1610907243-ac283de454695bb7f2524e2bfa39689d (824397), страница 37

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 37)

24.8. Найдем стационарные точки, разрешающиесистему уравнений(∂f∂x (x0 , y0 )∂f∂y (x0 , y0 )= − sin x0 (1 + ey0 ) = 0,= (cos x0 − 1 − y0 )ey0 = 0.351Рис. 2.52: Задача 24.8Получим семейства (2πk, 0), (π(2k + 1), −2), k ∈ Z. Матрица Гессе в точке(x0 , y0 ):y0H(x0 , y0 ) =!y0− cos x0 (1 + e ) − sin x0 e− sin x0 ey0(cos x0 − 2 − y0 )ey0.Следовательно,H(2πk, 0) =H((2k + 1)π, −2) =−2 00−1!,(1 + e−2 ) 00−e−2!.Ответ: точки (2πk, 0), k ∈ Z, есть точки строгого локального максимума.35224.9Задача № 12 из [5], §5Верно ли утверждение: если непрерывно дифференцируемая функция f (x, y),(x, y) ∈ R2 , имеет только одну стационарную точку (x0 , y0 ), в которой унее локальный минимум, то справедливо неравенство f (x, y) > f (x0 , y0 ),∀(x, y) ∈ R2 ?Решение.

Нет. Рассмотреть пример f (x, y) =x332+ 3x2 ey − e−y из [5, Задача№ 6.5, §5]. См. рис. 24.9. У этой функции точка (0, 0) – функции стационарнаяРис. 2.53: Задача 24.9точка, которая определяется из системы уравнений:∂f(x0 , y0 ) = x20 + 6x0 ey0 = 0,∂x353∂f2(x0 , y0 ) = 3x20 ey0 + 2y0 e−y0 = 0.∂yМатрица Гессе в точке (0, 0) имеет вид diag(6, 2). Следовательно, точка (0, 0)– точка строгого локального минимума, f (0, 0) = −1.

Но lim f (1, y) = −∞.t→−∞2525.1Seminar n. 25Понятие экстремума функции. Необходимое и достаточноеусловия экстремума25.2Задача № 9 из [5], §5Найти все стационарные точки функции f (x, y) = x4 + y 4 − 2x2 и исследовать ее на экстремум. Можно ли использовать при этом достаточные условиястрогого экстремума?См. рис.

25.2.Решение. Найдем стационарные точки, разрешающие систему уравнений(∂f3∂x (x0 , y0 ) = 4x0 − 4x0 = 4x0 (x0 − 1)(x0 + 1) = 0,∂f∂y (x0 , y0 )= 4y03 = 0.Получим три стационарные точки (0, 0), (−1, 0), (1, 0).• Рассмотрим точку (0, 0). Матрица Гессе H(0, 0) =−4 0!. Эта точка0 0не является точкой локального экстремума, поскольку в малой проколотой окрестности точки (0, 0) имеем:f (0, y) = y 4 > 0 и f (x, 0) = x2 (x2 − 2) < 0.• Рассмотрим точки (−1, 0) и (1, 0). Здесь H(−1, 0) = H(1, 0) =Посколькуf (−1, 0) = f (1, 0) = −1,3548 00 0!.Рис.

2.54: Задача 25.2тоf (x, y) − f (−1, 0) = f (x, y) − f (1, 0) = f (x, y) + 1= x4 − 2x2 + 1 + y 4 = (x2 − 1)2 + y 4 > 0,Имеем точки локального минимума.Ответ. Точки (±1, 0) – точки строгого локального минимума.25.3Задача № 205 из [16], §6Исследовать функцию f (x, y) на локальный экстремумf (x, y) = (x2 + y 2 )e−(x3552+y 2 ).∀(x, y) ∈ R2 .См. рис. 16.10 и 25.3 и задачи 16.10 и 16.11.Рис.

