1610907243-ac283de454695bb7f2524e2bfa39689d (824397), страница 42
Текст из файла (страница 42)
Для любого фиксированного x ряд сходится к функции∞PxnS(x) = exp x. Проверим, сходится ли равномерно к 0 остаток рядаn! .n=k+1Заметим, что для сколько угодно большого k найдется точка x, что остаток409ряда будет, например, больше 2. Достаточно в качестве такой точки положить(k + 1)!. Отсюда следует, что остаток ряда неравномерно сходится к 0. А,следовательно, ряд сходится неравномерно.nPxkРешение.
Способ 2. Пусть Sn (x) =k! . Рассмотрим поточечный пределS(x) = lim Sn (x) =n→∞∞Pn=0k=0nxn! .В свою очередь ∞ X xk %(0,∞) (Sn , S) = sup = +∞.k!x∈(0,∞)k=n+12.2Задача [2], 2768Исследовать характер сходимости следующего ряда:∞Xxnn2n=1на сегменте − 1 6 x 6 1.Решение. Способ 1. Для любого фиксированного x исходный ряд сходится.Проверим,сходитсяли равномерно к 0 остаток ряда. Для этого заметим, ∞∞ PP 1 xn что 6n2 n2 . Отсюда следует равномерная сходимость данногоn=k+1n=k+1ряда.nPxkРешение.
Способ 2. Пусть Sn (x) =k 2 . Рассмотрим поточечный пределS(x) = lim Sn (x) =n→∞∞Pn=1k=1nxn2 .В свою очередь ∞∞ X xk X1%[−1,1] (Sn , S) = sup 6= 0.k2 k2x∈[−1,1] k=n+1Покажем, что lim∞Pk=n+12.3∞Pn→∞ k=n+11k−1−1k1k2k=n+1= 0. Действительно,∞Pk=n+11k2<∞Pk=n+11k(k−1)== n1 .Задача [4], §18 № 5.2Найти область сходимости и область абсолютной сходимости функциональ∞nPного ряда1 + nx n−xn=1410Решение. Как известно, если ряд∞Pan сходится, то lim an = 0. Отсюдаn→∞nвидно, что исходный ряд будет расходиться при x 6 0, т.к.
lim 1 + nx = exn→∞(1,x = 0,для любого x, а lim n−x =Можно заметить, что при x > 1n→∞+∞, x < 0.ряд будет абсолютно сходящимся, т.к. исходный ряд можно ограничить сверP x −xху рядомe n , который сходится в рассматриваемом промежутке. А вn=1n=1промежутке 0 < x 6 1 исходный ряд снизу можно ограничить расходящимся∞P1рядомnx .n=12.4Задача [4], §18 № 5.6Найти область сходимости и область абсолютной сходимости функциональ∞Pxnного ряда1−xnn=1xnnn→∞ 1−xРешение.
Ряд расходится при |x| ≥ 1, т.к. lim6= 0. При |x| < 1 сходи-мость будет абсолютной, т.к., начиная с некоторого N, сверху исходный ряд∞P2xn .можно ограничить, например, рядомn=1Исследовать на равномерную сходимость:2.5Задача [2], 2767Исследовать характер сходимости ряда∞Pxnn=1a)на интервале |x| < q, где q < 1;b)на интервале |x| < 1;Решение. Способ 1. Ряд сходится в интервале (−1, 1).
Для любого x остаn+1ток послечлена имеет вид: rn (x) = x1−x . В первом случае очевидна n−гоn+1 n+1 оценка x1−x 6 q1−q , откуда вытекает равномерная сходимость. Во второмже случае, если n произвольно фиксировать, то очевидно: lim |rn (x)| = 21 ,x→−1+0lim |rn (x)| = +∞. И то, и другое доказывает, что осуществить для всех xx→1−0одновременно неравенство |rn (x)| < ε, если ε < 12 , при одном и том же номереn, невозможно. Сходимость неравномерная.411Решение.
