1610907243-ac283de454695bb7f2524e2bfa39689d (824397), страница 51
Текст из файла (страница 51)
Обосновать законность смены порядка интегрирования в интегралеZ+∞ Z+∞1 e−t(u2 +α2 ) sin t du dt.√πδ0См. задачу 13.12, и как именно была доказана смена порядка интегрирования в интегралеZ+∞ Z+∞1 e−t(u2 +α2 ) cos t du dt.√πδ07. Почему сходится равномерно интеграл+∞R0xp−1 ln x1+xdx сходится равномер-но по p ∈ [δ, 1 − δ], δ ∈ (0, 1). См. задачу 14.7.16Seminar n. 16. Date 25.10.2018. Мера ЖорданаРазбиением (иногда сетью) ранга k пространства Rn называют совокупностьвсех замкнутых кубов видаQ = {x :mi + 1mi6x6,i10k10k510i = 1, .
. . , n},где mi – любые целые числа, i = 1, . . . , n; сами эти кубы называют кубамиранга k, k = 0, 1, 2, ... Кубы в R1 являются отрезками, в R2 – квадратами.Пусть X — некоторое множество и P(X) — система всех его подмножеств.Система множеств R ⊂ P(X) называется кольцом множеств, если для любых множеств A и B из R множества A ∪ B и A \ B также принадлежатR.Каждое кольцо R обладает следующими свойствами:1. ∅ ∈ R;2. A, B ∈ R⇒A ∩ B ∈ R, A 4 B ∈ R;kkST3. A1 , . . . , Ak ∈ R ⇒Ai ∈ R,Ai ∈ R.i=1i=1ОпределениеМеру Жордана можно определить как единственную конечно-аддитивнуюмеру, определённую на кольце многогранников и удовлетворяющую следующим условиям:1.
Меры конгруэнтных многогранников равны.2. Мера единичного куба равна единице.Пусть Rn — n-мерное евклидово пространство со стандартным базисом.Параллелепипедом (или n-мерным интервалом) будем называть множествовида {~x = (x1 , . . . , xn ) ∈ Rn | ai / xi / bi , i = 1, 2, . . . , n}, где значок «/»означает «<» либо «6». Таким образом, если I – параллелепипед, то I =I 1 × I 2 × .
. . × I n , где I i – непустые одномерные промежутки.Мера Жордана m(I) параллелепипеда I в Rn определяется как произведениеnYm(I) =(bi − ai ) = (b1 − a1 )(b2 − a2 ) · · · (bn − an ).i=1Для ограниченного множества E ⊂ Rn определяются:• внешняя мера Жордана m∗ (E) = infNPm(Ik ),k=1• внутренняя мера Жордана m∗ (E) = supIk ⊃ E,k=1NPk=1511NSm(Ik ),NSk=1Ik ⊂ E,здесь I1 , . .
. , IN – параллелепипеды описанного выше вида, Ik ∩ Im = ∅, еслиk 6= m.Множество E называется измеримым по Жордану (или квадрируемым),если m∗ (E) = m∗ (E). В этом случае мера Жордана равна m(E) = m∗ (E) =m∗ (E).Рис. 3.28: Множество измеримо по Жордану если внутренняя мера Жордана равна внешней мере Жордана.Свойства• Множества, измеримые по Жордану, образуют кольцо, на котором мераЖордана является конечно-аддитивной мерой.• Мера Жордана инвариантна относительно движений евклидова пространства.• Множество F измеримо по Жордану, если для любого ε > 0 существуетпара многогранников P и Q таких, что P ⊂ F ⊂ Q и m(Q) − m(P ) < ε.См.
рис. 16.• Внешняя мера Жордана одна и та же для E и Ē (замыкания множестваE) и равна мере Бореля Ē.512Пример множества, неизмеримого по Жордану. Рассмотрим меру Жордана m, определённую на R. Пусть A = [0, 1] = {x ∈ R : 0 6 x 6 1} –множество точек единичного отрезка; QA – подмножество рациональных точек множества A, тогда QA – неизмеримое по Жордану множество, так какm∗ (QA ) = 1, m∗ (QA ) = 0, m∗ (QA ) 6= m∗ (QA ), то есть верхняя и нижняя мерыЖордана не совпадают.16.1Задача [5], §7 № 4Доказать, что открытый куб ранга k в Rn измерим по Жордану и его мераравна мере замкнутого куба ранга k, т. е. 10−kn .16.2Задача [5], §7 № 5Доказать, пользуясь определением меры Жордана, измеримость и найти меру:1) отрезка [a, b] в R1 ;2) интервала (a, b) в R1 ;3) замкнутого прямоугольника в R2 , стороны которого параллельны координатным осям и имеют длины a и b;4) открытого прямоугольника в R2 с такими же сторонами, что и в 3);5) замкнутого параллелепипеда в Rn , n > 3, ребра которого параллельныкоординатным осям и имеют длины a1 , a2 , .
