1610907243-ac283de454695bb7f2524e2bfa39689d (824397), страница 32

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 32)

. . , xn,k ) ∈ Rn к точке a = (a1 , . . . , an ) ∈ Rn необходимо и достаточно, чтобы lim xi,k = ai , i = 1, 2, . . . , n.k→∞16.2Задача 10 из [5], §1Доказать, что если последовательность {xk } точек пространства Rn стремится к бесконечности, то:1) ρ(xk , a) → ∞ при k → ∞, где a – любая фиксированная точка пространства Rn ;2) может не существовать координата xi,k , 1 ≤ i ≤ n, такая, что lim xi = ∞.k→∞27016.3Задача 3195 из [2]Найти пределlimx→0y→0xy.|x| + |y|Решение.Здесьпеременные(( мы используемpx = r cos ϕ,r = x2 + y 2 ,ϕ = arctg xy .y = r sin ϕ,r2 | cos ϕ|| sin ϕ|r2| cos ϕ|| sin ϕ||xy|==≤|x| + |y| r(| cos ϕ| + | sin ϕ|) 2(| cos ϕ| + | sin ϕ|)(| cos ϕ|2 + 2| cos ϕ|| sin ϕ| + | sin ϕ|2 ) rr= (| cos ϕ| + | sin ϕ|) ≤ r =2(| cos ϕ| + | sin ϕ|)2px2 + y 2 < δ.Ответ:limx→0y→016.4xy= 0.|x| + |y|ЗадачаИсследовать существование предела функции f (x, y) в т.

(0, 0):limx→0y→0x2 y.x4 + y 2Найти повторные пределы lim (lim f (x, y)) и lim(lim f (x, y)) (Самостоятельx→0 y→0y→0 x→0но). См. рис. 16.4.Решение. Возьмем f ( k1 , 0) = 0, f ( k1 , k12 ) = 12 . Следовательно, нарушается потеореме Гейне.Ответ: ∅, но lim (lim f (x, y)) = lim(lim f (x, y)) = 0.x→0 y→016.5y→0 x→0Пример 1 из [13], C.

288Найти пределsin xyplim.x→0x2 + y 2y→0См. рис. 16.5.271Рис. 2.8:Задача 16.4Решение.Здесьпеременные(( мы используемpx = r cos ϕ,r = x2 + y 2 ,y = r sin ϕ,ϕ = arctg xy . sin xy r2 | sin 2ϕ||xy|1== ·pp≤p2222 x2 + y 2 2x2 + y 2r cos ϕ + r sin ϕrr1p 2δ| sin 2ϕ| ≤ =x + y 2 < < ε.22 22Ответ:sin xyplim= 0.x→0x2 + y 2y→0272Рис. 2.9:16.6Задача 16.5Задача № 37.4.в) из [5], §2Найти пределlimx→0y→0x2 y + y 2 x.x2 − xy + y 2См. рис. 16.6.Решение.

Здесь мы используем переменные273Рис. 2.10:(x = r cos ϕ,y = r sin ϕ,(Задача 16.6px2 + y 2 ,ϕ = arctg xy .r= 2232 x y + y2x = r | cos ϕ sin ϕ + sin ϕ cos ϕ| = x2 − xy + y 2 r2 (cos2 ϕ − cos ϕ sin ϕ + sin2 ϕ)r| cos ϕ sin ϕ| · | cos ϕ + sin ϕ|=(1 − 12 sin 2ϕ)√ p√r | sin 2ϕ| · | sin(ϕ + π4 )| √2 + y2 <√ ·≤2r=2x2δ < ε.(1 − 21 sin 2ϕ)2Ответ:x2 y + y 2 xlim= 0.22x→0y→0 x − xy + y27416.7Задача № 37.8.в) из [5], §211x sin + y sinlim.x→0yxy→0Найти повторные пределы lim (lim f (x, y)) и lim(lim f (x, y)) (Самостоятельx→0 y→0y→0 x→0но). См. рис. 16.7.Рис.

