1610907243-ac283de454695bb7f2524e2bfa39689d (824397), страница 31

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 31)

Вычислить предел:Z1limn→∞xndx.1 + xn0Решение.Способ 1. Пусть fn (x) = xn , gn (x) =11+xn .Используем вторую теоремуо среднем:Z1In =xn dx=1 + xnZ10fn (x)gn (x) dx =0Zξgn (0)ZξnZ1fn (x) dx + gn (1)0fn (x) dx = 1ξ12Z1xn dx+0xn+1 ξnxn+1 11 + ξnn+1x dx =, + =n+1 02(n + 1) ξn 2(n + 1)nξn256где ξn ∈ [0, 1]. Затем, используем теорему о двух полицейских:1+110 6 In 6=.2(n + 1) n + 1Ответ.Z1xndx = 0.1 + xnlimn→∞0Способ 2.xn−1xn6, x ∈ [0, 1].061 + xn1 + xnИспользуем монотонность интеграла Римана,:Z106xn dx61 + xnZ101ln 2xn−1 dxn 1=ln(1+x)=.01 + xnnn0Затем, используем теорему о двух полицейских.Способ 3.xn066 xn , x ∈ [0, 1].n1+xИспользуем монотонность интеграла Римана,:Z106xn dx61 + xn0Z1xn+1 11x dx =. =n+1 0 n+1n0Затем, используем теорему о двух полицейских.3.

Вычислить предел:xR2et dt20limx→+∞Rx.2t2edt0Решение.xRlimx→+∞2et dt0RxRx 222 et dtex2= lim2t2edtx→+∞0e2x2Rx= 2 limx→+∞2et dt0ex2=02ex12 lim=lim= 0.2x→+∞ xx→+∞ 2xex2574. Исследовать на абсолютную и условную сходимости при всех значенияхпараметра α несобственный интеграл:Z1xα1sindx.ex − 1x0Решение.Способ 1. Представим подынтегральную функцию как0 x−11xα1e −1α+1sin = xcos.ex − 1xxxДанный интеграл сходится по признаку Абеля при α > −1:0−1 x1e −1α+1f (x) = xcos, g(x) =.xxR1Интеграл f (x) dx сходится по признаку Дирихле при α > −1. Функция0g(x) монотонно стремится к 1 при x → 0+.Исследуем на абсолютную сходимость. В силу неравенства ex > 1 + xпри x > 0, получимИнтегралR1xex −1< 1:xα 1 sin < xα−1 ,xe −1xx > 0.xα−1 dx сходится при α − 1 > −1.

Следовательно, в силу0признака сравнения, интегралα > 0.R10xαex −1sin x1 dx сходится абсолютно приПокажем, используя признак сравнения, что интегралR1 xα1ex −1 sin x dx сходится условно при α ∈ (−1, 0]:0 x−1α−1xα 1 xα1xe−1sin > xsin2 =xe −1xe −1x2x−1−1xα−12 ex − 1xα−1 ex − 1−cos=2xx2x0 x−1xα+12e −1+sin.4xx258Способ 2. Z+∞Z1xα11sin t dt=sindx=x==1ex − 1xtt(e t − 1)tα+101Z+∞−1(cos t)0 dt.1tα+1t(e t − 1)1·5. Найти главное значение несобственного интеграла:πZ2p.v.dx,α − sin xα ∈ (0, 1).0Решение. Найдем первообразную с помощью замены t = tg x2 :ZZdx2 dt==2tα − sin x(1 + t2 )(α − 1+t2)ZZ2 dt2 dt==2t2(t α − 2t + α)(1 + t2 )(α − 1+t2 )Zα t−1+2 dt1−α2t−α√√1− 1−α2α=√21 αt − 1 − 1 − α √√ln + C.1 − α2 αt − 1 + 1 − α2 πZ2p.v.dx=α − sin x0arcsinZ α−δlim δ→0+0limδ→0+π2dx+α − sin xZdx =α − sin xarcsin α+δ αt − 1 − √1 − α2 tg( arcsin α−δ )12√√+ln 1 − α2 αt − 1 + 1 − α2 0√21 αt − 1 − 1 − α 1√√ln =1 − α2 αt − 1 + 1 − α2 tg( arcsin2 α+δ )259√√221 (α − 1 − 1 − α )(1 − 1 − α ) √√√ln =1 − α2 (α − 1 + 1 − α2 )(1 + 1 − α2 ) √11 − 1 − α2√lnα1 − α2√αИспользуя формулу Тейлора и равенство α tg( arcsin)=1−1 − α2 , можно2показать равенство нулю следующих пределов:√arcsin α−δ2) − 1 − 1 − α 1 α tg(2√lim √ln = 0,δ→0+1 − α2 α tg( arcsin2 α+δ ) − 1 − 1 − α2 √arcsin α+δ2) − 1 + 1 − α 1 α tg(2√lim √ln = 0.δ→0+1 − α2 α tg( arcsin2 α−δ ) − 1 + 1 − α2 Область определения domf и область значения ranf функциинескольких переменных (domain, range).15.1Задача № 8.1 из [5], §2Найти область определения функции двух переменных, заданной формулой:f (x, y) =√x+y+√x − y.См.