Способ 2. ПустьSn (x) =nXk=1(1 − xn )x =x.(1 − x)kСледовательно,(1 − xn )xS(x) = lim Sn (x) = lim x=;n→∞n→∞ (1 − x)1−x n+1 xq n+1= limlim %[−q,q] (Sn , S) = lim sup = 0;n→∞ 1 − qn→∞n→∞ x∈[−q,q] 1 − x n+1 x = +∞.lim %(−1,1) (Sn , S) = lim sup n→∞n→∞ x∈(−1,1) 1 − x 2.6Задача [2], 2771Исследовать характер сходимости следующего ряда:∞Xx; 0 < x < +∞((n−1)x+1)(nx+1)n=1Решение. Способ 1.
Заметим, чтоx((n−1)x+1)(nx+1)=1(n−1)x+11− nx+1. Отсюда1получаем, что частичные суммы ряда можно записать как Sn (x) = 1 − nx+1,и что при любом фиксированном x ряд сходится к 1. Для сколь угодно большого n всегда найдется точка x =1n∈ (0, +∞), в которой Sn (x) = 12 . Такимобразом, если в качестве ε взять, например, 13 , то получаем, что какой быномер N мы не выбрали, всегда найдется x =что |Sn (1/n) − 1| =121n∈ (0, +∞), где n > N такой,> ε.Решение. Способ 2. ПустьSn (x) =nXk=1n X11x=−=((k − 1)x + 1)(kx + 1)(k − 1)x + 1 kx + 1k=11−1.nx + 1Тогда S(x) = lim Sn (x) = 1.
Следовательно,n→∞%(0,+∞) (Sn , S) =sup|Sn (x) − S(x)| =x∈(0,+∞)4121= 1.x∈(0,+∞) nx + 1sup2.7Задача [2], 2769∞PИсследовать характер сходимости ряда(1 − x)xn на сегменте 0 6 x 6 1.n=0Решение. Способ 1. Частичные суммы ряда Sn (x) = 1 − xn+1 . Предельнаяфункция будет иметь разрыв в точке x = 1. А т.к. все Sn (x)− непрерывныефункции, то отсюда следует, что ряд сходится неравномерно.Решение. Способ 2. ПустьnnXXk(xk − xk+1 ) = x − xn+1 .(1 − x)x =Sn (x) =k=1k=1(Тогда S(x) = lim Sn (x) =x, x ∈ [0, 1),0, x = 1.n→∞Следовательно,%[0,1] (Sn , S) = sup |Sn (x) − S(x)| = sup xn+1 = 1.x∈[0,1]2.8x∈[0,1)Задача [4], §18 № 7.2Исходя из определения равномерной сходимости доказать равномерную сходимость функционального ряда в указанном промежутке:∞ n−1Pxxnn − n+1 , −1 6 x 6 1;n=1Решение.
Способ 1. Рассмотрим частичную сумму данного ряда: Sn (x) =xnn+1 .Предельной функцией для этих частичных сумм будет f (x) ≡ 1.xn1Заметим, что 0 6 1 − n+1− 1 6 n+1, откуда видно, что для выполненияxnнеравенства 1 − n+1− 1 < ε достаточно взять N > 1ε − 1. Следовательно,1−сходимость равномерная.Решение. Способ 2. Пустьn k−1XxxkxnSn (x) =−.=1−kk+1n+1k=1Тогда S(x) = lim Sn (x) = 1, x ∈ [0, 1]. Следовательно,n→∞xnlim %[0,1] (Sn , S) = lim sup |Sn (x) − S(x)| = lim sup=n→∞n→∞ x∈[0,1]n→∞ x∈[0,1] n + 11= 0.n→∞ n + 1lim413Дома: Исследовать характер сходимости следующих рядов:2.9∞Pn=1Задача [2], 27721(x+n)(x+n+1) ,0 < x < +∞.2.10 Задача [4], §18 № 7.4∞ Psin(n+1)xsin√nx − √, −∞ < x < +∞.nn+1n=12.11∞Pn=11√,x2 +n n2.12∞Pn=1Задача [4], §18 № 7.5−∞ < x < +∞.Задача [4], §18 № 7.6√x,3n 1+nx20 6 x 6 2.Seminar n.
