1610907243-ac283de454695bb7f2524e2bfa39689d (824397), страница 33
Текст из файла (страница 33)
Если f : X → Rm , K – компактное множество в X иf ∈ C(K), то f равномерно непрерывна на K.18.1ЗадачаЯвляется ли функция f (x, y) =(p122x + y sin x2 +y2 , x2 + y 2 6= 0,x2 + y 2 = 0,0,рывной в т. (0, 0)? См. рис. 18.1.Рис. 2.20: Задача 18.1.289непре-Решение.p x2 + y 2 sin p11 = x2 + y 2 sin6x2 + y 2 x2 + y 2 px2 + y 2 < δε < ε.Ответ. Функция f (x, y) непрерывна в точке (0, 0).18.2Задача № 51 из [5], §2(Является ли функция f (x, y) =xyx2 +y 2 ,x2 + y 2 6= 0,0,x2 + y 2 = 0,См. рис.
18.2.Рис. 2.21: Задача 18.2.290непрерывной в т. (0, 0)?Решение. Показать, что предела нет. Из картинки 18.2 видно, что f ( k1 , k1 ) =12,f ( k1 , − k1 ) = − 12 , k ∈ N.Ответ. Функция f (x, y) не является непрерывной в точке (0, 0).18.3Задача № 53 из [5], §2Найти значение параметра a, при котором функция( 3 2x −xy22x2 +y 2 , x + y 6= 0,f (x, y) =a,x2 + y 2 = 0,непрерывна в R2 ? См.
рис. 18.3.Рис. 2.22: Задача 18.3.29132x −xyРешение. Покажем, что lim22 = 0:x→0 x +yy→0 3p x − xy 2 |x|(x2 + y 2 )≤=|x|≤x2 + y 2 < δ < ε. x2 + y 2 22x +yОтвет. Функция f (x, y) является непрерывной в точке (0, 0) при a = 0.18.4Задача № 57 из [5], §2Найти значения параметров a и b, при которых функцияa,x2 + y 2 6 4,ppf (x, y) =9 − x2 − y 2 − x2 + y 2 − 4, 4 < x2 + y 2 6 9b,x2 + y 2 > 9,непрерывна в R2 ?Решение.
Рассмотрим функцию√z 6 4, √5,√g(z) =9 − z − z − 4, 4 < z 6 9 √− 5,z > 9,посколькуlim g(z) =z→4+0√5,√lim g(z) = − 5.z→9−0Рассмотрим произвольную точку (x0 , y0 ), лежащую на окружности x2 + y 2 =4.lim f (x, y) = lim g(z) =x→x0y→y0z→4√5.Аналогично, рассмотрим произвольную точку (x0 , y0 ), лежащую на окружности x2 + y 2 = 9.√lim f (x, y) = lim g(z) = − 5.x→x0y→y0z→9Ответ.
Функция f (x, y) является непрерывной в R2 при a =292√√5 и b = − 5.18.5Задача № 62.4 из [5], §2Найти все точки разрыва, указать точки устранимого разрыва функции двухпеременных:f (x, y) = √x,x2 +y 2x2 + y 2 6= 0,x2 + y 2 = 0. 0,См. рис. 18.5.Рис. 2.23: Задача 18.5.Решение. Покажите, что пределxplimx→0x2 + y 2y→0не существует. Выберем последовательности {( k1 , 0)} и {(0, k1 )}.Ответ. Функция f (x, y) имеет точку (неустранимого) разрыва {(0, 0)}.29318.6Задача № 62.9 из [5], §2Найти все точки разрыва, указать точки устранимого разрыва функции двухпеременных:y2f (x, y) = x sinx2 + y 2Рис. 2.24: Задача 18.6.Решение.domf = R2 \{(0, 0)}.Покажем, чтоy2limx sin 2= 0.x→0x + y2y→0294.Действительно,2py 6 |x| 6 x2 + y 2 < δ < ε.x sinx2 + y 2 Ответ.
Функция f (x, y) имеет точку устранимого разрыва {(0, 0)}.18.7Задача № 63.10 из [5], §2Найти все точки разрыва функции трех переменных:f (x, y, z) = 1/(ln |x2 + y 2 − z 2 |).Решение. Самостоятельно.18.8Задача № 65 из [5], §2Выяснить, является ли функция(12 arctg (x2 −y2 ) , x + y =6 0,f (x, y) =π,x + y = 0,непрерывной на своей области определения. См. рис. 18.8.Решение.
