1610907243-ac283de454695bb7f2524e2bfa39689d (824397), страница 40
Текст из файла (страница 40)
Доказать, что точка x = 0 является точкой экстремума этойфункции.Решение. f (x) − f (0) = f 0 (ξ)x = (f 0 (ξ) − f 0 (0))x = f 00 (η)xξ = (f 00 (0) +(f 00 (η) − f 00 (0)))xξ. Отметим, что f 00 (η) 6= 0, если x ∈ Uδ (0).30.7Задача № 1308 из [2]Показать, что криваяx+1x2 + 1имеет три точки перегиба, лежащие на одной прямой. Построить график этойf (x) =функции. См. рис.
30.7. Решение.√√322(x+3x−3x−1)2(x−1)(x+2+3)(x+2−3)f 00 (x) ==.(x2 + 1)3(x2 + 1)330.8Задача № 1312 из [2]Функция f (x) называется выпуклой снизу (сверху) на интервале (a, b), еслидля любых точек x1 И x2 из этого интервала и произвольных чисел λ1 и λ2 ,(λ1 > 0, λ2 > 0, λ1 + λ2 = 1) имеет место неравенствоf (λ1 x1 + λ2 x2 ) < λ1 f (x1 ) + λ2 f (x2 ),384Рис. 2.63: Задача 30.7или соответственно противоположное неравенствоf (λ1 x1 + λ2 x2 ) > λ1 f (x1 ) + λ2 f (x2 ).Доказать, что:1) функция f (x) выпукла снизу на (a, b), если f 00 (x) > 0, при a < x < b;2) f (x) выпукла сверху на (a, b), если, f 00 (x) < 0, при a < x < b.Решение.
1). Пусть a < x1 < x2 < b.f (λ1 x1 + λ2 x2 ) − f (x1 ) = f 0 (ξ1 )((λ1 − 1)x1 + λ2 x2 ) =f 0 (ξ1 )(−λ2 x1 + λ2 x2 ) = λ2 f 0 (ξ1 )(x2 − x1 ),ξ1 ∈ (x1 , λ1 x1 + λ2 x2 );f (x2 ) − f (λ1 x1 + λ2 x2 ) = f 0 (ξ2 )((1 − λ2 )x2 − λ1 x1 ) =f 0 (ξ2 )(λ1 x2 − λ1 x1 ) = λ1 f 0 (ξ2 )(x2 − x1 ),385ξ2 ∈ (λ1 x1 + λ2 x2 , x2 ).Следовательно,0 < λ1 f (x1 ) + λ2 f (x2 ) − f (λ1 x1 + λ2 x2 ) =λ1 f (x1 ) + λ2 f (x2 ) − λ1 f (λ1 x1 + λ2 x2 ) − λ2 f (λ1 x1 + λ2 x2 ) =λ2 (f (x2 ) − f (λ1 x1 + λ2 x2 )) − λ1 (f (λ1 x1 + λ2 x2 ) − f (x1 )) =λ2 λ1 f 0 (ξ2 )(x2 − x1 ) − λ1 λ2 f 0 (ξ1 )(x2 − x1 ) =λ1 λ2 (x2 − x1 ) (f 0 (ξ2 ) − f 0 (ξ1 )) =λ1 λ2 (x2 − x1 )(ξ2 − ξ1 )f 00 (ξ3 ),31ξ3 ∈ (ξ1 , ξ2 ).Третий дополнительный семинар.
Асимптоты функций.17Еслиlim f (x) = ∞ илиx→x0 −0lim f (x) = ∞,x→x0 +0то прямую x = x0 называют вертикальной асимптотой графика функцииf (x).Прямую y = kx + b называют асимптотой графика функции y = f (x),x ∈ (, +∞), при x → +∞, еслиlim (f (x) − (kx + b)) = 0.x→+∞Прямую y = kx + b называют асимптотой графика функции y = f (x),x ∈ (−∞, a), при x → −∞, еслиlim (f (x) − (kx + b)) = 0.x→−∞Если k 6= 0, то асимптоту y = kx + b называют наклонной. Если k = 0, тоасимптоту y = b называют горизонтальной. Для того чтобы прямая y = kx+bбыла асимптотой графика функции y = f (x) при x → +∞ (при x → −∞),необходимо и достаточно, чтобыf (x)lim=kx→+∞ x17f (x)lim=k ,x→−∞ xТеория взята из [3], §11.386lim (f (x) − kx) = bx→+∞lim (f (x) − kx) = b .x→−∞В случае горизонтальной асимптоты (k = 0) имеем: для того чтобы прямаяy = b была горизонтальной асимптотой графика функции y = f (x) приx → +∞ (при x → −∞), необходимо и достаточно, чтобыlim f (x) = b ( lim f (x) = b).x→+∞31.1x→−∞Задача № 6.5 из [3], §11Найти асимптоты графика функции y = f (x): f (x) = ln(1 + ex ), x ∈ R.
