1610907243-ac283de454695bb7f2524e2bfa39689d (824397), страница 47

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 47)

. ..Решение.R−1 = limn→+∞pnn(n + 1) = 1.Этот ряд сходится поточечно на множестве (−1, 1) и равномерно на множестве (−1 + δ, 1 − δ), δ ∈ (0, 1). РассмотримSn (x) = xGn (x),Gn (x) :=nXk=0461(k + 1)(k + 2)xk .ПосколькуZxxGn (t) dt =n ZXk(k + 1)(k + 2)t dt =k=0 00nX(k + 2)xk+1 =: Fn (x),k=0то интегрируемZxxFn (t) dt =n ZX(k + 2)tk+1dt =nXk=0 00k+2xk=0x2 (1 − xn+1 )=.(1 − x)Следовательно,ZxZxF (t) dt =0lim Fn (t) dt =n→∞1x2 − 1 + 1= −1 − x +.(1 − x)(1 − x)0ТогдаF (x) = −1 − x +1(1 − x)Пусть G(x) = lim Gn (x) = F 0 (x) =n→∞02(1−x)3 ,= −1 +S(x) =1.(1 − x)22x(1−x)3при |x| < 1.Разложить в ряд по степеням x, определить область сходимости:9.11Задача [2], 2844f = ax (a > 0)Решение.

f (x) = ex ln a=+∞Pn=0xn lnn an! ,a ∈ (0, 1) ∪ (1, +∞).9.12Задача [2], 2857qf = ln 1+x1−x .11Решение. f (x) = 21 ln 1+x1−x = 2 ln(1 + x) − 2 ln(1 − x). См. 9.8.Используя почленное интегрирование, дифференцирование разложить в рядпо степеням x:4629.13Задача [2], 2869f = arctg x.Решение. f 0 (x) =11+x2=∞P(−1)k x2k , f (x) =∞P2k+1(−1)k x2k+1 , |x| < 1.k=0k=0Дома:Определить радиус и интервал сходимости и исследовать поведение в граничных точках интервала сходимости следующих степенных рядов:9.14∞Pn=1Задача [2], 28133n +(−2)nn9.15∞Pn=1Задача [2], 2817n! nxan29.16∞Pn=1· (x + 1)n .(a > 1).Задача [2], 2822xnan +bn(a > 0, b > 0).9.17Задача [2], 2823∞P(a > 0).n=1x√na nНайти область сходимости обобщенного степенного ряда:9.18Задача [2], 2833∞Xn=012n + 14631−x1+xn.9.19Задача [2], 2836∞ Xn=111+n−n2e−nx .Пользуясь основными разложениями I–V, написать разложения в степеннойряд относительно x следующей функции:9.20Задача [2], 2854x10.1−x9.21Задача [2], 2858x.1 + x − 2x29.22Задача [2], 2867ln(1 + x + x2 + x3 ).Разложив предварительно производные, путем почленного интегрирования получить разложения в степенной ряд следующей функции:9.23Задача [2], 2870f (x) = arcsin x.Производя соответствующие действия со степенными рядами.

получить разложения в степенной ряд следующей функции:9.24Задача [2], 2882f (x) = (1 + x)e −x .4649.25Задача [2], 2885f (x) = (1 + x2 ) arctg x.Разлoжить в степенной ряд функцию:9.26Задача [2], 2901Zx2e −t dt.09.27Задача [2], 2904Zxarctg tdt.t0Применяя почленное дифференцирование, вычислить сумму ряда:9.28Задача [2], 2907x3 x5x−+− ....359.29Задача [2], 2908x2 x41+++ ....2!4!9.30Задача [2], 2912x − 4x2 + 9x3 − 16x4 + . . . .46510Seminar n.

10. Date 04.10.2018. Room 5216. Start at10.50. Собственные интегралы, зависящие от параметра (интегрируемость, непрерывность, дифференцируемость по параметру, возможность перехода кпределу под знаком интеграла)Пусть P = [a, b] × [c, d].Определение. Функция f : P → R называется равномерно непрерывной наP , если∀ε > 0 ∃δ(ε) > 0 : |f (x1 , y1 )−f (x2 , y2 )| < ε как только |x1 − x2 | < δ и |y1 − y2 | < δ.•Обозначим F (y) =Rbf (x, y) dx.aТеорема. Если функция f непрерывна на P , то функция F непрерывна на•[c, d].Теорема.

Пусть функция f и её частная производная∂f∂yнепрерывны на P .Тогда F непрерывно дифференцируема на [c, d] иdF(y) =dyZb∂f(x, y) dx.∂y•aТеорема. Пусть функция f и её частная производная∂f∂yнепрерывны на P .Пусть функции α = α(y) и β = β(y) непрерывно дифференцируемы на [c, d]и, кроме того, (α(y), y) ∈ P и (β(y), y) ∈ P для всех y ∈ [c, d].

