− t−1 − 1 = 0.t→1t5.4ЗадачаНайти область сходимости, предельную функцию, исследовать наравномерx. См. рис.ную (относительно x) сходимость при t → 0: f (x, t) = arctg |t|5.4.427Рис. 3.20: Графики функций arctg(5x), arctg(10x), π2 sgnx.
См. задачу 5.4.Решение. Область сходимости есть R. Предельная функция ϕ(x) = lim f (x, t) =t→0 π 2 , x > 0,π0, x = 0, Если t 6= 0, то sup |f (x, t) − ϕ(x)| = π2 .2 sgnx = x∈R π− 2 , x < 0.Замечание. Равномерная сходимость будет на множестве R\(−δ, δ), поскольку xπlim sup arctg− sgnx =t→0 x∈R\(−δ,δ)|t|2( ) ππxxlim maxsuparctg+, sup− arctg=t→0|t|2 x∈[δ,+∞) 2|t|x∈(−∞,−δ] πδlim− arctg= 0.t→02|t|5.5ЗадачаНайти область сходимости, предельную функцию, исследовать на равномерную (относительно x) сходимость при t → +∞, f (x, t) = exp(−x − t).
См.рис. 5.5.428Рис. 3.21: Графики функций e−x , e−1−x , e−2−x . См. задачу 5.5.Решение. Область сходимости есть R. Предельная функция имеет видϕ(x) = lim f (x, t) = exp(−x) lim exp(−t) = 0.t→+∞t→+∞Если t ∈ R, то sup |f (x, t) − ϕ(x)| = sup e−x−t = +∞.x∈Rx∈RЗамечание. Равномерная сходимость будет на множестве [−A, +∞), A > 0,посколькуsupe−x−t = eA−t → 0 при t → +∞.x∈[−A,+∞)5.6ЗадачаНайти область сходимости, предельную функцию, исследовать на равномерtxR21ную (относительно x) сходимость при t → 0, f (x, t) = t ln(1 + y 2 ) dy;0Решение. Область сходимости есть R. Пусть x 6= 0,!то предельная функция2txR2txRln(1+y 2 ) dy02ln(1+y ) dy0= lim x2 ln(1 + t2 x4 ) =t→0t→0t→0t→0 2 txR120.
Если t 6= 0, то sup |f (x, t) − ϕ(x)| = |t| sup ln(1 + y ) dy = +∞.x∈Rx∈R 0Замечание. Равномерная сходимость будет на множестве [−A, A], A > 0.ϕ(x) = lim f (x, t) = lim0t= lim429(t)0 2 txR12Действительно, sup |f (x, t)−ϕ(x)| = |t| sup ln(1 + y ) dy =x∈[−A,A] 0x∈[−A,A]y 2 ) dy 6 A2 ln(1 + t2 A4 ) 6 t2 A6 → 0 при t → 0.1|t|2|t|ARln(1+0Дома:5.7ЗадачаНайти область сходимости, предельную функцию, исследовать на равномерную (относительно x) сходимость при t → 0+,(√t ln t x ∈ (t, 2t),f (x, t) =0x ∈ [0, t] ∪ [2t, +∞).5.8ЗадачаНайти область сходимости, предельную функцию, исследовать на равномерную (относительно x) сходимость при t → +∞, f (x, t) = 1/(x + t).5.9ЗадачаНайти область сходимости, предельную функцию, исследовать на равномерную (относительно x) сходимость при t → 0, f (x, t) = t2 1 − exp(x2 /t2 ) .Seminar n.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
