1610907243-ac283de454695bb7f2524e2bfa39689d (824397), страница 46
Текст из файла (страница 46)
Следовательно, @ lim fn0 (x) при ∀x ∈ R.n→∞8.3Задача [2], 2799 а)Определить область существования функции f (x) =∞Pn=1(−1)n xn+xи исследоватьее на дифференцируемость.Решение. Покажем, что по признаку Дирихле, что ряд сходится равномернона множестве [−1 + δ, A], δ ∈ (0, 1), A > 0:un (x) =x,n+xvn (x) = (−1)n .Следовательно,un⇒[−1+δ,A]0,Vn =nXk=1−1 + (−1)n(−1) =.2450kЭто ряд сходится неравномерно на [−1 + δ, +∞) по критерию Коши (−1)n x 1= n + x x=n 2 .Ряд составленный из производных∞X(−1)n n(n + x)2n=1сходится равномерно на [−1 + δ, +∞) по признаку Дирихле.Следовательно, функция f (x) дифференцируема на промежутке (−1 +δ, A).
В силу произвольности δ > 0 и A, функция дифференцируема на множестве (−1, +∞). Затем, можно рассмотреть промежуток (−n−1+δ, −n−δ),n ∈ N, и повторить действия.Ответ. Функция f (x) существует и дифференцируема при x 6= −n, n ∈ N.8.4Задача [2], 2799 б)Определить область существования функции f (x) =∞Pfn (x) и исследоватьn=1ее на дифференцируемость, где fn (x) =|x|n2 +x2 .См. рис. 8.4.Решение. Покажем, что ряд сходится равномерно на множестве [−A, A] попризнаку Вейерштрасса:|x|AA=<.22A2 + n2n2x∈[−A,A] x + nsupВ свою очередь, ряд сходится неравномерно на R.
Здесь мы используем критерий Коши:2n2nXXn21|x| n=> 2= .22222x + k x=nn +kn + 4n5k=n+1k=n+1Рассмотрим ряд∞ Xn=1xx2 + n20∞Xn2 − x2=(x2 + n2 )2n=1при x > 0. Здесь мы используем признак Вейерштрасса на множестве (0, +∞):451Рис. 3.26: Графики абсолютных величин производных членов рядов |f10 |, |f20 |, |f30 |. См.задачу 8.4.Способ 1.supx∈(0,+∞) 2 n − x2 (x2 + n2 )2 6n2 + x211=sup=.2 + n2 )22 + n22(xxnx∈(0,+∞)x∈(0,+∞)supСпособ 2.() 2 2n − x2 n2 − x2 n − x2 sup= max= , √22 2(x2 + n2 )2 x=0 (x2 + n2 )2 x= 3nx∈(0,+∞) (x + n )1 11max, 2 = 2.2n 8nnОтвет. Функция f (x) существует при x ∈ R, дифференцируема при x 6= 0.8.5Задача [4], §19 № 10Доказать, что ряд можно дифференцировать∞Pn=1sin nxn2 ln2 (n+1)Решение.
Покажем, что ряд0 X∞ ∞Xsin nxcos nx=2n2 ln (n + 1)n ln2 (n + 1)n=1n=1452почленно на R.сходится равномерно на R, в том числе, на произвольном промежутке (a, b) ⊂R: cos nx cos nx 1 = sup =sup 2 x∈R n ln2 (n + 1) n ln2 (n + 1) .x∈(a,b) n ln (n + 1)Аналогично, исходный ряд сходится равномерно на всей числовой оси R. Следовательно,∞Xn=1sin nxn2 ln2 (n + 1)!0=∞ Xn=1sin nxn2 ln2 (n + 1)0при x ∈ (a, b).8.6Задача [4], §19 № 37Показать, что ряд∞Pn=1sin(2n πx)2nсходится равномерно на R, но его нельзя почлен-но дифференцировать ни в каком промежутке. См.
рис. 8.6.Рис. 3.27: Графики частичных сумм S3 (x), S4 (x), S7 (x). См. задачу 8.6.Решение. Показать, что данный ряд сходится равномерно на R по признакуnP0Вейерштрасса. Но частичные суммы Sn (x) =π cos(2k πx) расходятся вk=1любой точке x ∈ R.4538.7Задача [4], §19 № 38Доказать, что:1) при a > 1 сумма S(x) ряда∞P2n=1sin(2n x)an2непрерывна на R;2) при a > 2 этот ряд можно почленно дифференцировать;3) при a ∈ (1, 2] функция S(x) не дифференцируема.Решение.
Показать, что данный ряд сходится равномерно на R по признакуВейерштрасса при a > 1: sin(2n2 x) 1sup = n2 .2n aax∈R Показать, что ряд, составленный из производных членов исходного ряда, n22cos(2n x) ·an=1∞X2сходится равномерно на R по признаку Вейерштрасса при a > 2. Но этот рядрасходится в любой точке x ∈ R при a ∈ (1, 2].Дома:8.8Задача [2], 2792Показать, что функция f (x) =∞Pn=1sin nxn3непрерывна и имеет непрерывнуюпроизводную в области −∞ < x < +∞.8.9Задача [2], 2797Доказать, что дзета-Функция Римана∞X1ζ(x) =nxn=1непрерывна в области x > 1 и имеет в этой области непрерывные производныевсех порядков.4548.10Задача [2], 2798Доказать, что тэта-функцияθ(x) =+∞Xe −πn2xn=−∞определена и бесконечно дифференцируема при x > 0.8.11Задача [2], 2809Законно ли почленное дифференцирование ряда∞xXarctg 2 ?nn=18.12Задача [2], 2796Пусть rk (k = 1, 2, .
