1610907243-ac283de454695bb7f2524e2bfa39689d (824397), страница 45
Текст из файла (страница 45)
07. Date 24.09.2018. Room 5240. Start at12.40. Функциональные последовательность (непрерывность, интегрируемость). Функциональные ряды (почленный переход к пределу, непрерывность суммы, почленная интегрируемость).Теорема 7.1. (Непрерывность равномерного предела последовательности непрерывных функций). Пусть функциональная последовательность {fk } сходится к функции f равномерно на X. Если все fk непрерывныв некоторой точке x0 ∈ X, то f тоже непрерывна в этой точке.•Следствие 7.1. Если fk непрерывны на X и fk ⇒ f , то f непрерывна наX•X.Следствие 7.2. Если последовательность {fk (x)} непрерывных в точкеx0 ∈ X функций сходится равномерно на X, тоlim lim fk (x) = lim lim fk (x).x→x0 k→∞k→∞ x→x0•Теорема 7.2.
Пусть задана последовательность функций fk : [a, b] → R,такая, что fk ∈ Rim[a, b] и fk ⇒ f . Тогда f ∈ Rim[a, b] и[a,b]ZbZblimfk (x) dx =k→∞aZblim fk (x) dx =f (x) dx.k→∞a•aТеорема 7.3. Пусть {uk } есть последовательность непрерывных функций∞Puk : X → R. Если рядuk (x) сходится равномерно на множестве E ⊂ X,k=1то его сумма есть непрерывная на E функция.•Теорема 7.4. (Об интегрировании по Риману равномерно сходящихся рядов).
Пусть {uk } есть последовательность интегрируемых по Рима∞Pну функций uk : (a, b) → R. Если рядuk сходится равномерно на (a, b),k=1то∞Rb Pa k=1uk (x) dx =∞ RbP•uk (x) dx.k=1 a4407.1Задача [2], 2806Найти lim∞Px→1−0 n=1(−1)n+1n·xnxn +1Решение. Пусть Sn (x) =.nPk=1(−1)k+1k·xkxk +1.
При x ∈ (0, 1] этот ряд сходитсяпоточечно по признаку Абеля (для числовых рядов). Действительно, vn (x) ≡(−1)n+1n– член сходящегося числового ряда, и un (x) =xnxn +1=11+x−n– моно-тонная числовая последовательность при каждом фиксированном x ∈ (0, 1].В свою очередь, Sn (0) = 0. Следовательно, при каждом фиксированномx ∈ [0, 1] числовая последовательность Sn (x) является сходящейся.Более того, этот функциональный ряд сходится равномерно на множестве[0, 1] по признаку Абеля, поскольку un является монотонной и ограничен∞P(−1)n+1ной последовательностью, а рядсходится равномерно на множествеnn=1[0, 1].Таким образом,lim∞X(−1)n+1x→1−0nn=1∞xn1 X (−1)n+1· n= S(1) ==x +12 n=1n∞X1(−1)n+1 n 11lim·x =lim ln(1 + x) = ln 2.2 x→1−0 n=1n2 x→1−02Здесь используется равномерная сходимость на [0, 1] ряда Тейлораln(1 + x) =∞X(−1)n+1n=17.2n· xn .Задача [2], 2808∞P1n x.x→+0 n=1 2 nНайти limРешение.
Этот ряд сходится поточечно на множестве [0, 1] по признаку сравнения. Более того, этот ряд сходится равномерно на этом множестве по признаку Вейерштрасса11=.n x2nx∈[0,1] 2 nsup441Следовательно,limx→+07.3∞Xn=1∞X 11== 1.n2n nx2n=1Задача [2], 2795 а)Определить области существования функции f (x) и исследовать её на непре∞nPрывность, если f (x) =x + n1 .n=1∞ Px + 1 n . Этот ряд сходится поРешение. Рассмотрим абсолютный рядnn=1точечно на множестве (−1, 1) по признаку Коши. В точках ±1 этот ряд расходится. На множестве −1 + δ 6 x 6 1 − δ этот ряд сходится равномерно попризнаку Вейерштрасса:supx∈[−1+δ,1−δ]x +n n1 1= 1−δ+.nnСледовательно, функция f (x) непрерывна на множестве (−1, 1) =S[−1+δ∈(0,1)δ, 1 − δ].Покажем по критерию Коши, что ряд сходится неравномерно на множестве (−1, 1):mnPkx∗ + k1 = x∗ + n1 = 1.m = n, x∗ = 1 − n1 , k=n7.4Задача [2], 2795 в); [4], §19 № 8.4Определить области существования функции f (x) и исследовать её на непре∞Pxрывность, если f (x) =(1+x2 )n .n=1Решение.