2.11:Задача 16.7Решение. Функция f (x, y) = x sin y1 + y sin x1 имеет область определенияdomf = R2 \({(x, y) ∈ R2 : x = 0} ∪ {(x, y) ∈ R2 : y = 0}).p11x sin + y sin ≤ |x| + |y| ≤ 2 x2 + y 2 < 2δ < ε.yx2751yx sin + y sinОтвет: limx→01x= 0, но повторных пределов не существует.y→016.8ЗадачаИсследовать существование предела:x2 + y 2.limx→0 x2 + y 3y→0Найти повторные пределы lim (lim f (x, y)) и lim(lim f (x, y)) (Самостоятельx→0 y→0y→0 x→0но).

См. рис. 16.8.Рис. 2.12: Задача 16.8.Решение. lim f (0, k1 ) = +∞, lim f ( k1 , 0) = 1.k→∞k→∞Ответ: ∅, но lim (lim f (x, y)) = 1, lim(lim f (x, y)) = ∞.x→0 y→0y→0 x→027616.9Задача № 40.1.в) из [5], §2Исследовать существование предела:x2 + y 2lim 2.3x→∞y→∞ x + yНайти повторные пределы lim ( lim f (x, y)) и lim ( lim f (x, y)) (Самостояx→∞ y→∞y→∞ x→∞тельно).Решение. lim f (0, m) = 0, lim f (m, 0) = 1. Следовательно, по теоремеm→∞m→∞Гейне предел не существует.16.10lim(x2 + y 2 )e−(xx→02+y 2 ).y→0Решение. Самостоятельно.16.11Задача № 40.4.в) из [5], §2Найти пределlim (x2 + y 2 )e−(xx→∞2+y 2 ).y→∞Решение.

Самостоятельно найти предел lim ze−z = 0. Затем, можно покаz→+∞зать по теореме Гейне: zk =16.12x2k+yk2→ +∞ при k → ∞.Пример № 2 из [13], С. 288ln2 (x + y)plim.x→1x2 + y 2 − 2x + 1y→0Решение.ln2 (x + y)ln2 (1 + (x − 1) + y)pplim= lim=x→1x→122(x − 1)2 + y 2x + y − 2x + 1 y→0y→0ln2 (x + y + 1)plim.x→0x2 + y 2y→0277Рис. 2.13:Задачи 16.10,16.11 и 25.42Функция f (x, y) = ln√(x+y+1)определена на множестве22x +ydomf = (x, y) ∈ R2 : x + y + 1 > 0 \{(0, 0)}.См. рис. 16.12. Воспользуемся теоремой Лагранжа для функции g(z) = ln(1+z):z2ln (z + 1) =6 4z 2 при z ∈2(1 + ξ)21 1− ,, где ξ ∈ I(0, z).2 2ln2 (x + y + 1) ln2 (r(cos ϕ + sin ϕ) + 1)p=6 4r(cos ϕ + sin ϕ)2 =rx2 + y 2√π 24r2 sin ϕ +6 8r < 8δε < ε.4278Рис. 2.14:1717.1Задача 16.12Seminar n.

17Задача № 48.1 из [5], §2Найти в точке (0, 0) двойной предел функции f (x, y):limx→0y→0Решение. Функция f (x, y) =domf = R2 \xy√.1 − 3 1 + xy√xy1− 3 1+xyопределена на множестве (x, y) ∈ R2 : x = 0 ∪ (x, y) ∈ R2 : y = 0 .279Найдем предел√−13z1+z−1√lim= − lim= −3.z→0 1 − 3 1 + zz→0zЗатем, покажем по теореме Гейне, чтоlimx→0y→0xy√= −3.31 − 1 + xyРассмотрим произвольную последовательность {(xk , yk )} ⊂ domf такую, чтоlim (xk , yk ) = (0, 0). Пусть zk = xk yk → 0 при k → ∞. Следовательно,k→∞lim √3zkk→∞ 1− 1+zk17.2= −3.Задача № 48.2 из [5], §2Найти в точке (0, 0) двойной предел функции f (x, y):x2 + yp.limx→0x2 + y + 9 − 3y→0Решение. Функция f (x, y) = √x2 +yx2 +y+9−3определена на множествеdomf = {(x, y) ∈ R2 : x2 + y + 9 ≥ 0}\{(x, y) ∈ R2 : x2 + y = 0}.Найдем пределlim √z→0√z= lim z + 9 + 3 = 6.z + 9 − 3 z→0Затем, покажем по теореме Гейне, чтоplimx→0y→0x2 + yx2 + y + 9 − 3= 6.Рассмотрим произвольную последовательность {(xk , yk )} ⊂ domf такую, чтоlim (xk , yk ) = (0, 0).