. ., an ;6) открытого параллелепипеда в Rn , n > 3, с такими же ребрами, что и в5).16.3Задача [5], §7 № 6Пользуясь определением меры Жордана, доказать измеримость множеств:1) A1 = {(x1 , x2 ) : x1 > 0, x2 > 0, x1 + x2 6 1};p2) A2 = {(x1 , x2 ) : −1 6 x1 6 1, 0 6 x2 6 1 − x21 };3) A3 = {(x1 , x2 ) : 0 6 x1 6 1, 0 6 x2 6 ex1 };4) A4 = {(x1 , x2 ) : 1 6 x1 6 e, 0 6 x2 6 ln x1 };5) A5 = {(x1 , x2 ) : 0 6 x1 6 π, 0 6 x2 6 sin x1 }.513Решение.1. Рассмотрим многогранники N [i−1i−1 iQN =0, 1 −,×,NNNi=1PN =N−1 [i=1PN ⊂ A1 ⊂ QN ,m(QN ) − m(PN ) = N Xi−1ii−11iN1−−1+−·= 2= ,NNNNNNi=1lim m(PN ) = limN →∞ i−1 ii×,,0, 1 −NN NN XN →∞i=1i1−N11N (N + 1)·== lim 1 −.N →∞N2N 222. Рассмотрим многогранники" r# rN22[(i − 1)(i − 1)i−1 i− 1−, 1−×,,QN =22NNNNi=1PN =N−1[" r−1−i=1i2N2r,1−i2N2#i−1 i×,,N NPN ⊂ A2 ⊂ QN , m(QN ) − m(PN ) =! rrNX(i − 1)2i2i−1i1−− 1− 2 ·−2=2NNNNi=1N1−2 XqN i=11−(i−1)N22(i−1)2N2NP2(2i − 1)− 1 + Ni 22i=16 3·q=qN(N −1)22i1 − N2+ 1 − N222 N (N + 1) − N1q·=√ ·q3N2N −1N2−N25141N26√ .Nlim m(PN ) = 2 limN →∞N →∞NXi=1rZ1 p11− 2 ·=21 − x2 dx =N Ni20π22Z qπ21 − sin2 φ d sin φ = 20Zπcos2 φ dφ =0Z2(1 + cos 2φ) dφ =π.203.
Рассмотрим многогранники N [i−1 ii,QN =× 0, exp,NNNi=1 N [i−1 ii−1,× 0, exp,PN =NNNi=1PN ⊂ A3 ⊂ QN ,m(QN ) − m(PN ) = NX1ii−1exp− exp=NNNi=1 XN11i−1exp−1exp=NNN i=111(e − 1)e−1exp−1 ·,=NNNexp N1 − 1NNX1i−11 Xi−1exp= limexp=lim m(PN ) = limN →∞ NN →∞N →∞NNNi=1i=11(e − 1) = e − 1.·N →∞ Nexp N1 − 1lim4. Рассмотрим многогранники N [i−1iiQN =1+(e − 1), 1 + (e − 1) × 0, ln 1 + (e − 1) ,NNNi=1515PN =N [i=1 i−1i(i − 1)1+(e − 1), 1 + (e − 1) × 0, ln 1 +(e − 1) ,NNNPN ⊂ A4 ⊂ QN , m(QN ) − m(PN ) = NXi(i − 1)(e − 1)ln 1 + (e − 1) − ln 1 +(e − 1)=NNNi=1NNiiXY1+1+(e−1)(e−1)(e − 1)(e − 1)(e − 1) ln eNN==ln ln.(i−1)(i−1)NNN1 + N (e − 1)i=1i=1 1 + N (e − 1)lim m(PN ) = limN →∞N →∞NX(e − 1)i=1N Ze(i − 1)ln 1 +(e − 1) = ln x dxN1ex(ln x − 1) = 1.15.