Рассмотрим частичные суммы этого ряда(nX0, x x = 0,=Sn (x) =11(1 + x2 )k6 0.x · 1 − (1+x2 )n , x =k=1Тогда сумма ряда имеет вид(S(x) =0, x = 0,1x,442x 6= 0.Покажем, что ряд сходится равномерно на множестве (−∞, −δ] ∪ [δ, +∞),δ > 0:|Sn (x) − S(x)| =sup(−∞,−δ]∪[δ,+∞)1.δ(1 + δ 2 )nОтвет. Ряд сходится на R, но сумма ряда претерпевает разрыв в точке x = 0.7.5Задача [2], 2810∞ PЗаконно ли почленное интегрирование рядаx12n+1−x12n−1на сегментеn=1[0, 1]?Решение. Рассмотрим частичные суммы этого рядаn X1112k+12k−1Sn (x) =x= −x + x 2n+1 .−xk=1Тогда предельная сумма ряда имеет вид(0,x = 0,S(x) = lim Sn (x) =n→∞−x + 1, x ∈ (0, 1].Поскольку функциональная последовательность Sn не сходится равномерно кS на множестве [0, 1], то нужно вычислять первообразную частичной суммыряда и первообразную предельной суммы ряда:Zx01x 2n+1 +1x2Sn (t) dt = − + 1,2+12n+1Zxx2S(t) dt = − + x.20Таким образом,ZxlimZxSn (t) dt =n→∞07.6x2S(t) dt = − + x.20ЗадачаИсследовать возможность перехода к пределу под знаком интегралаZ1limZ1fn (x) dx =n→∞0lim fn (x) dx,n→∞0443√где fn (x) = n exp((2xn + 1)/(n + 2)) arctgxn .Решение.
Рассмотрим f (x) = lim Sn (x) =√n→∞x exp(2x). Для решения задачидостаточно показать, что fn ⇒ f . Это будет следовать из неравенства[0,1]√arctg nx2xn + 1) − exp(2x) ·+sup |fn (x) − f (x)| 6 sup exp(1n+2x∈[0,1]x∈[0,1]n√x arctg√ √ nsup exp(2x) − 1 x 6xx∈[0,1]n√x 2xn + 1arctgnsup exp(y) · sup +− 2x · sup1n+2y∈[0,1]x∈[0,1]x∈[0,1]n√ arctg y 0 √ · sup x · sup x 6sup exp(2x) · sup ynx∈[0,1]y∈(0,1]x∈[0,1]sup |4x − 1|ex∈[0,1]n+2x∈[0,1]e2+<3ne23e +31,nкоторое выводится с помощью теоремы Лагранжа.Здесь32 arctg y 0 = sup y − (1 + y ) arctg y < sup y = 1 .sup yy 2 (1 + y 2 )3y∈(0,1]y∈(0,1] 3y∈(0,1]Здесь мы используем неравенство (1 + y 2 ) arctg y > (1 + y 2 )(y −2 33y7.7−5y3>y−5y3y33)= y+, y > 0.Задача [2], 2803.Показать, что последовательность fn (x) = nx exp(−nx2 ) сходится на сегменте [0, 1], ноZ1Z1fn (x) dx 6=limn→∞0lim fn (x) dx.n→∞0См.
рис. 7.7.444Рис. 3.22: Графики функций f1 (x), f10 (x), f100 (x). См. задачу 7.7.Решение. Здесь f (x) = lim fn (x) ≡ 0.n→∞Z1limn→∞1nx exp(−nx2 ) dx = limn→∞ 207.8Zn11(1 − exp(−n)) = .n→∞ 22exp(−y) dy = lim0ЗадачаИсследовать возможность перехода к пределу под знаком интегралаZ1Z1fn (x) dx =limn→∞0где fn (x) =√lim fn (x) dx,n→∞0nx exp(−nx2 ). См. рис. 7.8.Решение. Здесь f (x) = lim fn (x) ≡ 0.n→∞Z1limn→∞√1nx exp(−nx2 ) dx = lim √n→∞ 2 n0Znexp(−y) dy =01lim √ (1 − exp(−n)) = 0.n→∞ 2 nДома:445Рис.
