1610840681-c7c8a0f4cc2f319e4e81be4a1f4ed926 (824165), страница 86
Текст из файла (страница 86)
Многочлен степени не вылив и. 24.107. См. ответ к задаче 24.81, где Е» — подпространство много- членов степени не выше»и — 1, Ез — подпространство многочленов, делящихся на ре(1). У к а з а н и е: преобразование является проектированием на ь» параллельно ьз. 24.109. См, ответ к задаче 24.81, где ь» — подпространство симметрических матриц, ьз — подпространство кососнмметрических матриц.
24.110. У к а з а н н е: есть множество матриц, у которых все столбцы, кроме 1-го, нулевые. 24.112. 2) Л, + Лм 1 <» < у < и. 24.114. При а = хй (Ь вЂ” целое) преобразования Ц, 2) тождественные, Л = 1, все ненулевые матрицы порядка 2 собственные. При о = — + хй имеется 2 собственное значение Л = 1 с собственной л»атрицей Е для Ц и Азе для 2) н собственное значение Л = — 1 с собственными матрицами ~~а~ + ~Ь~ ~ О, для обоих преобразований. При а ~ хй/2 собственное значение Л = 1 с собственной матряцей Е для Ц и Азе для 2), а также собственные значения Л = ест'»* с собственными 1 Ы матрицам»л . 1 соответственно щ»я обоих преобразований. 24.115.
Например, ейа8 (Л, ..., Л,,Уь-,„ь»(Л), д, ..., »»), т,— » и — ь при Л ~-. д. Число клеток равно и», сумма их порядков равна й. 24.116. Ц (1 — 1)(1-»- 9); 2) (Ь вЂ” 2)з; 3) Я вЂ” 3 — »»2); 4) ф — 2»); 5) (Ь вЂ” »)з; 6) 1(Ь вЂ” 2); 7) Ьз; 8) Ьз. 24.117. Ц 1 — Л, если А = ЛК; 2) (1 —. Л)", если А = 7„(Л). 24.118. Ц 1. 24.124. Пусть А = ейа8 (,7з(0), 0). Собственное подпространство (Л = 0) двумерно, т и к вектору 1» = ~~ 0 0 1 ~( не существует присоединенного, так как система Ах = 1» несовместна. 24.125.
Ц Л» = О, )) 3 1 )) 436 Опи~етн и цказан и и Лг = 7, Ц 1 — 2 ) ; 2) Лг = 1, Ц 2 — 1 Ц и Лг = 2, Ц 1 — 1 ) 3) Л = О, Ц 1 0 Ц , Ц 0 1 Ц (все пространство — корневое); 4) Л = О, Ц 1 0 0 ! , Ц 0 1 0 Ц , Ц 0 0 1 Ц (все пространство — корневое); 5) Лг = О, Ц 1 1 — 1 Ц и Лг = 2, Ц 1 2 0 Ц , Ц 3 0 2 ! (собствент ные пространства совпадают с корневыми); 6) Л = О, Ц 1 0 0 ! Ц 0 1 0 (, ! 0 0 1 Ц (все пространство — корневое); 7) Лг = — 1, т т ЦО 1 — 2Ц, ЦЗ 0 2Ц и Лг = О, ЦЗ 3 — 4Ц; 8) Лг = — 1; Ц2 0 1! иЛг=2, Ц1 1 ОЦ,ЦО 0 1Ц .