Рассмотрим многогранники [N [π i−1 π iπ iQN =·, ·× 0, sin·2N2N2Ni=1 π π i−1 π π iπ π i−1,+ ·, + ·× 0, sin+ ·2 2N 2 2 N2 2N [N [π i−1 π iπ i−1PN =·, ·× 0, sin·2N2N2Ni=1 π π i−1 π π iπ π i+ ·, + ·× 0, sin+ ·,2 2N 2 2 N2 2 N516PN ⊂ A5 ⊂ QN , m(QN ) − m(PN ) =Nπ Xπ iπ i−1π i−1π i sin·−sin·+cos·−cos·=2N i=12 N2N2N2 NN π π π Xπ(2i − 1)π(2i − 1) 2 sincos+ 2 sinsin<2N i=14N4N4N4N π π2<,2π sin4N2NNπ i−1π Xπ i sinlim m(PN ) = lim··=+ cosN →∞N →∞ 2N2N2Ni=1N −1N −1π Xπ iπ iπ Xlimsin·cos·+ lim=N →∞ 2NN →∞ 2N2N2Ni=1i=1(N −1)π(N −1)ππππ cos( Nπ sin( N4N ) sin( 4N )4N ) sin( 4N )·+ lim·= 2.limππN →∞ 2NN →∞ 2Nsin( 4N)sin( 4N)Здесь мы использовали формулыnXk=116.4sin nαsin (n+1)α22sin(αk) =,sin α2nXk=1sin nαcos (n+1)α22cos(αk) =.sin α2Задача [5], §7 № 19Доказать, что если m∗ (X) = 0, то X измеримо и m(X) = 0.16.5Задача [5], §7 № 20Доказать, что данное выше определение меры Жордана в частном случаемножества меры нуль равносильно следующему: множество X имеет мерунуль по Жордану, если для любого ε > 0 существуют такие натуральное k иконечное покрытие Sk (X) множества X кубами ранга k, что m(Sk (X)) 6 ε.16.6Задача [5], §7 № 21Доказать, что конечное множество точек в Rn имеет меру нуль.51716.7Задача [5], §7 № 22Последовательность точек xk ∈ Rn , k ∈ N, сходится к точке из Rn .
Доказать,что множество {xk : k ∈ N} имеет меру нуль.16.8Задача [5], §7 № 23Пусть α – k-мерная гиперплоскость в Rn (прямая при k = 1); X – ограниченное подмножество α. Доказать, что m(X) = 0.16.9Задача [5], §7 № 24Множество имеет меру нуль. Пользуясь определением меры Жордана, доказать, что:1) любое его подмножество имеет меру нуль;2) мера его замыкания равна нулю.16.10Задача № 40, [5], §7Доказать неизмеримость по Жордану множества:1) рациональных точек отрезка [0, 1] в R1 ;2) точек квадрата [0, 1] × [0, 1], обе координаты которых рациональны;3) точек квадрата [0, 1] × [0, 1], одна из координат которых рациональна, адругая нерациональна.16.11Задача [5], §7. № 41Указать в R3 неизмеримое по Жордану множество.16.12Задача [5], §7 № 46Указать неизмеримое по Жордану множество, замыкание которого измеримопо Жордану.51816.13Задача [5], §7 № 47Доказать, что объединение двух непересекающихся множеств, одно из которых измеримо, а другое неизмеримо по Жордану, есть множество, не измеримое по Жордану.16.14Задача [5], §7 № 48Указать два неизмеримых множества, объединение которых измеримо.16.15Задача [5], §7 № 49Доказать, что всякое замкнутое счетное ограниченное множество в Rn измеримо по Жордану и его мера равна нулю.16.16Задача [5], §7 № 50Пусть X 0 – измеримое по Жордану множество в Rn .
Доказать, что цилиндрX = X 0 × [a, b] измерим по Жордану в Rn+1 и mn+1 (X) = (b − a) · mn (X 0 ).17Seminar n. 17. Date 29.10.2018. Интеграл РиманаОпределение интеграла Римана, его свойства.13Пусть на измеримом по Жордану множестве Ω ⊂ Rn определена функцияf , τ = τ (Ω) = {Ωi , i = 1, . . . , N } – разбиение Ω, Θτ = {ξ (i) , i = 1, . . .
, N }– произвольный набор точек ξ (i) ∈ Ωi , i = 1, . . . , N , |τ (Ω)| = max m(Ωi ).i=1,...,NВеличинуστ = στ (f, Θτ ) =NXf (ξ (i) )m(Ωi )i=1называют интегральной суммой Римана от f по Ω.13Теория взята из [5],§8519Определение.Число I называют интегралом Римана от f по Ω ⊂ Rn , если∀ε > 0 ∃δ > 0 ∀τ (Ω) ∀Θτ(|τ (Ω)| < δ =⇒ |I − στ (f, Θτ )| < ε) ,и записываютlim στ (f, Θτ ) = I.|τ |→0+Функцию f называют в этом случае интегрируемой по Риману на множестве Ω (или по множеству Ω) (далее, для краткости, - интегрируемой на Ω (поΩ)). Для указания размерности Rn иногда употребляют термин n-кратныйинтеграл Римана.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