2.55: Задачи 16.10, 16.11 и 25.3Решение. Найдем критические точки из системы уравнений:∂f22(x, y) = 2xe−(x +y ) (1 − x2 − y 2 ) = 0,∂x∂f22(x, y) = 2ye−(x +y ) (1 − x2 − y 2 ) = 0.∂yЗдесь критическими точками будут точка (0, 0) и точки, лежащие на единичной окружности x2 + y 2 = 1.Запишем вторые производные∂ 2f−(x2 +y 2 )222 −(x2 +y 2 ) 2(x,y)=2e(1−x−y)+4xe(x + y 2 − 2),2∂x356∂ 2f22(x, y) = 4xye−(x +y ) (x2 + y 2 − 2),∂x∂y∂ 2f−(x2 +y 2 )222 −(x2 +y 2 ) 2(x,y)=2e(1−x−y)+4ye(x + y 2 − 2).2∂y!2 0В точке (0, 0) матрица Гессе имеет вид H(0, 0) =. Следовательно,0 2точка (0, 0) – точка строгого локального минимума.Рассмотрим функцию g(z) = ze−z , где g 0 (z) = (1 − z)e−z , g 00 (z) = (z −2)e−z , g 0 (1) = 0, g 00 (1) = − 1e . Следовательно, функция g(z) имеет в т. z =1 локальный максимум.

Таким образом, любая точка (x0 , y0 ), лежащая наединичной окружности x2 + y 2 = 1, является точкой нестрого локальногомаксимума, гдеH(x0 , y0 ) =−4x20 e−1−4x0 y0 e−1−1−4x0 y0 e−4y02 e−1!.Второй минор равен нулю.25.4Задача № 13.1 из [5], §5Исследовать функцию f (x, y, z) на экстремум:f (x, y, z) = x2 + y 2 + (z + 1)2 − xy + x.Решение. Стационарная точка (− 32 , − 13 , −1) находится из системы∂f ∂x (x0 , y0 , z0 ) = 2x0 − y0 + 1 = 0,∂f∂y (x0 , y0 , z0 ) = 2y0 − x0 = 0, ∂f (x0 , y0 , z0 ) = 2(z0 + 1) = 0.∂zВыписывается либо матрица Гессе2 −1 0 −1 2 0  ,0 0 2357либо2 11f (x, y, z) − f − , − , −1 = f (x, y, z) + =3 332 22112x+y++ y+− x++ (z + 1)2 .3333Ответ.

Точка − 32 , − 31 , −1 – точка строго локального минимума.25.5Задача № 13.4 из [5], §5Исследовать функцию f (x, y, z) на экстремум:f (x, y, z) = x3 + y 2 + z 2 + 6xy − 4z.Решение. Стационарные точки (0, 0, 2) и (6, −18, 2) находятся из системы∂f2 ∂x (x0 , y0 , z0 ) = 3x0 + 6y0 = 0,∂f∂y (x0 , y0 , z0 ) = 2y0 + 6x0 = 0, ∂f (x0 , y0 , z0 ) = 2z0 − 4 = 0.∂zВ точке (0, 0, 2) выписывается либо матрица Гессе0 6 0 6 2 0 ,0 0 2либоf (x, y, z) − f (0, 0, 2) = f (x, y, z) + 4 = y(y + 6x) + x3 + (z − 2)2 .Легко видеть, что приращение не является знакопостоянным: f (x, 0, 2) −f (0, 0, 2) = x3 .В точке (6, −18, 2) выписывается либо матрица Гессе36 6 0 6 2 0 ,0 0 2358либоf (x, y, z) − f (6, −18, 2) = f (x, y, z) + 112 = 18(x − 6)2+ 6(x − 6)(y + 18) + (y + 18)2 + (x − 6)3 + (z − 2)2 > 0в малой окрестности точки (6, −18, 2).Ответ.