24.126. Указывается жорданова форма и соответствующий ей базис. 1),Уг(0), ( 1 1 ( Ц 1 О Ц; 2) Аг(О), ~ 3 — 3 Ц, Ц О 1 Ц; 3) Уг(О), Ц 2 6 Ц, Ц О вЂ” 1 ~ 4) йа8 (,Уг(0), 0), Ц 2 2 -2 Ц , Ц -1 0 0 Ц , Ц 3 0 2 / ; 5) Уг(0), Ц 2 1 0 Ц Ц 1 2 1 Ц Ц 0 1 1 Ц ' 6) Уг(0) Ц 2 1 1 / Ц 1 0 -1 Ц , Ц 0 0 1 Ц ; 7) йа8 ( Уг(0), Уг(0)), ! 1 0 0 1 ! Ц 1 0 0 0 Ц , Ц 0 1 1 0 Ц , Ц 0 1 0 0 Ц ; 8) йа8 (,Уг(0), 0), Ц 1 1 1 1 Ц, ) 1 1 О О Ц, Ц 1 О О О Ц', ~ 1 О О 1 ~; 9) .У,(О), Ц 16 16 16 16 Ц , Ц 8 8 0 0 Ц , Ц 3 1 1 — 1 Ц , ! 1 0 0 0 / 24.127. 1) Хд( — 3), Ц 1 — 2 Ц: Ц О, — 1У2 Ц; 2) йа8 (О, 169), Ц12 5 / Ц12 5! ' 3) Уг(-2) ЦЗ 6Ц ' Ц1 1 ! ' 4) Уг(5) Ц вЂ” 2 — 6Ц, ЦО 1Ц; 5) йа8(2, 2, 0), Ц2 1 ОЦ, ЦЗ 0 2! Ц1 1 — 1Ц; 6) йа8(Уг( — 1), — 1), Ц1 — 2 1 !, ! — 1 0 О/ Ц 2 — 1 0 Ц; 7) йа8 (1,,Уг(Ц), Ц 5 1 О Ц, Ц 1 — 3 4 Ц, Ц 1 0 0 / 8) йа8(0, Хд(0)), Ц 0 1 0 Ц, Ц 16 — 4 — 8 Ц, Ц 1 0 0 Ц; 9) йа8(0, Уг(1)),~1 11Ц Ц01 — 1Ц,Ц101Ц;10)йа8(Уг( — 3),2), Ц5 О -10 Ц', Ц-17 И О Ц', ЦО 1 — 1Цт; П),т,(2), Ц1 2 ~ ~', Ц110~ ЦО -1ОЦ 12) Уг(Ц Ц2 -1-1Ц )-110( Ц вЂ” 1 0 2Ц, 13) йа8 (Уг(1), — 1), Ц2 2 2Ц, ЦО 0 1/ Ц 2 0 1 !; 14) йа8 (2, 2, 2, — 2), Ц 1 1 1 — 1 Ц, Ц 1 1 — 1 1 / Ц1 — 1 1 1~/,// — 1 1 1 1Ц;15)йа8(О,,Уг(0),2), /О 1 1 О/ Ц02 — 2-4Ц, Ц1010Ц, Ц1021Ц; 16) йа8(Уг(1), 1), Ц О 2 О О Ц, Ц -2 3 -1 1 Ц', Ц О О 1 О Ц, Ц 1 -1 О О ~ 17) йа8(,Уг(1), 1, 1), Ц вЂ” 1 — 1 1 1 Ц, Ц 0 1 0 0 Ц, / 1 0 1 0 / Ц 0 7 0 — 1 Ц; 18) йа8 (Уг(1),,Уг( — 1)), Ц 2 — 1 2 — 1 / Ц 0 1 2 0 Ц, Ц 2 — 1 — 2 1 Ц, Ц 1 — 1 1 0 Ц .
24.128. К вещественной жордановой форме приводится только матрица 3). 1) йа8 (е, 8), Ц 1 1 — е Ц, Ц 1 1 —. 8 Ц, е = е г"'Уг; 2) йа8((4+ Зг)/5, (4 — Зх)/5), )1 гЦ, Ц1 — гЦ; 3),Уг(3), Ц1 2(, ЦΠ— 1! Отеетьг и цказап и 4) йай (1, 1, — 1), ((О 1 1)), ~(2 2 3+г((, ( 2 2 3 — г) 5) йаб (2, — 1+1, — 1 — г), ~)1 0 — 1)~, ~(2 2 — 5 — г( ))2 2 — 5+г((; 6) йгаб (2, — 4, 1+г, 1 — г), )! — 2 — 1 1 1! )! 1 — 1 1 — 1 /), ,'! 3 г — 1 — г (/, )! 3 г — 1 г )); 7) йае (,Ут(г), ,Ут( — г)), )~1 — 1 — 1 — г/), ))О 1 — г Зг — 3((, /)1 — 1 — 1 г! /! 0 1 г — 3 — Зг' ! . 24.129.