См.рис. 31.1.Рис. 2.64: Задача 31.1387Решение.f (x)ln(1 + ex )x + ln(1 + e−x )k1 = lim= lim= lim=x→+∞ xx→+∞x→+∞xxln(1 + e−x )= 1;1 + limx→+∞xb1 = lim (f (x) − k1 x) = lim (ln(1 + ex ) − x) =x→+∞x→+∞lim (ln(1 + ex ) − ln ex ) = lim ln(1 + e−x ) = 0,x→+∞x→+∞b2 = lim f (x) = lim ln(1 + ex ) = lim (ln(1 + e−t )) = 0.x→−∞x→−∞t→+∞Ответ. При x → +∞ асимптота графика функции y = f (x) есть y = x. Приx → −∞ горизонтальная асимптота графика функции y = f (x) есть y = 0.31.2Задача № 7.5 из [3], §11Найти асимптоты графика функции y = f (x): f (x) = x sin x1 , x 6= 0. Cм.
рис.31.2.Решение. b = lim f (x) = lim f (x) = lim f (x) = limx→+∞x→−∞x→∞sin x11xx→∞= 1.Ответ. При x → ±∞ горизонтальная асимптота графика функции y = f (x)есть y = 1.31.3Задача № 7.10 из [3], §11Найти асимптоты графика функции y = f (x): f (x) =x21+ arccos x+1, x ∈(−∞, −2] ∪ [0, ∞). Cм. рис. 31.3.Решение.f (x)f (x)f (x)= lim= limx→+∞ xx→−∞ xx→∞ xk = lim= limx→∞b = limx→+∞1 11+ arccos2 xx+11= ,2xxxf (x) −= lim f (x) −= lim f (x) −=x→−∞x→∞2221π= .x→∞x+12xОтвет.
При x → ±∞ асимптота графика функции y = f (x) есть y = 2 + π2 .lim arccos388Рис. 2.65: Задача 31.231.4Задача № 7.13 из [3], §11Найти асимптоты графика функции y = f (x): f (x) = x arctg x. См. рис 31.4.Решение.f (x)π= lim arctg x = ,x→+∞ xx→+∞2k1 = limπ1b1 = lim (f (x) − k1 x) = lim (x arctg x − x) = − lim x arctg =x→+∞x→+∞x→+∞2x1arctg xarctg t− lim= −1,=−lim1x→+∞t→+0txf (x)π= lim arctg x = − ,x→−∞ xx→−∞2k2 = lim389Рис. 2.66: Задача 31.3πb2 = lim (f (x) − k2 x) = lim (x arctg x + x) =x→−∞x→−∞2π1− lim x − arctg x −= − lim x arctg =x→−∞x→+∞2x1arctg xarctg t− lim=−lim= −1.1x→−∞t→−0txОтвет.
При x → +∞ асимптота графика функции y = f (x) есть y = π2 x − 1.При x → −∞ асимптота графика функции y = f (x) есть y = − π2 x − 1.31.5Задача № 8.1 из [3], §11Найти асимптоты функции f −1 (x), x ∈ R, обратной к функции f , если:f (y) =y(y+2)y+1 ,y > −1. См. рис. 31.5.390Рис. 2.67: Задача 31.4Решение.1+f −1 (x)yy+1k1 = lim= lim= lim= limx→+∞y→+∞ f (y)y→+∞ y + 2y→+∞ 1 +x1y2y= 1,b1 = lim (f −1 (x) − k1 x) = lim (f −1 (x) − x) = lim (y − f (y)) =x→+∞lim (y −y→+∞x→+∞y→+∞y(y + 2)y(y + 1) − y(y + 2)−y) = lim= lim=y→+∞y→+∞ y + 1y+1y+1−1lim= −1,y→+∞ 1 + 1yb2 = lim f −1 (x) =x→−∞lim y = −1.y→−1+0Ответ.
При x → +∞ асимптота графика функции y = f −1 (x) есть y = x − 1.При x → −∞ горизонтальная асимптота графика функции y = f −1 (x) естьy = −1.391Рис. 2.68: Задача 31.531.6Задача № 19.2 из [3], §11Найти асимптоты графика функции и построить этот график, y = x2 sin x1 .См. рис. 31.6.Решение.sin x1f (x)f (x)f (x)k = lim= lim= lim= lim 1 = 1,x→+∞ xx→−∞ xx→∞ xx→∞xb = lim (f (x) − x) = lim (f (x) − x) = lim (f (x) − x) =x→+∞x→−∞x→∞111122=lim x sin − x = lim x sin − x = lim 2 sin t −x→∞x→∞t→0 txxtsin t − tt + o(t2 ) − to(t2 )lim= lim= lim 2 = 0.t→0t→0t→0 tt2t2Ответ.
При x → ±∞ асимптота графика функции y = f (x) есть y = x.392Рис. 2.69: Задача 31.632Четвертый дополнительный семинар.18Множество A ⊂ Rn называется открытым, если для каждого x ∈ A существует такое δ > 0, что B(x; δ) ⊂ A.Как задается определение замкнутого множества?Точка a называется внутренней точкой множества A ⊂ Rn , если существует такое δ > 0, что B(a; δ) ⊂ A. Множество внутренних точек множестваA ⊂ Rn называется внутренностью множества A и обозначается через Ao .Точка a называется внешней по отношению к множеству A ⊂ Rn , еслисуществует такое δ > 0, что B(a; δ) ⊂ Rn \A.Точка x ∈ Rn называется предельной точкой множества A ⊂ Rn , еслидля произвольного δ > 0 шар B(x; δ) содержит хотя бы одну точку из A,18Теорию можно взять из [5, Стр.