Тогдаddyβ(y)β(y)ZZ∂ff (x, y) dx = β 0 (y) f (β(y), y) − α0 (y) f (α(y), y) +(x, y) dx.∂yα(y)•α(y)Теорема. Пусть f : P → R — непрерывная функция. ТогдаZd ZbZb Zd f (x, y) dx dy =  f (x, y) dy  dx.caa466c•10.1ЗадачаF (y) =R1dxlim F (y), lim F (y).1+x2 +y 2 , y→0y→∞011+x2 +y 2 ,Решение. Рассмотрим f (x, y) =(x, y) ∈ [0, 1] × [−δ, δ], δ > 0. По-скольку f (x, y) непрерывна в [0, 1] × [−δ, δ], то F (y) непрерывна на [−δ, δ].Следовательно,Z1πdx=arctg1=.1 + x24lim F (y) =y→00Сделаем замену α = y1 . Рассмотрим функцию g(x, α) =α2α2 (1+x2 )+1 ,(x, α) ∈[0, 1]×[−δ, δ], δ > 0. Поскольку g(x, α) непрерывна в [0, 1]×[−δ, δ], то G(α) =R1 α2 dxα2 (1+x2 )+1 непрерывна на [−δ, δ]:0Z1lim F (y) = limy→∞y→∞dx= lim1 + x2 + y 2 α→00Z1dx1 + x2 +0Z1limα→01α2=α2 dx= lim G(α) = G(0) = 0.α2 (1 + x2 ) + 1 α→0010.2ЗадачаF (y) =1+yR 2ydxlim F (y).1+x2 +y 2 , y→0Решение.

Покажем, что lim F (y) = F (0) =y→01+yZ 2F (y) − F (0) =ydx±1 + x2 + y 2R10Z1dx1+x2 .dx±1 + x2 + y 2yZ10467dx−1 + x2 + y 2Z10dx;1 + x2 2 1+y1ZZdxdx−|F (y) − F (0)| 6 22221+x +y1+x +y yy 1Z Z1Z1Z1 dxdxdxdx+ 6 2y 2 +|y| 6+ −−22222221+x +y 1+x +y1 + x 1+x +yy0003|y| < 3δε < ε,при |y| < δε < 3ε .10.3Задача [2], 3712Исследовать на непрерывность функциюZ1yf (x)dx,F (y) =x2 + y 20где функция f (x) непрерывна и положительна на сегменте [0, 1].Решение. Покажем, что lim F (y) = ±f (0) π2 6= 0. Пусть y > 0. Здесь мыy→0±вводим вспомогательный малый параметр 0 < κ < 1. Рассмотрим1 +∞ ZZyZ1f (yt) yf (x) f (0) dtf (0) π −dx = −dt =2 + y2222x1+t1+t 000κ1 Z+∞yy f (0) dt Z (f (0) − f (yt)) dt Z f (yt) +−dt 62221+t1+t1+t κ κy0yZ+∞f (0) dt+1 + t2κyκ1ZyZy|f (0) − f (yt)| dt+1 + t2f (yt)dt 61 + t2κy0πκπ2 max f (x)− arctg+ max |f (0) − f (z)| =2y2 z∈[0,κ]x∈[0,1]y π2 max f (x) arctg + max |f (0) − f (z)| <κ 2 z∈[0,κ]x∈[0,1]2δπmax f (x) + max |f (0) − f (z)| < ε.κ x∈[0,1]2 z∈[0,κ]468Здесь мы использовали формулу π2 −arctg z = arctg z1 .

Более того, неравенствоεπmax |f (0) − f (z)| <2 z∈[0,κ]2следует за счет малости κ = κε . В свою очередь, неравенство2δεmax f (x) < ,κε x∈[0,1]2следует за счет малости выбора δ = δε , где 0 < y < δε .Следовательно, функция F (y) имеет разрыв первого рода в точке y = 0.10.4Задача [2], 3713.1НайтиπZ2limR→+∞e−R sin θ dθ.0Решение. Отметим, что функция g(θ, R) = e−R sin θ сходится неравномернок нулю на множестве θ ∈ (0, π2 ) при R → +∞. Поэтому, нужно оценитьинтеграл сверху. Здесь мы используем оценку sin θ >2θπ,θ ∈ [0, π2 ]. ТакимобразомππZ2Z2e−R sin θ dθ 60π2Ответ.