1) йа3 (2г, 0), // 1 г /!, !/ 1 — г / 2) йая (е+г, е — г), !/1 г'!!, !~г 1!!, 3) йая (1+в, 1 — е), /! 1 — 1 !, // 1 1 //, е = сов ( — 2яг,гЗ) + г впг ( — 2ягггЗ); 4),Уз(г), ~~ 1 г ~~, !/ О 1 !~ . 24.130. 1) При т ( и матрица содер- жит единичную подматрицу порядка п . т в правом верхнем углу, остальные ее элементы равны нулю, а при т ) и л с'л — ' сел и 0 1~а СГ Л1а — 1 Сг Лм — 1 л'" матрица нулевая. 2) 0 0 0 0 У~")(Л)гпг У(Л) У'(Л) Уа(Л)г2,' 0 У(Л) У'(Л) ... У~" гг(Л)Дп — 1)! 24.131. 1),У„(Л" ) 0 0 0 0 0 0 Л ф О.
Прн Л = 0 д У'(Л) У(л) юякайе при ве клетки г р д , сли п = 2й,н порядков 1г и 1+1, если п =21г+1. Указание: егяи ег, ..., е„жорданова цепочка у(е„тг) = ег (г = 1, ...,п — 1), то относительно у~ она распадается на две цепочки: е„, е„ и ... и е„ ы е„ в, ... из векторов, номера которых имею г одну четность. 2) У„(Л ) прн Л ~ О. При Л = 0 относительно гГгт образуются т клеток, соответствующих цепочкам векторов, номера которых имеют одинаковые остатки при делении на т. 3),У„(Л ). 24.132. 1) Приводится к диагональному виду. 2) Для каждого характеристического числа имеется по одной жордановой клетке. 24.134.
1) .У„тг(0); 2) .У„(1); 3) сйаб(в, ..., е" г), где в = сов(я/и) + гвгп(хгги); 4) йа3 (О, ..., п); 5) 2г йай(саво, ... ..., соево), где. о = .ггг(п+ 1); 6) У„(0); 7) Жая (п — 1, п — 3,..., 1 — и). 24.135. 1) Лай(Ув(1),,Ув(1)): 2) Лай(,7в(1), Ц; 3) йгай(,Ут(1), 1, 1). Указание; Азвв = (Авве — Е) = О, но ВЗ Аввв = 2, а Ек(А4вв Е) = 1. (Авве — Е)~ Ф О, (Авве — Е)в = О.
24.136. Характеристический многочлен (Л вЂ” 3) (Л + 2); для Атвг минимальный многочлен (Л вЂ” 3)(Л + 2), жорданова форма йаб (3, 3, — 2); для — Авгв минимальный многочлен (Л вЂ” 3) (Л + 2), жорданова форма йаб (,Ув(3), — 2). 24.137. йаб (,Ув( — 1), 2, 2). Ответы и указагг л 438 1 (1!) ' (2!) ' ...... ((п — 1)!) 0 1 (1!) г (2!) г ... ((и — 2)!) 0 0 1 (1!) ' ... ((и — 3)!) !2 — 1 о 24.138. 1) (1!)-' 1 0 0 0 0 24.141. У 0 0 0 0 3) Агг. к а з а н и е: использовать утверждение 2) задачи 24.139. 24.142.
Если Лв — наименьшее по модулю ненулевое собственное значение гр, то 0 ( ев ( !Лв~. Если все собственные значения равны нулю, то годится любое ев ) О. 24.143. У к аз а н и е: если одно из преобразований невырождено, воспользоваться утверждением задачи 23.92. Если оба вырождены, то использовать утверждение задачи 24.142. В этом случае преобразования р + ег и ф перес гановочны, и имеют одинаковые характеристические многочлены при любови е Е (О, ев). Переходя к пределу при е — г +О, пшгучаем требуемое. 24.144. У к а з а н и е: применить утверждение задачи 24.141. 24.145. У к а з а н и е: доказать, что р и ф имеюг общий собственный базис. 24.146. У к а з а н в е; применить утверждения задач 24.144 и 24.145.
24.147. Пусть гр(ег) = о. Тогда ег собственный вектор для гг с некоторым собственным значением Л. Векторы ез, ..., е„, такие, что ~р(еь~.г) = еы (Й = 1,..., и — 1), линейно независимы, причем гр(еь) = (Л вЂ” Й+ 1)еы (1 = 1, ..., п). 24.148. Пусть Лв максимальное по модулю собственное значение р гфс Тогда е = !Лв~ 25.1. 1) Нет; 2) нет; 3) нет; 4) да; 5) нет. 25.2.