рис. 15.1.Решение. Нужно записать систему неравенств((x − y > 0,x > y,⇔x + y > 0.x > −y.Ответ. domf = (x, y) ∈ R2 : x > y, x > −y .15.2Задача № 8.2 из [5], §2Найти область определения функции двух переменных, заданной формулой:pf (x, y) = 1 − x2 − y 2 .260Рис. 2.1:Задача 15.1См. рис. 15.2.Решение. Нужно записать неравенство:1 − x2 − y 2 > 0 ⇔ x2 + y 2 6 1.Ответ. domf = (x, y) ∈ R2 : x2 + y 2 6 1 .15.3Задача № 8.4 из [5], §2Найти область определения функции двух переменных, заданной формулой:f (x, y) = ln(x2 + y 2 − 1).См. рис. 15.3.261Рис. 2.2:Задача 15.2Решение. Нужно записать неравенство:x2 + y 2 − 1 > 0 ⇔ x2 + y 2 > 1.Ответ.

domf = (x, y) ∈ R2 : x2 + y 2 > 1 .15.4Задача № 8.6 из [5], §2Найти область определения функции двух переменных, заданной формулой:f (x, y) = ln(x2 + 4y 2 − 2x − 3).См. рис. 15.4.262Рис. 2.3:Задача 15.3Решение. Нужно записать неравенство:(x − 1)2x + 4y − 2x − 3 > 0 ⇔ (x − 1) + 4y > 4 ⇔+ y 2 > 1.222Ответ.15.52222(x−1)domf = (x, y) ∈ R2 :+ y2 > 1 .22Задача № 8.19 из [5], §2Найти область определения функции двух переменных, заданной формулой:f (x, y) = ln(sin(π(x2 + y 2 ))).См. рис.

15.5.263Рис. 2.4:Задача 15.4Решение. Рассмотрим функции g(t) = ln(sin(πt)):domg =[(2k, 2k + 1).k∈ZОтвет.∞ no[p√√222domf =(x, y) ∈ R : 2n < x + y < 2n + 1 .n=0√√Отметим, что lim ( 2n + 1 − 2n) = limn→+∞n→+∞264√1 √2n+1+ 2n= 0.Рис. 2.5:15.6Задача 15.5Задача № 8.20 из [5], §2Найти область определения функции двух переменных, заданной формулой: πy √f (x, y) = x ln tg.xРешение.

Рассмотрим функции g(t) = ln(tg(πt)):[1domg =k, k +.2k∈Zdomf =[k∈Zy1.(x, y) ∈ R2 : x > 0, k < < k +x2265Рис. 2.6:15.7Задача 15.6Задача № 9.2 из [5], §2Является ли множество, на котором определена функция f = f (x, y):а) замкнутым, б) открытым, в) линейно связным, г) областью, д) замкнутойобластью, е) выпуклым?f (x, y) =px sin y.Решение.

Рассмотрим множества Ak ⊂ R2 :A2r = (x, y) ∈ R2 : x > 0,A2r+1 = (x, y) ∈ R2 : x 6 0,266y ∈ [2rπ, 2rπ + π] ,y ∈ [2rπ + π, 2(r + 1)π] .Рис. 2.7:Задача 15.7Ответ.domf =[Ak .k∈Z15.8Задача № 9.5 из [5], §2Является ли множество, на котором определена функция f = f (x, y):а) замкнутым, б) открытым, в) линейно связным, г) областью, д) замкнутойобластью, е) выпуклым?f (x, y) =√xy + arcsin x.267Решение.domf = (x, y) ∈ R2 : x ∈ [0, 1], y > 0 ∪(x, y) ∈ R2 : x ∈ [−1, 0], y 6 0 .15.9Задача № 11.4 из [5], §2Найти множество значений функции u = f (x, y),f (x, y) = ln(2x2 + 3y 2 ),(x, y) ∈ E:E = {(x, y) ∈ R2 : x + y = 2, x > 0, y > 0}.Решение.