Пусть zk = x2k + yk → 0 при k → ∞. Следовательно,k→∞lim √k→∞x2k +ykx2k +yk +9−3= 6.28017.3Задача № 48.6 из [5], §2Найти в точке (0, 0) двойной предел функции f (x, y):p1 − 3 sin4 x + cos4 yplim.x→022x+yy→0Решение. Поскольку функция g(x, y) = sin4 x + cos4 y может равняться 1в окрестности точки (0, 0), то мы не можем делить и умножать выражение,стоящее по знаком предела, на g(x, y).p3g(x, y) − 1plim=x→022x+yy→0ppp3332g(x, y) − 1 1 + g(x, y) + g(x, y)lim=pppx→033222y→0x + y 1 + g(x, y) + g(x, y)g(x, y) − 1=limpppx→033222y→0x + y 1 + g(x, y) + g(x, y)g(x, y) − 11ppp×limlim.3x→0x→0g(x, y) + 3 g(x, y)2x2 + y 2y→0 1 +y→0Очевидно, чтоlimx→0y→011pp=.31 + 3 g(x, y) + 3 g(x, y)2Покажем, чтоg(x, y) − 1plim= 0.x→0x2 + y 2y→0Здесь мы используем теорему Лагранжа:cos4 y − 1 = −4 cos3 ξ sin ξ · y,ξ ∈ I(0, y). Следовательно,|g(x, y) − 1| = | sin4 x + cos4 y − 1| 6 sin4 x + | cos4 y − 1| =sin4 x + | − 4 cos3 ξ · sin ξ · y| 6 x4 + 4y 2 6 x2 + 4y 2 6p226 x + 4y 6 4( x2 + y 2 )2 .281Таким образом,p|g(x, y) − 1|p6 4 x2 + y 2 < 4δε < ε.x2 + y 2Рис.

2.15:17.4Задача 17.3Задача № 48.7 из [5], §2Найти в точке (0, 0) двойной предел функции f (x, y):plimx2 + y 2 ln(x2 + y 2 ).x→0y→0См. рис. 17.4.Решение. Пусть f (x, y) =px2 + y 2 ln(x2 + y 2 ). Область определенияdomf = R2 \{(0, 0)}.282Рис. 2.16:limx→0y→0Задача 17.4pln zx2 + y 2 ln(x2 + y 2 ) = lim z ln z 2 = 2 lim 1 =z→0+z→0+z1(ln z)z2 lim 1 0 = 2 lim= −2 lim z = 0.z→0+ ( )z→0+ − 12z→0+zz017.5Задача № 3190 из [2]; Задача № 48.8 из [5], §2Найти следующий двойной предел:limx2 + y 2x→0y→0283x 2 y 2.Решение.x2 + y 2limx→0x 2 y 2!= exp limx2 y 2 ln(x2 + y 2 ) ,x→0y→0y→0x2 y 2limx y ln(x + y ) = limlim(x2 + y 2 )α ln(x2 + y 2 ),x→0x→0 (x2 + y 2 )α x→0y→0y→0y→02 222где α > 0. Очевидно, что22 α22α(x+y)ln(x+y)=limzln z = 0.limx→0z→0+y→0Покажем, чтоx2 y 2lim= 0 при α ∈ (0, 2).x→0 (x2 + y 2 )αy→0В силу неравенства |x||y| 6 12 (x2 + y 2 ) получим2(2−α)1 2δεx2 y 22 2−α6(x+y)<(x2 + y 2 )α4417.6< ε.Задача № 48.9 из [5], §2Найти в точке (0, 0) двойной предел функции f (x, y): 12 x2 +y2lim1 + xy.x→0y→0Решение.lim1 + xyx→0y→0Пусть f (x, y) =ln(1+xy 2 )x2 +y 2 .21x2 +y 2ln 1 + xy 2= exp limx→0x2 + y 2y→0!Область определенияdomf = {(x, y) ∈ R2 : 1 + xy 2 > 0}}\{(0, 0)}.11222 32|xy 2 | ≤1 |xy | ≤ 2(x + y ) ,1+ξ1− 2pp| ln 1 + xy 2 | 2( x2 + y 2 )3≤=2x2 + y 2 < 2δ < ε,2222x +yx +y| ln 1 + xy 2 | =284Рис.