. .) – рациональные числа сегмента [0, 1]. Показать, чтофункцияf (x) =∞X|x − rk |k=13k(0 6 x 6 1)обладает следующими свойствами:1) непрерывна;2) дифференцируема в иррациональных точках и недифференцируема в рациональных.9Seminar n. 09. Date 01.10.2018. Room 5240. Start at12.40. Степенные ряды (область сходимости, радиуссходимости, почленная интегрируемость / дифференцируемость, разложение в степенной ряд)Радиусом сходимости степенного ряда∞Pan (x − x0 )n называется наибольшееn=0вещественное число R, такое, что этот ряд сходится при |x − x0 | < R.
С∞Pпомощью замены переменной можно перейти к рядуan x n .•n=0455Теорема Коши — Адамара. Пусть+∞Pan (z − z0 )n – степенной ряд сn=0радиусом сходимости R. Тогда:(α) если верхний предел limn→+∞limn→+∞1√n|an |pn|an | существует и положителен, то R =.pn|an | = 0, то R = +∞;p(γ) если верхнего предела lim n |an | не существует, то R = 0.(β) если limn→+∞n→+∞|an |,|an→∞ n+1 |Замечание. Если существует (конечный или бесконечный) limто R =|an |.|an→∞ n+1 |lim∞PТеорема.
Степенной рядak xk сходится равномерно и абсолютно на от-k=0резке [−r, r] для каждого r ∈ [0, R).•Следствие. Сумма степенного ряда есть непрерывная функция на интервале•(−R, R).Теорема. Степенной ряд∞Pak xk можно дифференцировать почленно на ин-k=0тервале (−R, R), причем радиус сходимости продифференцированного рядатоже равен R и∞∞∞X dXd Xkkak x =(ak x ) =k ak xk−1 .dxdxk=0k=0•k=1Следствие. Сумма степенного ряда есть бесконечно дифференцируемая функ•ция на интервале (−R, R).Следствие. Если степенные ряды∞Pnan x иn=0∞Pbn xn сходятся на некоторомn=0интервале (−A, A) и их суммы совпадают, то an = bn для всех n.•Метод Абеля — Пуассона.Пусть дана числовая последовательность {ak }∞k=0 . Поставим ей в соответствиеP∞степенной ряд k=0 ak xk .
Если этот ряд сходится при x ∈ (0, 1) к некоторойPфункции f и существует предел limx→1−0 f (x), то говорят, что ряд ∞k=0 ak456суммируем по Абелю–Пуассону и(AP )∞Xak = lim f (x).x→1−0k=0Теорема (Абель). Если степенной рядP∞k=0 ak xkсходится в точке x = R, то•он сходится равномерно на [0, R].Метод Абеля — Пуассона является линейным и регулярным.Необходимо помнить следующие пять основных разложенийI.
ex = 1 + x +x22!+ ... +xnn!+ . . . (−∞ < x < +∞).II. sin x = x −x33!x+ . . . + (−1)n−1 (2n−1)!+ . . . (−∞ < x < +∞).III. cos x = 1 −x22!x+ . . . + (−1)n (2n)!+ . . . (−∞ < x < +∞).2n−12nα(α−1) 22! xIV. (1 + x)α = 1 + αx +V. ln(1 + x) = x −x22+x33+ ... +α(α−1)...(α−n+1) nxn!+ . . . (−1 < x < 1).n− . . . + (−1)n−1 xn + . . . (−1 < x 6 1).Определить радиус сходимости, исследовать сходимость в концевых точках9.1∞Pn=1Задача [2], 2812xnnp .Решение. R−1 = limточках x = ±1.p > 1.1√n n)p = 1 при p ∈ R.
Проверим сходимость в концевых(n→∞∞∞PP(−1)n1Рядсходитсяприp>0,арядсходитсяnpnp приn=1n=1Ответ. Ряд сходится на множестве (−1, 1) если p ∈ (−∞, 0]; [−1, 1) еслиp ∈ (0, 1]; [−1, 1] если p ∈ (1, +∞).9.2∞PЗадача [2], 28152αn xn (0 < α < 1).n=1Решение. R−1 = limn→∞√nαn2 = lim αn = 0. Следовательно, R = +∞.n→∞4579.3∞PЗадача [2], 28161+n=1 21 nnxn .qРешение. R−1 = lim1 + n1n→∞∞∞ 2PP11 n1иe .