Мы сводим задачу к функцииg(x) = ln(2x2 + 3(2 − x)2 ) = ln(5x2 − 12x + 12),которая определена на множестве [0, 2], поскольку D = 122 − 4 · 5 · 12 <0. Локальный минимум будет в точке x0 = 56 , т.к. g 0 (x0 ) = 0, g 00 (x0 ) > 0:g(x0 ) = ln( 245 ). Затем, вычисляем значения функции на концах промежутка:g(0) = ln 12, g(2) = ln 8.Ответ.rang = [ln(15.1024), ln 12].5Задача № 11.5 из [5], §2Найти множество значений функции u = f (x, y), (x, y) ∈ E:pf (x, y) = 4 x4 + y 4 , E = {(x, y) ∈ R2 : x + y = 2}.Решение. Самостоятельно.15.11Задача № 12.21 из [5], §2Найти область определения функции трех переменных, заданной формулой:p222f (x, y, z) = arccos(x + y + z − 3) + arccos x2 + y 2 − 3.Решение. Самостоятельно.26816Seminar n.

16Последовательности точек в Rn .Говорят, что последовательность точек {xk } в Rn сходится к точке a, если длялюбой окрестности U (a) точки a существует N ∈ N, такое, что xk ⊂ U (a)для всех k > Nε .Утверждение. Последовательность точек {xk } в Rn сходится к точке a тогдаи только тогда, когда для любого ε > 0 существует такое N ∈ N, что xk ∈B(a, ε) для всех k > N .Теорема. Для того, чтобы последовательность точек {xk } в Rn сходиласьк точке a, необходимо и достаточно, чтобы xi,k → ai при k → ∞ для каждогоi = 1, 2, . . .

, n. Здесь xk = (x1,k , x2,k , . . . , xn,k ).Предел отображения в точке.Мы будем изучать функции, действующие из некоторого множества X ⊂Rn в Rm . Не исключается и случай X = Rn . Такие функции ещё называютвектор-функциями, так как их значениями являются векторы.Проколотой окрестностью точки a ∈ Rn называется множество вида U (a)\{a},oгде U (a) – окрестность точки a. Проколотая окрестность обозначается U (a).ooДля краткости обозначим U X (a) = U (a) ∩ X, UX (a) = U (a) ∩ X.Пусть f : X → Rm и a ∈ X. Вектор b ∈ Rm называется пределом функцииf в точке a (обозначается lim f f (x) = b), если для любой окрестности U (b)x→aoточки b (в Rm ) существует проколотая окрестность U X (a) точки a, такая,oчто f (U X (a)) ⊂ U (b).Упражнение.

Пусть X = Rn , f : X → Rm и a является предельной точкоймножества X. Доказать, что вектор b ∈ Rm является пределом функции f вточке a, если справедливо хотя бы одно из следующих утверждений:1. для любого ε > 0 существует окрестность U (a) точки a, такая, чтоo|f (x) − b| < ε для всех x ∈ U X (a)2. для любого ε > 0 существует такое δ > 0, что |f (x) − b| < ε для всехx ∈ X, удовлетворяющих неравенству 0 < |x − a| < δ.269Теорема. Предел функции в точке определён единственным образом, тоесть, Если векторы b1 и b2 являются пределами функции f в точке a, тоb1 = b2 .Предел функции двух переменных называется двойным переделом и обозначаетсяlim(x,y)→(x0 ,y0 )f (x, y) или x→xlim f (x, y).0y→y0oОпределение по Коши: x→xlim f (x, y) = b, если f (x, y) определена в U X (x0 , y0 )0y→y0oи ∀ε > 0 ∃δ > 0: ∀(x, y) ∈ U X (x0 , y0 ): 0 <p(x − x0 )2 + (y − y0 )2 < δ =⇒|f (x, y) − b| < ε.oТеорема Гейне: x→xlim f (x, y) = b ⇔ f (x, y) определена в U X (x0 , y0 ) и для0y→y0oлюбой последовательности {(xk , yk )} ⊂ U X (x0 , y0 ) такой, что lim (xk , yk ) =k→∞(x0 , y0 ), выполняется равенство lim f (xk , yk ) = b.k→∞Болееповторныепределы того, введемlim lim f (x, y) и lim lim f (x, y) .x→x016.1y→y0y→y0x→x0Задача 7 из [5], §1Доказать, что для сходимости последовательностиxk = (x1,k , .

Характеристики

Список файлов семинаров