1610840681-c7c8a0f4cc2f319e4e81be4a1f4ed926 (824165), страница 90
Текст из файла (страница 90)
32.43. 6) (1 + 1)х 8) 2)хг)~ + Зхгхг + Зхгхг + (2 — 5г)хгхз + (2 + 5з)хзхг — 6)хг( + 41хгхз — 4зхзхг + (1 + Зъ'2))хз~ ~ 9) ~ (х,(". з=г 32.44. 1) б~хг~ — 2хгхг — 2хгхг + 8~хг~; 2) вхгхг + йхгх,; 3) 8~хг~ -Е 2хзхг + 2хгхг + хзхз + хзхз + 2хгхз + 2хзтг, 4) З(~хз~~ + ~хг(г) + ~хз~~ + ~хз~~ + хзхг + хгхз + 2г(хгхз — хзхз)— —. 21(хгхз — хзхг) + хзхз + хзхз.
32.45. В ответах даны формулы замены координат при переходе к искомому ортонормированному базису. 1) хз = (хз — гх~г)/у'2, хг = ( — гт' + х!г)/~2, (хг( + З)хг); 2) хг = (хз + хг), хг = (хг — хг)/ъг2, 5н2 б~хз~~~ — 4~х~г~~; 3) х1 = (хз + х~г)/и2, хг = в(хз — х~г)/зг2, 2~хг~~~; 4) хз — — (хз + гх!г)/ъ'2, хг — — (зхг + х~г)!ъ 2, хз — — хз, / ! ',1 г ~~г ~ ~'г. хз хг хз х, 2хз 2~хз~ + 4~хг~ — 5~хз~ , .5) хг = — + — + †, хг = уз Л йб' 3 йб' хз = — — — + —, З)хг); 6) хг = ( — х~ + х~з + (1 — г)х~з)/2, у'3 у'2 за хг = (хг + (1 + з)хз хз)г'2, хз = (хг + (-1 + г)хг + хз)/2), хз = ((1 + г)х', + хг + х~)/2, 4~хд)~ + 8)х',!г + 12(х'(г + 16(х,',(г.
32.46. 6(х, у) = к(х + у) — й(х) — к(у) к(х + 1у) — Й(х) — Й(у) 2 +з 2 П,Л и л вг вг лг лг 9х1 — хг бхз + 7х4 У=хг +хг +х!з, 9=14хз'; 13) хз = + Я 3 8х" ,— 2х" 5х!' — 8хл Зх" ,— хв Зх!' + 4х,", хг = (хз + хг + ха + Зхз)/2, хз = хз + хз, хз = ( — хз + хг + хз + хз)/2; 7 = 2(хз' +х~г' +аз' — 'зз' ), д = хз' +х!г +хз' +х.", . 32.37. Формы х~з и хз гдиагональны, но сРеди ик линейных комбинаций нет положительно определенных форм.
32.39. 1) 5х"; 2) т," + 4х"; 3) — хг' — — хг'; 4) 9хз' — хг . 32.41. 1) хз'"; 2), 3), 4) хг' + хг'; 5) х" ,ч- хг + хз; 6) х" ,— хг; 7) х," . 32.42. 1) 2) -г О 3) 3 4г 4) -31 2 5) О 1+1 ΠΠ— 5 г 2 1 — 1 1+г — 5 Опгееты и цказан л 457 33.4.
Ц Да; 2) да; 3) нет. 33.13. При условии линейной зависимости векторов аы Ьы ае — Ье. 33.14. Ц хг = — 1+ 31, хг = 1., ха =З+з,хз= — 2+71;2)хг= — 2+31з+21г,хг=1+21г, хз = 1 — 61ы хз = 1+ Зз + ЗЗг, 3) 2х~ — 32хг — 10хз — 9хз + 21 = О. л 1 в | Р+9 Р+ Ч 2) хз = — 1, хг = 1; 3) хз = 1+ 1, хг = 1+ 1, тз = 1 — 1; 4) хг = зы хг = --3 31г + 21г, хз = 1г, '5) хг = хг = хз = 1; 6) хг = 1+ 71г, хг = 21з + 231г, хз = 1 + 1ы хз = 1 — 111г; 7) хз — 1И, хг = — 1 — 71, хз = 1+ 1; 8) хз = Ьг + 41г + 21з — Ззз тг = зы хз = 1+ зг х4 = зз хз = 1з. 33.19.