2.17:17.7Задача 17.5Задача № 48.10 из [5], §2Найти в точке (0, 0) двойной предел функции f (x, y):1lim(1 + xy) x2 +y2 .x→0y→0Решение. Пусть f (x, y) =ln(1+xy)x2 +y 2 .Область определенияdomf = {(x, y) ∈ R2 : 1 + xy > 0}}\{(0, 0)}.Покажите, используя теорему Гейне, что предела нет. Возьмите две последовательности, стремящиеся к (0, 0). Например, {( k1 , 0)} и {( k1 , k1 )}.285Рис. 2.18:17.8Задача 17.6Задача № 3188 из [5], §2Найти повторные пределы:limlimx→+∞y→+∞limy→+∞17.9limx→+∞x2 + y2x2 + y2e−(x+y) ,e−(x+y) .Задача № 3189 из [5], §2Найти повторные пределы:limx→+∞limy→+∞xyx2 + y 2286x2 !,Рис.

2.19:Задача 17.7limy→+∞17.10limx→+∞xyx2 + y 2x2 !.Задача № 3191 из [2]Найти повторные пределы:1lim  lim 1 +x→+∞y→axlim  limy→ax→+∞1+2871xx2 x+y,x2 x+y.18Seminar n. 18Непрерывные отображения и их основные свойства. Равномерная непрерывность.Функция f : X → Rm называется непрерывной в точке a ∈ X, еслидля любой окрестности U (f (a)) точки f (a) (в Rm ) существует окрестностьUX (a) точки a, такая, что f (UX (a)) ⊂ U (f (a)).Упражнение. Пусть X ⊂ Rn , f : X → Rm . Доказать, что функция f :X → Rm является непрерывной в точке a ∈ X тогда и только тогда, когдасправедливо хотя бы одно из следующих утверждений:1. для любого ε > 0 существует окрестность U (a) точки a, такая, что |f (x) − f (a)| <ε для всех x ∈ UX (a);2. для любого ε > 0 можно найти такое δ > 0, что |f (x) − f (a)| < ε для всехx ∈ X, удовлетворяющих неравенству |x − a| < δ.Очевидно, что функция f : X → Rm является непрерывной в точке a ∈ Xтогда и только тогда, когдаlim f (x) = f (a).x→aОпределение 18.1.

Функция называется непрерывной на множестве, если она непрерывна в каждой точке этого множества. Множество функций f : X → Rm , непрерывных на множестве E ⊂ X, обозначается черезC(E; Rm ) или просто C(E), если из контекста понятно, что область значений этой функции лежит в Rm .Теорема 18.1. Если X ⊂ Rn и функция f : X → Rm непрерывна, то множество f (A) является компактным для любого компактного множестваA ⊂ X.Теорема 18.2.

(Теорема Вейерштрасса о функции, непрерывной на компакте.) Если K – компактное множество в Rn и f ∈ C(K, Rm ), то функцияf ограничена на K, т.е., существует C ∈ R+ , такое, что |f (x)| 6 C длявсех x ∈ K. Более того, существуют a, b ∈ K, такие, что f (a) = max f (x)x∈Kи f (b) = min f (x).x∈K288Определение 18.2. Функция f : X → Rm называется равномерно непрерывной на множестве E ⊂ X, если для любого ε > 0 существует такоеδ > 0, что |f (x) − f (y)| < ε для всех x, y ∈ E, удовлетворяющих неравенству |x − y| < δ.Теорема 18.3.

Характеристики

Список файлов семинаров