1610907243-ac283de454695bb7f2524e2bfa39689d (824397), страница 41
Текст из файла (страница 41)
Поточечный предел имеет вид f (x) = lim fn (x) = (теорема Гейне)n→∞= lim y ln y = limy→+0y→+0ln y1y= (правило Лопиталя) = limy→+0(ln y)00( y1 )= limy→+01y− y12=− lim y = 0.y→+0Исследовать на равномерную сходимость:1.3Задача [2], 2755Исследовать последовательности на равномерную сходимость в указанныхпромежутках 1)fn (x) =sin(nx)n ; −∞< x < +∞; 2)fn (x) = sin( nx ); −∞ < x <+∞;397Рис. 3.1: Графики функций f1 (x), . . . , f8 (x). См. задачу 1.2.Решение. Способ 1. В первомслучае заметим, что предельная функция sin(nx) 1 f (x) ≡ 0 и |fn (x)| = n 6 n ∀x ∈ (−∞, +∞), откуда видно, что для вы sin(nx)полнения неравенства n − 0 < ε достаточно взять N > 1ε . Следовательно, сходимость равномерная.
Во втором случае предельная функция f (x) ≡ xи для сколь угодно большого n всегда найдется точка x =nπ2∈ (−∞, +∞),в которой fn (x) = 1. Таким образом, если в качестве ε взять, например,12,то получается, что, какой бы номер N мы не выбрали, всегда найдетсяx=nπ2∈ (−∞, +∞), где n > N такой, что |fn (1/n) − 0| = 1 > 12 . Следова-тельно, сходимость неравномерная.Решение.
Способ 2. Случай 1) Поточечный предел имеет вид f (x) =lim fn (x) = 0. Рассмотрим %R (fn , f ) = sup |fn (x) − f (x)| = n1 . Следователь-n→∞x∈Rно, lim sup |fn (x) − f (x)| = 0. Таким образом, fn ⇒ 0 при n → ∞.n→∞ x∈RRРешение. Способ 2. Случай 2) Поточечный предел имеет вид f (x) =lim fn (x) = 0. Рассмотрим %R (fn , f ) = sup |fn (x) − f (x)| = 1. Следовательно,n→∞x∈Rlim sup |fn (x) − f (x)| = 1 6= 0.
Таким образом, fn не сходится равномерноn→∞ x∈Rпри n → ∞.3981.4Задача [2], 2747Исследовать последовательность на равномерную сходимость в указанномпромежутке fn (x) = xn − xn+1 ; 0 6 x 6 1. См. рис. 1.4.Рис. 3.2: Графики функций f1 (x), . . . , f7 (x). См. задачу 1.4.Решение. Способ 1. Необходимо проверить определения равномерной сходимости. Для этого сначала найдем предельную функцию. Фиксируем x иустремляем n к бесконечности. Получаем fn (x) → 0, следовательно, предель ная функция f (x) ≡ 0. Далее заметим, что 0 6 xn − xn+1 6 ( n )n − ( n )n+1 .n+1Для этого исследуем функцию fn (x) на экстремум.
Берем производнуюn+1fn0 (x)(n( x1 −1)−1)xn и выясняем, что максимум достигается в точке x =откудаnn+1 ,n+1=n nnи следует предыдущее неравенство. Отметим, что ( n+1) − ( n+1)→ 0 при n nn n+1 )<n → ∞. Следовательно, ∀ε > 0∃N1 (ε) : n > N1 (ε) => ( n+1 ) − ( n+1ε, откуда не трудно видеть, что в качестве N из определения равномернойсходимости достаточно положить N1 (ε).
Следовательно, последовательностьравномерно сходится.Решение. Способ 2. Рассмотрим три случая: x = 0, 0 < x < 1, x = 1.Поточечный предел имеет вид f (x) = lim fn (x) = 0, x ∈ [0, 1]. Найдемn→∞nn n1%[0,1] (fn , f ) = sup |fn (x) − f (x)| = sup xn (1 − x) = fn ( n+1) = n+1· (n+1)=x∈[0,1]x∈[0,1]3991+1 −n1· (n+1).nСледовательно, lim sup |fn (x) − f (x)| = 0. Таким образом,n→∞ x∈[0,1]fn ⇒ 0 при n → ∞.[0,1]1.5Задача [2], 2750Исследовать последовательность на равномерную сходимость в указанномпромежутке fn (x) =nx1+n+x ;0 6 x 6 1. См. рис. 1.5.Рис. 3.3: Графики функций f1 (x), f10 (x), f100 (x).