03.4 Функциональные ряды (критерий Ко-3ши, признак Вейерштрасса, необходимое условие)Теорема (Критерий Коши равномерной сходимости). Для того, чтобы последовательность функций {fk } сходилась равномерно на E ⊂ X, необходимои достаточно, чтобы(∀ε > 0) (∃kε ∈ N) (∀m, n > kε ) %E (fm , fn ) < ε.•Теорема (Критерий Коши равномерной сходимости ряда). Для того, чтобы∞Pфункциональный рядuk сходился равномерно на E ⊂ X, необходимо иk=1достаточно, чтобы∀ε > 0 ∃kε ∈ N : |un (x) + · · · + um (x)| < ε ∀m > n > kε и ∀x ∈ E.4Теория взята из [9], Стр. 1-3414•Теорема (Необходимый признак сходимости ряда). Для равномерной схо∞Pдимости рядаuk необходимо, чтобы последовательность {uk } равномерноk=1сходилась к нулю.Теорема (Необходимый признак сходимости ряда). Для равномерной схо∞Pдимости рядаuk необходимо, чтобы последовательность {uk } равномерноk=1сходилась к нулю.Теорема (Вейерштрасс).
Пусть {uk : X → R} — функциональная последовательность. Если существует числовая последовательность {ck }, такая, что1. |uk (x)| ≤ ck для всех k ∈ N и всех x ∈ X,∞P2. рядck сходится,то рядk=1∞Puk сходится равномерно и абсолютно на X.k=1Исследовать на равномерную сходимость3.1Задача [2], 2774 аПользуясь теоремой Вейерштрасса, доказать равномерную сходимость в про∞P1межуткеx2 +n2 , −∞ < x < +∞;n=1Решение. Заметим, чтоsupx∈(−∞,+∞)1x2 +n2=1n2 .Ряд∞Pn=11n2сходится. Следо-вательно, по теореме Вейерштрасса исходный ряд равномерно и абсолютносходится на множестве R.3.2Задача [2], 2774 вПользуясь теоремой Вейерштрасса, доказать равномерную сходимость в про∞Pxмежутке1+n4 x2 , 0 6 x < +∞;n=1Решение.
Заметим, чтоsupx∈[0,+∞)x1+n4 x2=12n2 .Ряд∞Pn=112n2сходится. Следо-вательно, по теореме Вейерштрасса исходный ряд равномерно и абсолютносходится на множестве [0, +∞).4153.3Задача [2], 2774 жПользуясь теоремой Вейерштрасса, доказать равномерную сходимость в про∞Psin(nx)√межутке, |x| < +∞;3 4n +x4n=1∞P √sin(nx) √11√Решение. Заметим, чтоsup 3 n4 +x4 = 3 n4 . Ряд3 4 сходится. Слеnn=1x∈(−∞,+∞)довательно, по теореме Вейерштрасса исходный ряд равномерно и абсолютносходится на R.3.4Задача [2], 2784∞PДоказать, что, если ряд|un (x)| сходится равномерно на [a, b], то рядn=1∞Pun (x)n=1так же сходится равномерно на [a, b].Решение.
Очевидно, что|un (x) + . . . + um (x)| 6 |un (x)| + . . . + |um (x)|для всех x ∈ [a, b]. Отсюда, применяя критерий Коши равномерной сходимости функционального ряда, получаем искомое. Иными словами mmXX%[a,b] (Sm , Sn−1 ) = sup uk (x) 6 sup|uk (x)| < ε. [a,b][a,b] k=nk=nНо отметим, что не ко всем рядам можно применить следующую оценку mmmXXX%[a,b] (Sm , Sn−1 ) = sup uk (x) 6 sup|uk (x)| 6sup |uk (x)| < ε. [a,b][a,b] [a,b]k=nk=nk=nСм. задачу (3.5).3.5Задача [2], 2786Доказать, что абсолютно и равномерно сходящийся ряд∞Xun (x) (0 6 x 6 1)n=1416гдеun (x) =01nесли x ∈ [0, 2−(n+1) ],sin2 (2n+1 πx) если x ∈ (2−(n+1) , 2−n ],0если x ∈ (2−n , 1],нельзя мажорировать сходящимся числовым рядом c неотрицательными членами.Решение.