Ц а) Да; б) нет; 2) нет; 3) нет; 4)да; 5) да. 25.4. 2) Стандартный базис ортонормирован. 25.5. 1) Нет; 2) нет; 3)нет. 25.6. Р должна быть положительяо определенной (задача 25.30). У к а з а н и е; составить скалярные произведения матриц стандартного базиса. 2ж.а. р„~ = эВГ + ц т. ы.в. г результат задачи 25.13. 25.15. 1) сов рг = хгг211,гб; сов рз = х/35/10; сов~рз — — у'35г'(2хг21); 2) ° '2,г3;;~2/7; 4г;г105. 25.20.
1) 16; 2) 0: 3) — 12; 4) 7; 5) 3. 25.21. сов о = Ъ~ ~и. 25.22. 1) 2, ьг94, 87,г94; 2) ,г22, , 3, О; 3) ,22, 22, -б,гп; 4) , 3, 58, 7!,г'174; 5) 2, хгП1, З,г2хгГ1. 25.23. У к а з а н и е: вычислите е, + е~!~. 25.24. Каждый базис с указанной матрицей Грама получается из одного такого базиса некоторым ортогональным преобразованием плоскости. Обратите внимание, что для того, чтобы сделать рисунок, необходимо выбрать единицу маспггаба. 25.25. 1) 0; ггр 1 — д" 2) 10; 3) 8; 4) 0; 5) пр + р —, где Р = . 25.26. 1) хгг4; г!д ' 1-6 2) хгг3; 3) хггб; 4) х,г3; 5) хгг4; 6) х/2.
25.27. 1) тг2, хг'18! 2) хГ2, ьг179; 3) хГ8, ЛО; 4) 1, тТ8: 5) !хг!~ = (Зп — п))2; Ответы и указан я 439 /1 п~ г,1 71 гв~ ~хг~ = ~х ) + — — ~ ). 25.28. Ц Ы~(1;2) о=2хй ~,1 — д) 2Ф ~,1 — дг)' (й а К); 3) ни при каком а. 25.29. У к а з а н и е: используйте связь матриц Грама двух базисов для случая, когда один из них — ортонормированный. 25.31. У к а з а н и е; использовап результат задачи 25.29.
25.33. У к а з а н и е: использовать неравенство Коши — Буняковского. 25.35. Ц Да; 2) нет; 3) да; 4) нет; 5) да. У к а з а н и е: утвердительные ответы можно обосновать, написав соответствующие матрицы. ~~~3500 Ц!) 5 9 0 0 ~~0035 ~~0059 25.38. Е г. 25.39 2 0 2/3 ~ 2) 0 0 3 — 1 ' 25'37. 0 273 0 0 0 -1 2 2/3 0 2/5 Г ~.Указание:помимобазисае вве ит п д е какой-нибудь ортонормированный базис и используйте матрицы перехода от него к базисам е и е*. (См. также задачу 25.3Ц. 25.41. 2) Нет.
У к а з а н и е: выразите С через матрицы, состоящие из координатных столбцов векторов соответствующих систем в некотором ортонормироваином базисе. 25.43. хы ..., хь, 25.44. У к а з а н и е: используйте результат задачи 25.43. 25.45. 2), 4), 5), 6), 7), 10) 1Ц, 12), 13), 14) -- да, остальные — нет. 24.46. Ц Да; 2) да; 3) в общем случае, нет: 4) да; 5) да; поворот вокруг побочной диагонали можно осуществить так: переписать все строки и все столбцы в обратном порядке, а затем транспонировать (а, — г в„утг „,эг), 6) Только если число Равно 1 или — 1. 7) Нет. 25.47.
Ц Йет; 2) да; 3) да; 4) только при ~о~ = 1; 5) да. 25.48. Все пары, которые получаются из Е, — Авг умножением обеих матриц на одну и ту же ортогональную матрицу. 25.49. Ортогональная матрица должна отличаться от антисимметричной матрицы на слагаемое вида — Е. Существуют при и = 2 и 4, а при п = 3 — нет. 2 25.50. Ц Нет; 2) да.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