См. задачу 1.5.Решение. Способ 1. Найдем предельную функцию. Фиксируем x и устремляем n к бесконечности. Получается, что предельная функция f (x) = x.Заметим, что x(x + 1) 2nx6 ,− x = 0 6 1+n+x1 + n + x n nxоткуда видно, что для выполнения неравенства 1+n+x− x < ε достаточновзять N > 2ε . Следовательно, сходимость равномерная.Решение. Способ 2. Поточечный предел имеет вид f (x) = lim fn (x) = x,n→∞400x ∈ [0, 1]. Найдемnx%[0,1] (fn , f ) = sup |fn (x) − f (x)| = sup − x =x∈[0,1]x∈[0,1] 1 + n + x nx − x − nx − x2 x + x22sup = sup= f (1) − fn (1) =,1+n+x2+nx∈[0,1]x∈[0,1] 1 + n + xпоскольку f 0 (x) − fn0 (x) = 1 −n(n+1)(1+n+x)2> 0 при x ∈ [0, 1]. Следовательно,lim sup |fn (x) − f (x)| = 0.
Таким образом, fn (x) ⇒ x при n → ∞.n→∞ x∈[0,1]1.6[0,1]Задача [2], 2751Исследовать последовательность на равномерную сходимость в указанныхпромежутках fn (x) =xn1+xn ;a)0 6 x 6 1 − δ;b)1 − δ 6 x 6 1 + δ;c)1 + δ 6 x 6 +∞; См. рис. 1.6.Рис. 3.4: Графики функций f1 (x), f10 (x), f100 (x). См. задачу 1.6.Решение. Способ 1. В первом случае предельная функция f (x) ≡ 0. Также не трудно заметить, что fn (x) возрастает на этом промежутке. А значит,401xn1+xnверно неравенство 0 66(1−δ)n1+(1−δ)n ,откуда следует равномерная сходи-мость. Во втором случае предельная функция f (x) не является непрерывнойфункцией.
Она терпит разрыв, например, в точке x = 1. Однако все fn (x) –непрерывные функции. Следовательно, равномерной сходимости нет. В третьем случае предельная функция f (x) ≡ 1. Отсюда следует, что ∀σ > 0необходимо найти такой номер N (σ) , что как толькоn > N (σ) будет выпол xn 1 1 няться неравенство n − 1 = n 6 n < σ ∀x ∈ [1 + δ, +∞; ).
Нетрудно увидеть, что1+x11+xn1+x1+(1+δ)– убывающая функция на указанном промежутке,а значит ∀σ > 0 в качестве номера N достаточно взять целую частьln( σ1 −1)ln(δ+1) .Следовательно, сходимость равномерная.Решение. Способ 2. Найдем поточечный 0,1f (x) = lim fn (x) =2,n→∞1,пределx ∈ [0, 1),x = 1,x ∈ (1, +∞).Следовательноlim %[0,1−δ] (fn , f ) = limn→∞%[1−δ,1+δ] (fn , f ) = n x = lim sup−0sup n→∞1 + xn1=−nx∈(0,1−δ] 1 + x1lim= 0;n→∞ 1 + (1 − δ)−nn→∞ x∈[0,1−δ]sup|fn (x) − f (x)| =x∈[1−δ,1+δ] n n! x x , 0, sup = 1;maxsup −1nn2x∈[1−δ,1) 1 + xx∈(1,1+δ] 1 + xlim %[1+δ,+∞) (fn , f ) = limn→∞1.7supn→∞ x∈[1+δ,+∞) n x = lim−1 n→∞ 1 + xn1=nx∈[1+δ,+∞) 1 + x1lim= 0.n→∞ 1 + (1 + δ)nsupЗадача [2], 2758Исследовать последовательность на равномерную сходимость в указанныхпромежутках fn (x) = exp(−(x − n)2 );402a)−l < x < l, где l – любое положительное число;b)−∞ < x < ∞; См.