9, §1], [8, Стр. 15] и [11, Глава 3]393отличную от x.Замыканием множества в Rn называется объединение этого множества смножеством его предельных точек. Замыкание множества A ⊂ Rn обозначается через A.Теорема. Множество A замкнуто тогда и только тогда, когда A = A.Как задается определение компактного множества?32.1Задача № 14 из [5], §1Пусть Gi , i ∈ N, – произвольные открытые в Rn множества. Доказать, что вm∞STRn множестваGi иGi являются открытыми.i=1i=1Самостоятельно.32.2Задача № 15 из [5], §1Построить последовательность открытых множеств, пересечение которых неявляется открытым.Решение. Пусть Gi =32.3( 12−1 13i , 2+13i )при i ∈ N.
Следовательно,∞Ti=1Gi = { 12 }.Задача № 26 из [5], §1Доказать, что если множество G ⊂ Rn открытое, a F ⊂ Rn замкнутое, тоG\F открытое, a F \G замкнутое.Решение. Легко видеть, что G1 = Rn \F – открытое, а F1 = Rn \G – замкнутое. Используем представления G\F = G ∩ G1 и F \G = F ∩ F1 , и задачи 32.1и 32.4.32.4Задача № 27 из [5], §1Пусть Fi ⊂ Rn , i ∈ N, – произвольные замкнутые множества. Доказать, что∞mTSмножестваFi иFi являются замкнутыми.i=1i=1Самостоятельно.39432.5Задача № 28 из [5], §1Построить последовательность замкнутых множеств, объединение которыхне является замкнутым.Решение. Пусть Fi = [ 2i1 , 1 − 2i1 ], при i ∈ N.
Тогдамножество.32.6∞TFi = (0, 1) – открытоеi=1Задача № 40 из [5], §1Доказать, что для произвольных множеств Ei ⊂ Rn , i ∈ N, верна формула:1)m[Ei =i=1m[Ei ;2)i=1∞[Ei ⊃i=1∞[Ei .i=1Решение. Самостоятельно.32.7Задача № 41 из [5], §1Построить последовательность множеств, для которых замыкание их объединения не равно объединению замыканий.∞∞∞SSSРешение. Пусть Ei = Ei = {qi } ∈ R иEi =Ei = Q, ноEi = Q =i=1R ⊃ Q.395i=1i=1Глава 3Semester IIISeminar n. 01. 1 Функциональные последовательности1(область сходимости, равномерная сходимость)Пусть X — множество в Rn . Последовательность функций fk : X → R сходится в точке x ∈ X, если сходится числовая последовательность {fk (x)}.Функциональная последовательность {fk } сходится поточечно на множестве E ⊂ X, если последовательность {fk (x)} сходится для всех x ∈ E.Функциональная последовательность {fk } сходится равномерно на множестве E ⊂ X к функции f (обозначение: fk ⇒ f или fk ⇒ f на E), еслиE∀ε > 0 ∃kε ∈ N : |fk (x) − f (x)| < ε ∀k > kε и ∀x ∈ E.Если ввести метрику %E (f, g) = sup |f (x) − g(x)|, то это определение можноx∈Eсформулировать следующим образом: функциональная последовательность{fk } сходится равномерно на множестве E ⊂ X к функции f , если(∀ε > 0) (∃kε ∈ N) (∀k > kε ) %E (fk , f ) < ε.Предельная функция не всегда известна, поэтому скажем, что последовательность {fk } сходится равномерно на множестве E ⊂ X, если существуетфункция f : X → R, такая, что fk ⇒ f .E1Теория взята из [9], Стр.
1396Теорема (Непрерывность равномерного предела последовательности непрерывных функций). Пусть функциональная последовательность {fk } сходитсяк функции f равномерно на X. Если все fk непрерывны в некоторой точкеx0 ∈ X, то f тоже непрерывна в этой точке.•Следствие. Если fk непрерывны на X и fk ⇒ f , то f непрерывна на X.•XОпределить область сходимости, найти предельную функцию:Определить область сходимости, найти предельную функцию:1.1Задача [2], 2755Найти предельную функцию f (x), еслиsin(nx)n , −∞ < x < +∞;2)fn (x) = sin( nx ), −∞ < x < +∞.Решение.. В первом случае sinnxn 1)fn (x) =<1n.Здесь f (x) = lim fn (x) ≡ 0. Вовтором случае при фиксированном x поскольку |fn (x)|n→∞6 |x|n , топредельнойфункцией будет f (x) ≡ 0.1.2Задача [2], 2759Найти предельную функцию f (x), если fn (x) =xnln( nx ); 0 < x < 1.Решение.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
