1610907243-ac283de454695bb7f2524e2bfa39689d (824397), страница 38
Текст из файла (страница 38)
Дана функция f (x, y) = sin x · sin y · sin(x + y).(a) Исследовать на экстремум в области (0, π)2 .(b) Записать формулу Тейлора второго порядка в точке ( π3 , π3 ).2π(c) Найти производную по направлению l = ( √12 , √12 ) в точке ( 2π3 , 3 ).2. Исследовать непрерывность и дифференцируемость функции в точке(0, 0) в зависимости от параметра α.(3 2f (x, y) =x y(x6 +y 6 )αпри x2 + y 2 6= 0,0при x2 + y 2 = 0.3.
См. задачу 24.6. Дана функция f (x, y) = sin x + cos y + cos(x − y).(a) Исследовать на экстремум в области (0, π2 ) × (0, π2 ).(b) Записать формулу Тейлора второго порядка в точке ( π3 , π6 ).(c) Найти производную по направлению ~l = ( √12 , − √12 ) в точке ( π3 , π6 ).4. Исследовать на экстремум функциюf (x, y) = x3 − 4x2 + 2xy − y 2 .5. Исследовать на экстремум функциюf (x, y) = (y − x2 )2 − x.36527Seminar n. 27.
Colloquium. Part 1Теория. Вопросы для самоподготовки из [8].1. Сформулировать формулу Коши-Адамара.2. Сформулировать неравенство Йенсена.3. Сформулировать неравенство Гёльдера.4. Сформулировать неравенство Коши-Буняковского.5. Сформулировать неравенство Минковского.6. Сформулировать определение неопределенного интеграла.7. Сформулировать теорему об интегрировании по частям в неопределенном интеграле.8. Сформулировать первую теорему о замене переменной в неопределенноминтеграле.9.
Сформулировать вторую теорему о замене переменной в неопределенноминтеграле.10. Сформулировать определение определенного интеграла.11. Сформулировать необходимое условие интегрируемости функции по Риману.12. Сформулировать необходимое и достаточное условие интегрируемостифункции по Риману.13. Сформулировать первую теорему о среднем.14. Сформулировать вторую теорему о среднем.15. Сформулировать теорему (Формула Ньютона — Лейбница).16. Сформулировать теорему (Формула интегрирования по частям определенного интеграла).36617. Сформулировать теорему (Формула Тейлора с остаточным членом в интегральной форме).18.
Сформулировать теорему (Формула замены переменной для непрерывных функций).19. Сформулировать теорему (Формула замены переменной для интегрируемых функций).20. Сформулировать определение несобственного интеграла.21. Сформулировать теорему (Интегрирование по частям несобственногоинтеграла).22. Сформулировать теорему о замене переменной в несобственном интеграле.23. Сформулировать теорему о замене переменной в несобственном интеграле.24.
Сформулировать определение несобственного интеграла в смысле главного значения.25. Сформулировать теорему (Критерий Коши).26. Сформулировать теорему (Признак сравнения).27. Сформулировать теорему (Интегральный признак сходимости числовыхрядов).28. Сформулировать теорему (Признак Абеля).29. Сформулировать теорему (Признак Дирихле).30. Сформулировать понятие евклидовой метрики Rn .31.
Сформулировать определение открытого множества.32. Сформулировать определение замкнутого множества.36733. Сформулировать определение внутренней точки множества.34. Сформулировать определение внешней точки по отношению к множеству.35. Сформулировать определение границы множества.36. Сформулировать определение предельной точки.37.
Сформулировать теорему о последовательности вложенных замкнутыхкубов.38. Сформулировать понятие диаметра множества.39. Сформулировать понятие покрытия множества.40. Сформулировать определение компактного множества.41. Сформулировать теорему Гейне–Бореля.42. Сформулировать теорему (Критерий Коши для последовательностей вRn ).43. Сформулировать определение предела функции f : X → Rm в точкеa ∈ R n , X ⊂ Rn .44. Сформулировать Критерий Коши (предел функции f : X → Rm в точкеa ∈ Rn , X ⊂ Rn ).45. Сформулировать определение непрерывности функции f : X → Rm вточке a ∈ X ⊂ Rn .46. Сформулировать теорему о суперпозиции g ◦ f непрерывных функцийв точке x0 ∈ Rn .47.
Сформулировать определение непрерывной функции на множестве.48. Сформулировать определение равномерно непрерывной функции на множестве.36849. Сформулировать определение дифференцируемости функции f : X →Rm в точке a ∈ X ⊂ Rn .50. Сформулировать определение частных производных функции f : X →Rm в точке a ∈ X ⊂ Rn .51. Сформулировать определение производной по направлению h функцииf : X → Rm в точке a ∈ X ⊂ Rn .52. Сформулировать определение ∇f (gradf ), где f : Rn → R.53. Сформулировать определение divf , где f : Rn → Rn .54. Сформулировать определение curlf (rotf ), где f : R3 → R3 .55. Сформулировать частные производные второго порядка.56.
Сформулировать теорему Шварца о перестановке порядка дифференцирования в частных производных высшего порядка.57. Записать формулу Тейлора n-го порядка функции двух переменных.58. Записать формулу Тейлора n-го порядка функции двух переменных.59. Сформулировать определение точки локального минимума (строгого локального минимума) функции f : X → R, X ⊂ Rn .60. Сформулировать определение точки локального максимума (строгоголокального максимума) функции f : X → R, X ⊂ Rn .61. Сформулировать определение стационарной точки функции f : X → R,X ⊂ Rn .62. Сформулировать определение критической точки функции f : X → R,X ⊂ Rn .63. Сформулировать теорему (Необходимое условие экстремума).64.