Точка (6, −18, 2) – точка строго локального минимума.25.6Задача № 15.1 из [5], §5; Задача № 3647 из [2]Исследовать функцию f (x, y, z) на экстремум:f (x, y, z) = sin x + sin y + sin z − sin(x + y + z),x, y, z ∈ (0, π).Решение. Стационарная точка ( π2 , π2 , π2 ) находится из системы∂f ∂x (x0 , y0 , z0 ) = cos x0 − cos(x0 + y0 + z0 ) = 0,∂f∂y (x0 , y0 , z0 )∂f∂z (x0 , y0 , z0 )= cos y0 − cos(x0 + y0 + z0 ) = 0,= cos z0 − cos(x0 + y0 + z0 ) = 0,которая будет эквивалентна в области (0, π)3 системе x0 = 2π − x0 − y0 − z0 ,y0 = x 0 ,z0 = x0 .В точке π2 , π2 , π2 матрица Гессе имеет вид−2−1−1π π π H, ,=  −1 −2 −1  .2 2 2−1 −1 −2Нечетные миноры – отрицательные, а четный минор – положительный. Следовательно, матрица Гессе H π2 , π2 , π2 – отрицательно определена. Для понимания, приведем формулу Тейлора 2-го порядка в точке π2 , π2 , π2 :π π π π 2 π 2 π 2f (x, y, z) − f, ,=− x−− y−− z−2 2 2 2 2 2πππππ π− x−y−− x−z−− y−z−+222222π 2 π 2π 2 o x−+ y−+ z−6 0.222359Ответ.

Точка ( π2 , π2 , π2 ) – точка строгого локального максимума.25.7Задача № 16.1 из [5], §5; Задача 211 из [16], §6Исследовать функцию f (x1 , . . . , xn ), (x1 , . . . , xn ) ∈ Rn , xk > 0, k = 1, 2, . . . , n,на экстремум:f (x1 , . . . , xn ) =1−nX!kxkk=1nYxkk .k=1Решение. Стационарная точка (x0,1 , . . . , x0,n ), находится из системы nnPQ k∂f(x,...,x)=−x+1−kxx0,k = 0,0,10,n0,10,k∂x1k=1k=2...nn−1PQ k∂fn−1kx0,k x0,nx0,k = 0. ∂xn (x0,1 , . . . , x0,n ) = n −x0,n + 1 −k=1k=1Поскольку xk > 0, k = 1, 2, . . . , n, то эту систему можно переписать в эквивалентном видеnPx0,1 +kx0,k = 1,k=1...nP x0,n +kx0,k = 1.k=1Легко видеть, что x0,1 = . .

. = x0,n = c, где c находится из уравнения!nXn(n + 1)c 1+k =c 1+= 1.2k=1Следовательно, c =22+n+n2 .В точке (c, . . . , c) матрица Гессе имеет вид22···n−1n 22·3· · · 2(n − 1)2n2n +2n−2 .......−c 2  ..... n − 1 2(n − 1) · · · (n − 1)n (n − 1)nn2n· · · (n − 1)n (n + 1)n360.(n2 +2n−2)2В свою очередь, миноры Am = (−1)m m!cm m 2 2 2 2 ··· m − 1 −1 1 1 3 ··· m − 1m .. ...... .. ..Bm = .

... = . . 1 2 ···mm −1 0 1 2 · · · m − 1 m + 1 −1 0mP 2+k 2 ··· m − 1 mk=201 ···00............00 ···1000 ···01·········Bm чередуют знак, гдеm−1 m 00 .... .. =10 01 ···mXm(m + 1)=2+k =1+.2k=2Ответ. Точка (c, . . . , c) – точка строгого локального максимума; f (c, . . . , c) =1cc .25.8Задача № 16.2 из [5], §5; Задача 212 из [16], §6Исследовать функцию f (x1 , . . . , xn ), (x1 , . . .

, xn ) ∈ Rn , xk > 0, k = 1, 2, . . . , n,на экстремум:f (x1 , . . . , xn ) =nXxk+1k=0xk,x0 = a > 0,xn+1 = b > 0.Решение. Самостоятельно.25.9Задача № 36 из [5], §5Доказать, что наибольшее и наименьшее значения функцииf (x1 , . . . , xn ) =nXaik xi xk ,aik = aki ,i,k=1на сфереnPx2i = 1 равны наибольшему и наименьшему корню характеристи-i=1ческого уравнения матрицы (aik ).361Решение. При нахождении условного экстремума, вместо критических точек функции f ищутся критические точки функции Лагранжа L(x, λ) =f (x) − λϕ(x), поскольку для h из касательной плоскости к сфере∂f∂h= 0.Следовательно, ∇f = λ∇ϕ.Рассмотрим функцию ЛагранжаL(x, λ) =nXaik xi xk −i,k=1Получим систему:nXaik xk − λxi = 0,nXλ2!x2i − 1 .i=1i = 1, .