Самостоятельно.18.9Задача № 77.1 из [5], §2Исследовать на равномерную непрерывность функцию f (x, y) = 2x + 3y + 4на множестве X = R2 .Решение.p|f (x2 , y2 )−f (x1 , y1 )| = |2x2 +3y2 −2x1 −3y1 | 6 2|x2 −x1 |+3|y2 −y1 | < 3 |x2 − x1 |2 + |y2Ответ. Функция f (x, y) является равномерно непрерывной в R2 .18.10ЗадачаИсследовать на равномерную непрерывность функцию f (x, y) =множестве X = R2 .См. рис.
18.10.295px2 + y 2 наРис. 2.25: Задача 18.8.Решение. Пусть x1 6= 0 и y1 6= 0 (остальные случаи очевидны). Рассмотримоценку: 2qqx2 − x21 + y22 − y12 x2 + y 2 − x2 + y 2 = pp62211x22 + y22 + x21 + y12|x − x1 | (|x2 | + |x1 |)|y − y1 | (|y2 | + |y1 |)p2pp2p+6x22 + y22 + x21 + y12x22 + y22 + x21 + y12|x2 − x1 | (|x2 | + |x1 |) |y2 − y1 | (|y2 | + |y1 |)+=(|x2 | + |x1 |)(|y2 | + |y1 |)q|x2 − x1 | + |y2 − y1 | 6 2 |x2 − x1 |2 + |y2 − y1 |2 < 2δ < ε.Ответ.
Функция f (x, y) является равномерно непрерывной в R2 .296Рис. 2.26: Задача 18.10.18.11ЗадачаpИсследовать на равномерную непрерывность функцию f (x, y) = − 3 x2 + y 2 ,α ∈ (0, 1] на множестве X = R2 .См. рис. 18.11.Решение. Пусть x1 6= 0 и y1 6= 0 (остальные случаи очевидны). Подсказка:можно воспользоваться представлениемq q 23 q 32 q3 x2 + y 2 − 3 x2 + y 2 = x22 + y22 −x21 + y12 2211 222 33и неравенством z2 − z1 6 |z2 − z1 | 3 при z1 , z2 > 0.Ответ. Функция f (x, y) является равномерно непрерывной в R2 .297Рис. 2.27: Задача 18.11.18.12ЗадачаИсследовать на равномерную непрерывность функцию f (x, y) = (x2 + y 2 )α ,α ∈ (0, +∞) на множестве X = R2 .Решение.
Из задач 18.10 и 18.11 следует равномерная сходимость при α ∈(0, 21 ].Если α > 12 , то рассмотрим последовательности {(k, 0)} и {(k + k1β , 0)}, β > 0.298Тогда!2α2α111f (k + β , 0) − f (k, 0) = k + β1 + β+1− k 2α = k 2α−1 =kkk2α11 + kβ+1−12α−1−β.k1k β+1Если 2α − 1 > 0, то всегда найдется такое β > 0, что 2α − 1 − β > 0.Ответ. Функция f (x, y) является равномерно непрерывной в R2 при α ∈(0, 12 ].18.13Задача № 77.2 из [5], §2Исследовать на равномерную непрерывность функцию f (x, y) = ln(x2 + y 2 )на множестве X = {x2 + y 2 > 1}.См.
рис. 18.13.Решение. Пусть x1 6= 0, y1 6= 0. Случаи (x1 = 0, y1 6= 0), (x1 6= 0, y1 = 0),(x1 = 0, y1 = 0) – очевидны. Воспользуемся теоремой Лагранжа для функцииg(z) = ln z, z > 1: qqln(x22 + y22 ) − ln(x21 + y12 ) = 2 ln x2 + y 2 − ln x2 + y 2 =2211 2qqx2 + y22 − x21 − y12 22 =x22 + y22 − x21 + y12 = ppξ2222ξx2 + y2 + x1 + y12 |(x2 − x1 )(x2 + x1 ) + (y2 − y1 )(y2 + y1 )|p,p2222ξx 2 + y2 + x 1 + y1pp22где ξ ∈ I( x1 + y1 , x22 + y22 ). Следовательно,ln(x22 + y22 ) − ln(x21 + y12 ) 6|x2 − x1 | · (|x2 | + |x1 |)|y − y1 | · (|y2 | + |y1 |)pp2p+262p 2x2 + y22 + x21 + y12x22 + y22 + x21 + y122 |x2 − x1 | + 2 |y2 − y1 | 6q4 |x2 − x1 |2 + |y2 − y1 |2 < 4δ < ε.Ответ.