3.23: Графики функций f10 (x), f100 (x), f1000 (x). См. задачу 7.8.7.9Задача [2], 2808.1Найти:lim∞Xx→∞7.10n=1x21 + n2 x2Задача [2], 2793Показать, что функцияf (x) =+∞X1(n − x)2n=−∞a) определена и непрерывна во всех точках, за исключением целочисленных:x = 0, ±1, ±2, . . .;б) периодическая с периодом, равным 1.4467.11Задача [2], 2795 б)Определить области существования функции f (x) и исследовать её на непрерывность, еслиf (x) =∞Xx + n(−1)nx2 + n2n=17.12.Задача [2], 2802При каких значениях параметра α:а) последовательностьfn (x) = nα xe −nx(1)(n = 1, 2, . .
.) сходится на сегменте [0, 1];б) последовательность (1) сходится равномерно на [0, 1];в) возможен предельный переход под знаком интегралаZ1limfn (x) dx?n→∞07.13Задача [2], 2804Показать, что последовательностьfn (x) = nx(1 − x)n (n = 1, 2, . . .)сходится неравномерно на сегменте [0, 1], однакоZ1Z1limfn (x) dx =n→∞lim fn (x) dx.n→∞00См. рис. 7.13.7.14Задача [4], §19 № 43Последовательность {fn (x)} называется равностепенно непрерывной на отрезке [a, b], если∀ε > 0 ∃δ > 0 ∀x0 , x00 ∈ [a, b] |x0 − x00 | < δ ∀n ∈ N : |fn (x0 ) − fn (x00 )| < ε.447Рис. 3.24: Графики функций f1 (x), f10 (x), f100 (x). См.
задачу 7.13.Доказать, что если последовательность {fn (x)} непрерывных функцийравномерно сходится на отрезке [a, b], то она равномерно ограничена и равностепенно непрерывна на отрезке [a, b].7.15Задача [4], §19 № 44Доказать, что если последовательность {fn (x)} равномерно ограничена и равностепенно непрерывна на отрезке [a, b], то из нее можно выделить подпоследовательность, равномерно сходящуюся на этом отрезке (теорема Арцела).8Seminar n. 08. Date 27.09.2018.
Room 5216. Start at10.50. Функциональные последовательности (дифференцируемость). Функциональные ряды (почленнаядифференцируемость)Теорема. Пусть задана последовательность дифференцируемых функцийfk : (a, b) → R. Если {fk } сходится в некоторой точке x0 ∈ (a, b), а последовательность производных {fk0 } сходится равномерно на (a, b), то {fk }448сходится равномерно на (a, b), предельная функция f дифференцируема иf 0 (x) = lim fk0 (x) для любого x ∈ (a, b).•Упражнение.
Обобщить последнюю теорему на многомерный случай.•k→∞Теорема (О дифференцировании рядов). Пусть {uk } есть последовательность∞Pдифференцируемых функций uk : (a, b) → R. Пусть рядuk (x0 ) сходитсяk=1∞Pu0k сходится равномерно на (a, b). Тогдаk=1P0 P∞∞∞P•сумма рядаuk дифференцируема на (a, b) иuk =u0k .для некоторого x0 ∈ (a, b), а рядk=18.1k=1k=1Задача [2], 2800Показать, что последовательность1fn (x) = arctg xn (n = 1, 2, . . .)nсходится равномерно на интервале (−∞, +∞), но0 lim fn (x) 6= lim fn0 (1).n→∞x=1n→∞См. рис. 8.1.Решение.
Поточечный предел имеет вид lim fn (x) = 0. В свою очередь,n→∞πn→∞ 2nfn ⇒ 0, поскольку lim sup |fn (x) − f (x)| = limn→∞ x∈Rx∈RТаким образом,lim fn0 (x) =n→∞В свою очередь8.20 lim fn (x) n→∞0, x < −1, ∅, x = −1,0, −1 < x < 1,12 , x = 1, 0, x > 1.= 0.x=1Задача [2], 2801Показать, что последовательностьfn (x) = x2 +1πsin(n(x + ))n2449= 0.
Но fn0 (x) =xn−11+x2n .00(x). См. задачу 8.1.(x), f15Рис. 3.25: Графики функций f50 (x), f10сходится равномерно на интервале (−∞, +∞), но0lim fn (x) 6= lim fn0 (x).n→∞n→∞Решение. Поточечный предел имеет вид lim fn (x) = x2 . В свою очередь,n→∞1nn→∞2fn ⇒ x , поскольку lim sup |fn (x) − f (x)| = limn→∞ x∈Rx∈R= 0.Но fn0 (x) = 2x + cos(n(x + π2 )).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