. . ,k=1где (x1 , . . . , xn ) ∈ Sn−1 .26Seminar n. 26Test No. 4.26.1Формулировка контрольной работыДана функция f (x, y) = x + y + 4 sin x · sin y.1. Исследовать на экстремум в области R2 . Cм.10.π π2. Записать формулу Тейлора второго порядка в точке ( 12, 12 + π).11113. Найти производные по направлениям l1 = √2 , √2 и l2 = − √2 , − √2в точке ( π3 , π3 ).См. рис. 26.1.Решение 1-го пункта. Рассмотрим систему уравнений∂f(x0 , y0 ) = 1 + 4 cos x sin y = 0,∂x∂f(x0 , y0 ) = 1 + 4 sin x cos y = 0.∂y10Задача № 8.3 из [5], §5362Рис.

2.56: Задача 26.1.Из равенства левых частей друг другу, получим tg x = tg y, если x, y 6= π2 +πr,r ∈ Z, см.11. Следовательно, y = x + πl. Рассмотрим два случая.• l = 2m + 1, m ∈ Z. Тогда мы подставим в уравнение cos x sin y = − 14зависимость y = x + (2m + 1)π и получим:cos x sin x =11⇔ sin 2x = .42Следовательно, получим два семейства точек (x1 , y1 ) и (x2 , y2 ):(πx1 = 12+ πk,y1 =11Легко видеть, что случай x, y =π2π12+ πk + (2m + 1)π,+ πr не подходит363(x2 =y2 =5π125π12+ πk,+ πk + (2m + 1)π,где k, m ∈ Z.• l = 2m, m ∈ Z.

Тогда мы подставим в уравнение cos x sin y = − 41 зависимость y = x + 2mπ и получим:11cos x sin x = − ⇔ sin 2x = − .42Следовательно, получим два семейства точек (x3 , y3 ) и (x4 , y4 ):(x3 = 11π12 + πk,(y3 =11π12+ πk + 2mπ,x4 =7π127π12+ πk,y4 =+ πk + 2mπ,где k, m ∈ Z.Рассмотрим Матрицу Гессе в точке (x, y):H(x, y) =!−4 sin x sin y 4 cos x cos y4 cos x cos y−4 sin x sin yТаким образом, выпишем матрицы Гессе для четырех семейств точек:H(x1 , y1 ) = H(ππ+ kπ,+ kπ + (2m + 1)π) =12122(1 −−2(1H(x2 , y2 ) = H(5π5π+ kπ,+ kπ + (2m + 1)π) =12122(1 +−2(1H(x3 , y3 ) = H(√32 √)+ 23 )2(1 −√3)2√− 23 )11π11π+ kπ,+ kπ + 2mπ) =1212364√√3)√ 232 )−2(1 −2(1 +√√3)√ 232 )3)√ 232 )−2(1 +−2(1 −2(1 +2(1 +−2(13)2√− 23 )!,!,!,H(x4 , y4 ) = H(7π7π+ kπ,+ kπ + 2mπ) =1212√−2(1 + 23 )√2(1 − 23 )√2(1 − 23 )√−2(1 + 23 )!.Ответ 1-го пункта. Точки (x2 , y2 ) – точки строгого локального минимума,√+2kπ+(2m+1)π−2−f (x2 , y2 ) = 5π3; точки (x4 , y4 ) – точки строгого6√локального максимума, f (x2 , y2 ) = 7π+2kπ+2mπ+2+3.626.2Задачи для самоподготовки1.

Характеристики

Список файлов семинаров