Функция f (x, y) является равномерно непрерывной в X.299Рис. 2.28: Задача 18.13.18.14Задача № 77.3 из [5], §2Исследовать на равномерную непрерывность функцию f (x, y) = sin 1−xπ2 −y2на множестве X = {x2 + y 2 < 1}. См. рис. 18.14.Решение. Самостоятельно.18.15Задача № 77.4 из [5], §2Исследовать на равномерную непрерывность функцию f (x, y) = arcsin xy намножестве X = {|y| < x}. См. рис. 18.15.Решение. Самостоятельно.300Рис. 2.29: Задача 18.14.19Seminar n. 19Дифференцируемость и дифференциал функции двух аргументов1Пусть X – открытое множество в Rn . Функция f : X → Rm называетсядифференцируемой в точке a ∈ X, если существует такое линейное отображение La : Rn → Rm , чтоf (x) − f (a) − La hx − ai = o(|x − a|) при x ∈ X и x → a.Линейное отображение La : Rn → Rm называется дифференциалом функцииf в точке a.1Теория взята из [8, Стр.
20]301Рис. 2.30: Задача 18.15.Пусть X – открытое множество в Rn , f : X → Rm , a ∈ X и h ∈ Rn .Предел, если он существует,f (a + λh) − f (a)λ→0λlimназовём производной функции f в точке a по направлению вектора h и обозначим его через∂f∂h (a).Если функция f дифференцируема в точке a, то, как нетрудно видеть,∂f∂h (a)= f 0 (a)hhi. Пусть {ei } – стандартный базис в Rn , i = 1, . . .
, n. Частнойпроизводной функции f по переменной xi называется производная функцииf по направлению i-го базисного вектора ei . Она обозначается302∂f∂xi (a).Такимобразом,∂ff (a + λei ) − f (a)(a) = lim.λ→0∂xiλСхема исследования на дифференцируемость функции f = f (x, y) в т.(x0 , y0 ):1. Проверка непрерывности функции f = f (x, y) в т. (x0 , y0 ).2.
Нахождение частных производных функции f = f (x, y) в т. (x0 , y0 ):∂f∂x (x0 , y0 )и∂f∂y (x0 , y0 ).3. Проверка дифференцируемости функции f = f (x, y) в т. (x0 , y0 ):∂ff (x, y) − f (x0 , y0 ) − (x − x0 ) ∂f∂x (x0 , y0 ) − (y − y0 ) ∂y (x0 , y0 )plim= 0.x→x0(x − x0 )2 + (y − y0 )2y→y019.1Пример № 3 из [5], §3; Задача 3212.1 из [2]Исследовать на дифференцируемость функцию f (x, y) =√3xy в точке (0, 0).См. рис. 19.1.Решение. Найдем частные производные√3∂fx·0(0, 0) = lim= 0,x→0∂xx√3 y · 0∂f(0, 0) = lim= 0.y→0∂yyТаким образом L(0,0) h(x, y)i = 0 · x + 0 · y.
Покажем, что предел∂ff (x, y) − f (0, 0) − x ∂f∂x (0, 0) − y ∂y (0, 0)plimx→0x2 + y 2y→0√3не существует. Пусть g(x, y) = √f ( k1 , k1 ) =xyx2 +y 2. Рассмотрим последовательность ( k1 , k1 ):4k32→ +∞, при k → +∞.Ответ. Функция f (x, y) не дифференцируема в точке (0, 0).303Рис. 2.31: Задача 19.1.19.2Задача № 26.4 из [5], §3Найти все точки, в которых функция f (x, y) дифференцируема, если:1f (x, y) =1 + |xy|в точке (0, 0). См. рис. 19.2.Решение. Рассмотрим точку (0, 0). Покажем, что функция непрерывна вточке (0, 0): 11 2δ2|xy|2− 1 =≤ (x + y ) << ε.|f (x, y) − f (0, 0)| = 1 + |xy|1 + |xy| 22Найдем частные производные∂ff (x, 0) − f (0, 0)(0, 0) = lim= 0,x→0∂xx304Рис.