Здесьsup |un | = unx∈[0,1]32n+2=1.nТ.е. признак Вейерштрасса применять нельзя, но ряд сходится равномерноnPпо определению через метрику. Пусть Sn (x) =uk (x). Тогдаk=1%[0,1] (Sn , S) = sup |Sn (x) − S(x)| = sup un+1 (x) = un+1x∈[0,1]3.6x∈[0,1]32n+3=1.n+1Задача [4], §18 № 10.1Пользуясь теоремой Вейерштрасса, доказать равномерную сходимость в про∞Pcos(nx) sin(1/(nx)), где 2 6 x < +∞межутке4+ln2 (nx)n=1Решение.
Нетрудно заметить, что1 cos(nx) sin(1/(nx)) sin( 2n)16<sup 22 4 + ln (2n) 2n ln2 (2n) .4 + ln (nx)x∈[2,+∞)1Здесь мы использовали неравенство sin 2n<12n .Ряд∞Pn=11n ln2 (2n)сходится.Здесь можно использовать прореживающий признак Коши:∞∞XX12k=.2k ln (2 · 2k )2 ln2 22(k+1)k=1k=1Следовательно, по теореме Вейерштрасса исходный ряд сходится равномернои абсолютно на множестве [2, +∞).3.7Задача [4], §18 № 10.2Пользуясь теоремой Вейерштрасса, доказать равномерную сходимость в про∞P2межуткеn3 e−n x , где δ < x < +∞, δ > 0;n=1417Решение.
Заметим, что n3 e−n2x2< n3 e−n δ . Ряд∞P2n3 e−nδсходится по при-n=1знаку Коши. Следовательно, по теореме Вейерштрасса исходный ряд равномерно и абсолютно сходится на множестве (δ, +∞).3.8Задача [4], §18 № 10.5Пользуясь теоремой Вейерштрасса, доказать равномерную сходимость про∞Pxмежутке4+n3 x2 , где 0 6 x < +∞n=1 ∞P21x11Решение. Заметим, что sup 4+n3 x2 = un 3 = 3 . Ряд 43 схоn2x∈[0,+∞)4n 2n=1 n 2дится. Следовательно, по теореме Вейерштрасса исходный ряд равномерно иабсолютно сходится на множестве [0, +∞).Дома: Пользуясь теоремой Вейерштрасса, доказать абсолютную сходимостьи равномерную сходимость в указанных промежутках следующих функциональных рядов:3.9∞Pn=1Задача [2], 2774 г)nx1+n5 x2 ,3.10∞Pn=1∞Pn=1n=1−∞ < x < +∞.Задача [2], 2774 и)sin√nx,n n3.12∞PЗадача [2], 2774 з)cos nxn2 ,3.11−∞ < x < +∞.−∞ < x < +∞.Задача [4], §18 № 8.21(n+x)2 ,0 6 x < +∞.4183.13∞Pn=1sin2 2nx√,3 4n +x23.14∞PЗадача [4], §18 № 8.4−∞ < x < +∞.Задача [4], §18 № 8.62−n cos(πnx), −∞ < x < +∞.n=13.15Задача [2], 2787Доказать, что если ряд∞Pϕn (x), члены которого суть монотонные функцииn=1на сегменте [a, b], сходится абсолютно в концевых точках этого сегмента, тоданный ряд сходится абсолютно и равномерно на сегменте [a, b].Seminar n.
04. 5. Функциональные ряды (признаки4Абеля, Дирихле)Определение. Функциональная последовательность {uk : X → R} называется равномерно ограниченной на множестве E ⊂ X, если существует константа K, такая, что sup |uk (x)| ≤ K для всех k ∈ N.•x∈EПусть (ak ), (bk ), (Bk ) – последовательности (k ∈ N), при этом Bk = b1 +b2 + . . . + bk и B0 = 0. РассмотримmXk=nak b k =mXak (Bk −Bk−1 ) =k=nmXmmm−1XXXak Bk −ak Bk−1 =ak Bk −ak+1 Bk =k=nk=nk=nm−1Xam Bm − an Bn−1 −(ak+1 − ak )Bk .k=nПолучим дискретное преобразованием Абеля:mXak bk = am Bm − an Bn−1 −k=n5m−1X(ak+1 − ak )Bk ,k=nТеория взята из [9], Стр.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