limRR→+∞ 010.5e−2θRπdθ =π1 − e−R .2R0e−R sin θ dθ = 0.Задача [2], 3714.1Пусть1) ϕn (x) > 0 (n = 1, 2, . . .) на [−1, 1];2) ϕn (x) ⇒ 0 при n → ∞ на 0 < δ 6 |x| 6 1, ∀δ ∈ (0, 1);3)R1ϕn (x) dx → 1 при n → ∞.−1469Доказать, что, если f (x) ∈ C[−1, 1], тоZ1limf (x)ϕn (x) dx = f (0).n→∞−1Решение. Рассмотрим разностьZ1Z−δZδf (x)ϕn (x) dx − f (0) = (f (x) − f (0))ϕn (x) dx + (f (x) − f (0))ϕn (x) dx−1−1−δZ1(f (x) − f (0))ϕn (x) dx + f (0) +Z1ϕn (x) dx − 1 .−1δТаким образом, 1Z f (x)ϕn (x) dx − f (0) 6 sup |f (x) − f (0)| sup |ϕn (x)|(1 − δ)x∈[−1,−δ] x∈[−1,−δ]−1Zδ+ sup |f (x) − f (0)|x∈[−δ,δ]ϕn (x) dx−δ 1Z+ sup |f (x) − f (0)| sup |ϕn (x)|(1 − δ) + f (0) ϕn (x) dx − 1 .x∈[δ,1]x∈[δ,1]−110.6Задача [2], 3715Можно ли совершить предельный переход под знаком интеграла в выраженииZ1limy→0x −x2 /y2edx?y20Решение.

Пусть f (x, y) =Z10x −x2 /y2edx =y2Z1x −x2 /y 2. lim f (x, y)y2 ey→0= 0. Пусть y > 0:1 Zyx −x2 /y2x1− y12−t2ed= te dt =1−e.yy200470ПолучимZ1limy→0+1f (x, y) dx = .2010.7ЗадачаПродифференцировать (с обоснованием) функцию F (x) =R1exp(xy 2 ) dy.0Решение. На произвольном множестве [0, 1]×[c, d] функции f (x, y) = exp(xy 2 )и∂∂x f (x, y)= y 2 exp(xy 2 ) являются непрерывными. Таким образом,dF 0 (x) =dxZ1exp(xy 2 ) dy =010.8Z1∂exp(xy 2 ) dy =∂x0Z1y 2 exp(xy 2 ) dy.0ЗадачаRx2Продифференцировать (с обоснованием) функцию F (x) = ln2 1 + x2 sin2 y dy.022∂2Решение.

Функции f (x, y) = ln 1 + x sin y и ∂x f (x, y) непрерывны намножестве (x, y) ∈ [−A, A] × [0, A].0222Zx22F (x) = 2x ln (1 + x sin x ) + 4xln(1 + x2 sin2 y)· sin2 y dy.221 + x sin y010.9Задача [2], 3720Найти F 00 (x), еслиZbf (y)|x − y| dy,F (x) =aгде a < b и f (y) – непрерывная на [a, b] функция.471Решение.Rbf (y)(y − x) dy,x 6 a,a RxRbF (x) =f (y)(x − y) dy + f (y)(y − x) dy, a < x < b,axbRx > b; f (y)(x − y) dy,aRb− f (y) dy,x 6 a,a RxRb0F (x) =f (y) dy − f (y) dy, a < x < b,axbRx > b; f (y) dy,ax 6 a, 0,00F (x) =2f (x), a < x < b,0,x > b;Дома:10.10Задача [2], 3711Показать, что интегралZ1F (y) =f (x, y) dx0от разрывной функции f (x, y) = sgn(x − y) является функцией непрерывной.Построить график функции u = F (y).10.11Задача [2], 3713Найтиа) lim1+αRα→0 αб) limdx1+x2 +α2 ;R1 √α→0 −1x2 + α2 dx;472R2в) limα→0 0x2 cos(αx) dx;R1dx.x nn→∞ 0 1+(1+ n )г) lim10.12Задача [2], 3717Вычислить F 0 (x), еслиZx2F (x) =2e−xy dy.x10.13Задача [2], 3718Найти F 0 (α), если:а) F (α) =cosRαeα√1−x2dx;sin αб) F (α) =b+αRa+αв) F (α) =sin αxxRα ln(1+αx)x0г) F (α) =dx;Rαdx;f (x + α, x − α) dx;0д) F (α) =Rα2010.14dxx+αRsin(x2 + y 2 − α2 ) dy.x−αЗадача [2], 3719Найти F 00 (x), еслиZxF (x) =(x + y)f (y) dy,0где f (x) – дифференцируемая функция.47310.15Задача [2], 3722Найти F (n) (x), еслиZxF (x) =f (t)(x − t)n−1 dt.010.16Задача [2], 3731Показать, что если функция f (x) непрерывна на сегменте [0, l] и (x − ξ)2 +y 2 + z 2 6= 0 при 0 6 ξ 6 l, то функцияZlu(x, y, z) =f (ξ) dξp0(x − ξ)2 + y 2 + z 2удовлетворяет уравнению Лапласа∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u++= 0.∂x2 ∂y 2 ∂z 210.17ЗадачаУбедиться, что функция f (x, t) =x3 t2x6 +t6при x2 + y 2 > 0 и f (0, 0) = 0 опреде-лена на всей (x, t) — плоскости, непрерывна по t при каждом x и непрерывнаR1по x при каждом t.

Характеристики

Список файлов семинаров