Сформулировать теорему (Достаточное условие экстремума).65. Сформулировать критерий Сильвестра.36928Seminar n. 28. Colloquium. Part 2Задачи по теории. Например:• Привести пример степенного ряда и вычислить его радиус сходимости спомощью формулы Коши-Адамара.• Привести пример функции, удовлетворяющей неравенству неравенствоЙенсена.• Является ли функция f (x) = sin x1 интегрируемой по Риману на множестве (0, 1]?29Первый дополнительный семинар. Степенные ряды12Для степенного ряда∞Xan (x − x0 )n ,n=0где an ∈ R (n = 0, 1, 2, .
. .), интервал (x0 − R, x0 + R) ⊂ R, на которомстепенной ряд сходится абсолютно, называют интервалом сходимости, а R >0 – радиусом сходимости степенного ряда. Возможны случаи, когда R = 0или R = +∞.Для радиуса сходимости R степенного ряда справедлива формула КошиАдамара:p1= lim n |an |.R n→∞ an Если существует (конечный или бесконечный) lim an+1 , тоn→∞ an ,R = lim n→∞ an+1 pа если существует (конечный или бесконечный) lim n |an |, тоn→∞p1= lim n |an |.R n→∞12Теорию можно взять из [4, Стр. 393, §20] и [8, Стр. 1]370Если R ∈ R+ , то сходимость степенного ряда в точках x0 ±R нужно проверятьособо.Степенной ряд связан с рядом Тейлора:f (x) =+∞ (n)Xf (x0 )n=0n!(x − x0 )n ,где x ∈ (x0 − R, x0 + R).13 Приведем примеры рядов Тейлора (Маклорена) 14 :+∞P xnx• e =n! , x ∈ R, (R = +∞);n=0• sin x =+∞P2n+1x(−1)n (2n+1)!, x ∈ R, (R = +∞);n=0• cos x =+∞Pn=0••11−x=11+x=+∞P2nx(−1)n (2n)!, x ∈ R, (R = +∞);xn , x ∈ (−1, 1), (R = 1);n=0+∞P(−1)n xn , x ∈ (−1, 1), (R = 1);n=0• ln(1 + x) =∞Pn=1(−1)n−1 nx ,nx ∈ (−1, 1], (R = 1).15ПримерОпределить радиус сходимости степенного ряда+∞Xxn .n=0Решение.
Здесь x0 = 0, an = 1, n = 0, 1, 2, . . .. Можно воспользоватьсяформулой Коши-Адамараpp√1n= lim n |an | = lim n |an | = lim 1 = 1.n→∞n→∞R n→∞+∞P nОтвет. Степенной рядx сходится абсолютно на промежутке (−1, 1).n=013Здесь мы рассматриваем аналитические функции вещественной переменной.В круглых скобках мы указываем радиус сходимости.15В точке x = 1 степенной ряд сходится условно.14371ПримерОпределить радиус сходимости степенного ряда+∞Xx2n .n=0Решение. Рассмотрим степенной ряд+∞P(ak xk , где x0 = 0, ak =1, k = 2n,0, k = 2n + 1,n = 0, 1, 2, . . .. Можно воспользоваться формулой Коши-Адамараk=0p√12nk= lim |ak | = lim1 = 1.n→∞R k→∞Ответ.
Степенной ряд+∞Px2n сходится абсолютно на промежутке (−1, 1).n=0ПримерОпределить радиус сходимости степенного ряда+∞X3n x2n .n=0Решение. Рассмотрим степенной ряд+∞P(kak x , где x0 = 0, ak =3n , k = 2n,0,n = 0, 1, 2, . . .. Можно воспользоваться формулой Коши-Адамараk = 2n + 1,k=0p√√12n= lim k |ak | = lim3n = 3.n→∞R k→∞Ответ.
Степенной ряд сходится абсолютно на множествеках ± √13 степенной ряд расходится.29.1Пример № 1.1 из [4], §20Определить радиус сходимости степенного ряда+∞ nXxn=1n2372.− √13 , √13. В точ-1n2 ,Решение. Здесь x0 = 0, a0 = 0, an =n ∈ N.Способ 1. Можно воспользоваться формулой Коши-Адамараs !2r1111n√= lim n 2 = lim== 1.n→∞R n→∞ nn2lim n nn→∞Способ 2. Можно воспользоваться формулойR=1n2lim 1n→∞(n+1)2Ответ. Степенной ряд+∞Pn=129.221(n + 1)2= lim+ 1 = 1.= limn→∞ nn→∞n2xnn2сходится абсолютно на отрезке [−1, 1].Пример № 1.2 из [4], §20Определить радиус сходимости степенного ряда+∞ nXxn=0Решение.
Здесь x0 = 0, a0 = 1, an =n!1n! ,.n ∈ N.Способ 1. Можно воспользоваться формулой Коши-Адамара. Посколькуs 11lim n = lim √= 0,n→∞n→∞ n n!n!то радиус сходимости равен R = +∞. Здесь мы используем неравенство•n+1 ne< n!, при n ∈ N,которое доказывается по индукции.Способ 2. Можно воспользоваться формулойR=Ответ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