рис. 1.7.Рис. 3.5: Графики функций f1 (x), f2 (x), f3 (x). См. задачу 1.7.Решение. Способ 1. Во втором случае предельная функция f (x) ≡ 0, идля сколь угодно большого n всегда найдется точка x = n ∈ (−∞, +∞),в которой fn (x) = 1. Таким образом, если в качестве ε взять, например, 21 ,то получается, что какой бы номер N мы не выбрали, всегда найдется x =n ∈ (−∞, +∞), где n > N такой, что |fn (1/n) − 0| = 1 > 21 . Следовательно,сходимость неравномерная. В первом случае же, напротив, сходимость будетравномерной.Решение. Способ 2. Найдем поточечный предел f (x) = lim fn (x) = 0.n→∞Следовательноlim %(−l,l) (fn , f ) = lim sup exp(−(x − n)2 ) = lim exp(−(l − n)2 ) = 0;n→∞n→∞ x∈(−l,l)n→∞lim %R (fn , f ) = lim sup exp(−(x − n)2 ) = 1.n→∞n→∞ x∈RДома: Исследовать последовательности на равномерную сходимость в указанных промежутках:4031.8Задача [2], 2753qfn (x) = x2 + n12 ; −∞ < x < +∞.
См. рис. 1.8.Рис. 3.6: Графики функций f1 (x), f10 (x), f100 (x). См. задачу 1.8.1.9Задача [2], 27611fn (x) = n(x n − 1); 1 6 x 6 a. См. рис. 1.9.Рис. 3.7: Графики функций f5 (x), f10 (x), f (x) = lim fn (x) = ln(x). См. задачу 1.9.n→∞1.10Задача [2], 2748fn (x) = xn − x2n ; 0 6 x 6 1. См. рис. 1.10.404Рис. 3.8: Графики функций f1 (x), f10 (x), f100 (x). См. задачу 1.10.1.11Задача [2], 2752fn (x) =2nx1+n2 x2 ;а) 0 6 x 6 1, б) 1 < x < +∞. См. рис. 1.11.Рис.
3.9: Графики функций f1 , f2 , f10 , f100 . См. задачу 1.11.1.12Задача [2], 2754q√ 1fn (x) = nx + n − x ; 0 < x < +∞. См. рис. 1.12.405Рис. 3.10: Графики функций f5 (x), f10 (x), f (x) = lim fn (x) =n→∞1.131√.2 xСм. задачу 1.12.Задача [2], 2756a) fn (x) = arctg nx; 0 < x < +∞; б) fn (x) = x arctg nx; 0 < x < +∞. См.рис. 1.13, 1.13.Рис. 3.11: Графики функций f1 (x), f5 (x), f10 (x).
См. задачу 1.13, a).1.14Задача [2], 2757fn (x) = en(x−1) ; 0 < x < 1. См. рис. 1.14.406Рис. 3.12: Графики функций f5 (x), f10 (x), f (x) = lim fn (x) =n→∞πx.2См. задачу 1.13, б).Рис. 3.13: Графики функций f1 (x), f5 (x), f10 (x). См. задачу 1.14.1.15Задача [2], 27632если 0 6 x 6 n1 ; n x,fn (x) =n2 n2 − x , если n1 < x < n2 ; на сегменте 0 6 x 6 1. См.
рис.20,если x > n21.15.1.16Задача [4], §17 № 1.6√fn (x) = n 1 + xn ; 0 6 x 6 2. См. рис. 1.16.2Вместо [0,1] мы взяли [0,3].407Рис. 3.14: Графики функций f1 (x), f2 (x), f3 (x). См. задачу 1.15.Рис. 3.15: Графики функций f5 (x), f10 (x), f (x) = lim fn (x). См. задачу 1.16.n→∞1.17Задача [4], §17 № 2.4fn (x) = n arcctg nx2 ; 0 < x < ∞.
См. рис. 1.17.Seminar n. 02.3 Функциональные ряды (область схо-2димости, равномерная сходимость)Ряд, членами которого являются функции с одной и той же областью опре3Теория взята из [9], Стр. 2408Рис. 3.16: Графики функций f10 (x), f100 (x), f (x) = lim fn (x) =n→∞1.x2См. задачу 1.17.деления, называется функциональным рядом.Пусть {uk } есть функциональная последовательность (uk : X → R, X ⊂ Rn ).∞Puk сходится в точке x0 ∈ X, есОпределение. Функциональный рядли сходится числовой ряд∞Pk=1uk (x0 ).
Функциональный рядk=1поточечно на множестве E ⊂ X, если числовой ряд∞P∞Puk сходитсяk=1uk (x) сходится дляk=1каждого x ∈ E. Функциональный ряд сходится равномерно, если сходитсяравномерно его последовательность частичных сумм.Определить область сходимости:2.1Задача [2], 2768.1Исследовать характер сходимости следующего ряда:∞Xxnn=0n!на интервале (0, +∞).Решение. Способ 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