Рядыen · 1 + nnn=1n 2n=1n= lim 1 + n1 = e. Следовательно, R =n→∞ 2n(−1)1 n·1+расходятся. Действительно,nenчлены ряда не стремятся к нулю при n → ∞:n 2 n21 + n11112lim· 1+= exp lim n ln 1 +−n== limn→∞ enn→∞n→∞nenn 1! 1ln 1 + n − nln (1 + x) − x1exp lim=explim=exp−.12n→∞x→0x2n29.4∞Pn=1Задача [2], 2821ann+bnn2xn (a>0, b>0).Решение8 .R−1s= limn→∞nnan b+ 2nnЕсли b 6 a, в точке x ==q lim− a1nab n 1√·lim· n,1+nan→∞ n n→∞ qnba nlim √·limn+ 1,nbn→∞ n2 n→∞имеем ряд∞ P(−1)nn=1сходится условно.Если a < b, в точках x = ± 1b получим ряды∞Pn=1(−1)nn2n+1na nb+1n2b 6 a,=a < b,(a, b 6 a,b, a < b.
b n· a, который(±1)n , которыесходятся абсолютно.Ответ. Область сходимости: [− a1 , a1 ), если b 6 a; [− 1b , 1b ], если a < b.9.5∞P√n=18Задача [2], 28243√− n xn.n2 +1Если ряд+∞Pan абсолютно сходится, то рядыn=1+∞P(an + bn ) иn=1сходятся, либо условно сходятся, либо расходятся458+∞Pn=1bn одновременно либо абсолютноРешение.sR−1= limn→∞n−1 2n1 −11√12n= 1.= lim 3· lim n + 1√ √n→∞n→∞3 n n2 + 1В концевых точках x = ±1 степенной ряд сходится абсолютно.Ответ: область сходимости [−1, 1].Найти область сходимости обобщенных степенных рядов9.6∞Pn=1Задача [2], 28341xn· sin 2πn .Решение. Рассмотрим замену x = y1 . Получим степенной ряд∞Xπ.2ny n · sinn=1Радиус сходимости этого ряда можно вычислить по формулеsin 2πnπ2nπsin=2·n→∞ sin n+1lim2R = limπ2nπsin 2n+1π2n+1n→∞Следовательно, R = 2 и ряд∞Pn=1(−∞, − 21 )x∈∪( 12 , +∞).= 2.y n · sin 2πn сходится при −2 < y < 2.
ТогдаВ точках ± 21 ряд расходится.Ответ: область сходимости (−∞, − 12 ) ∪ ( 21 , +∞).9.7Задача [2], 2835∞Pn=−∞xn.2n2Решение. Рассмотрим два ряда∞Pn=0∞Pn=0xn2n2xn2n2−1Pиn=−∞равен +∞. При помощи замены x =∞Xyk.2k2k=14591yxn.2n2Радиус сходимости рядавторой ряд имеет вид:Радиус сходимости этого ряда равен +∞. Следовательно, ряд−1Pn=−∞xn2n2схо-дится при 0 < |x| < +∞.Ответ: область сходимости (−∞, 0) ∪ (0, +∞).Почленным интегрированием и дифференцированием вычислить сумму ряда:9.8x+Задача [2], 2906x33+x55+ ...(Решение. Здесь an =R−10,n = 2k,(2k − 1)−1 , n = 2k − 1.p= lim n |an | = limn→+∞r2k−1k→+∞1= 1.2k − 1Этот ряд сходится поточечно на множестве [−1, 1) и равномерно на множестве [−1, 1 − δ), δ ∈ (0, 1). РассмотримnXx2k−1Sn (x) =.2k − 1k=1ПосколькуSn0 (x)=nXx2(k−1)k=11 − x2n,=1 − x2то рядlimn→∞Sn0 (x)1 − x2n1= lim=n→∞ 1 − x21 − x2сходится равномерно при |x| < 1 − δ, δ ∈ (0, 1).
На множестве (−1 + δ, 1 − δ)мы используем теорему о дифференцировании функционального ряда. Такимобразом,11S (x) ==1 − x22011+.1−x 1+xИспользуя условие S(0) = 0, получим S(x) = 21 ln 1+x1−x при |x| < 1.4609.9Задача [2], 2909x1·2x22·3++x33·4+ ...Решение.1= 1.R−1 = lim pn→+∞ n n(n + 1)Этот ряд сходится абсолютно и равномерно на множестве [−1, 1] по признакуВейерштрасса:1|x|nsup=.n(n + 1)x∈[−1,1] n(n + 1)РассмотримSn (x) =nXxk,k(k + 1)k=1Gn (x) = xSn (x).ПосколькуG0n (x)=nXxkkk=1,сходится (−1 + δ, 1 − δ), δ ∈ (0, 1);G00n (x)=nXk−1xk=11 − xn,=1−xсходится (−1 + δ, 1 − δ), δ ∈ (0, 1). Легко показать, что G00 (x) = lim G00n (x) =n→∞011−x ,1+0G (0) = 0, G (x) = − ln(1 − x), G(x) = x + (1 − x) ln(1 − x), S(x) =(1−x)x9.10G(x)x=· ln(1 − x).Задача [2], 29131 · 2 x + 2 · 3 x2 + 3 · 4 x3 + .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