2.32: Задача 19.2.∂ff (0, y) − f (0, 0)(0, 0) = lim= 0.y→0∂yyТаким образомL(0,0) h(x, y)i = x∂f∂f(0, 0) + y (0, 0) = 0 · x + 0 · y = 0.∂x∂yПокажем, что∂ff (x, y) − f (0, 0) − x ∂f∂x (0, 0) − y ∂y (0, 0)plim= 0.x→0x2 + y 2y→0Пусть∂ff (x, y) − f (0, 0) − x ∂f−|xy|∂x (0, 0) − y ∂y (0, 0)ppg(x, y) ==.22x +y(1 + |xy|) x2 + y 2305Таким образом,|g(x, y)| =|xy||xy|(x2 + y 2 )p6p6 p=(1 + |xy|) x2 + y 2x2 + y 22 x2 + y 2δ1p 2x + y 2 < < ε.22Легко показать, что не существует частных производных∂f∂y (x, 0),∂f∂x (0, y),y 6= 0;x 6= 0.Но имеют место односторонние частные производные∂f−f (x, y) − f (0, y)−|xy|(0, y) = lim= lim=x→0−x→0− x(1 + |xy|)∂xx−(−x)|y|= |y|,x→0− x(1 + |xy|)lim∂f+f (x, y) − f (0, y)−|xy|(0, y) = lim= lim=x→0+x→0+ x(1 + |xy|)∂xx−(x)|y|= −|y|.x→0+ x(1 + |xy|)limОдносторонние частные производные можно проанализировать из картинки19.2.Ответ: Функция дифференцируема на множестве{(x, y) ∈ R2 : xy 6= 0} ∪ {(0, 0)}19.3Пример № 4 из [13], Cтр.
296Исследовать на дифференцируемость функцию( 44y 3 ln(y 2 + x 3 ), x2 + y 2 6= 0,f (x, y) =0,x2 + y 2 = 0,в точке (0, 0). См. рис. 19.3.306Рис. 2.33: Задача 19.3.Решение. Покажем, что функция непрерывна в точке (0, 0):44 23y ln(y + x ) =43y34 23(y + x ) ln(y + x ) =4(y 2 + x 3 )η4441y32η2η·(y + x 3 ) ln(y + x 3 ) 64η (y 2 + x 3 )η441y31y3·sup z |ln z| =·,η (y 2 + x 34 )η z∈(0,1)ηe (y 2 + x 43 )η243η307p4η4ηпри (y + x ) 6 2 ( x2 + y 2 ) 3 < 2η δ 3 < 1. Далее,432ηη44y34ηe(y 2 + x 3 )η=4r 3 sin 3 ϕ644ηe(r2 sin2 ϕ + r 3 cos 3 ϕ)η4r3=ηe(r2 sin2 ϕ + r2 cos2 ϕ)η444r3r 3 −2ηδ 3 −2η=<< ε,ηer2ηηeηeпри η ∈ (0, 32 ).Найдем частные производные∂ff (x, 0) − f (0, 0)0−0(0, 0) = lim= lim= 0,x→0x→0∂xxx4f (0, y) − f (0, 0)y 3 ln(y 2 )∂f(0, 0) = lim= lim= 0.y→0y→0∂yyyПокажем, что предел∂f44f (x, y) − f (0, 0) − x ∂fy 3 ln(y 2 + x 3 )∂x (0, 0) − y ∂y (0, 0)pplim= lim= 0.x→0x→0x2 + y 2x2 + y 2y→0y→0Действительно,4 4 24y 3 ln(y + x 3 )44 y32γ233p=p(y + x ) ln(y + x ) <4x2 + y 2x2 + y 2 (y 2 + x 3 )γ1δ 3 −2γ< ε,γeОтвет.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