Ц х~ — 2хг + 13 = 0; 2) 2хг — Зхг + хз + 1 = 0; 3) 4хз — хг — 22 = О, хг — 4хз — 2 = 0; 4) хз — хг + 1 = О, хз — хз = О, 2х~ — хз = 0; 5) 14хз — 5хг — 9хз — 4 = О, хг + 2хг — Зхз + 13 = О. 33.20. 2хз + Зхг — 4хз + хз+ 3 = О. 33.21. хг = — 1 + 31, хг = 3+1, хз =4 971, хз = — й 33.22. Ц хз +2хг+Зхз -хз+6 = О, хг+хг +ха+ + хз — 2хз + 5 = 0; 2) хг — хз + х4 = О, бхг + хг + 4хз — 4хз — 8 = 0; 3) 2х> + Зхг — хз — 4 = О, хг+ 2хз+ 2хз+ аз — 6 = О.
33.24. Если две двумерные плоскости в трехмерном пространстве имеют общую точку, то они содержат и общую прямую. Если в четырехмерном пространстве трехмерная и двумерная плоскости имеют общую точку, то они содержат и общую прямую. Если в четырехмерном пространстве две трехмерные плоскости имеют общчю точку, то они содержат и общую двумерную плоскость. 33.26.
Пусть ты тг и тз — плоскости с направляющими подпросгранствами ь, М и Л, проходящие через точки А, В и С соответственно. Тогда существует единственная плоскость наименьшей размерности, содержащая гпы тг и тз, направляющим подпространством искомой плоскости является сумма б + М + Л/ + Р, где Р линейная оболочка системы векторов АВ, АС. 33.27. 1) 5хг —. хг + 7хз -- 9 = О, Зхз — хз -- 3 = 0; 2) хг — 2хг -- 12хз + 1 = О, хг — хз + хз + 5 = 0; 3) 2хг — хз + хз + 1 = О.
33.28. Ц Трехмерная плоскость 5хз + + 2хг + хз + 11хз — 42 = О, 11хг + 5х — хз + 20хз — 81 = 0; 2) четырехмерная плоскость 73хз — бхг — 111хз — 62хз — 52хз — 195 = 0; 3) четырехмерная плоскость хг + хз — 2 = О. 33.30. Ц Параллельны; 2) имеют единственную общую точку (1, 2, 1, 0); 3) скрещиваются (абсолютно); 4) прямая принадлежит двумерной плоскости.
33.31. Ц Абсолютно скреп1иваются; 2) имеют единственную общую точку (1, 1, 1, 1/2, 3/2); 3) скрещиваются параллельно прямой хг — — хг = О, хз = хз = -хз, 4) пересекаются по прямой хз — — хг = 1, 2 хз+ хз — — хз = 2; 5) параллельны; 6) совпадают. 33.32. (2, — 2, 3, З~; 14хг — 4хз — Зхз — 7 = О, Зхз + хг — 2хз + 2 = О.
33.33. 21 . 33.34. хй = 1, хг = 4+ 1, хз = — 1 — 1, хз = 5+ 1; (1, 1, 2, 2) и (1, 2, 1, 3). 33.37. Ц (12, — 28, — 24, — 3); 2) ( — 5, 4, 8, — Ц. 33.38. Ц Является; 2) является; 3) является; 4) является при Лг = ... = Л„= О, не является во всех остальных случаях; 5) является; 6) является 458 Опдаеты и цказадд л при п = 1, не является при и 3 2. 33.41. Тетраздр с вершинами в точках (З,д4, — 1дд4, — 1д4, — 1,14), ( — 1д4, З,д4, — 1/4, — 1д4), ( — 1дд4, — 1дд4, Здд4, — 1д4), ( — 1дд4, — 1дд4, — 1/4, З,д4) 33.43. Ц С,"2" — д', 2) 2д д.
33.44. Октаздр с вершинами в точках (1, 1, — 1, — Ц, (1, -1, 1, -Ц, (1, -1, -1, Ц, (-1, 1, 1, -Ц, (-1, 1, -1, Ц, (-1, -1, 1, Ц. 34.2. Ц ~АВ = (ВС~ = и'7, (АС~ = ~/14„~В = 90', г'А = 'С = 45', 2) (АВ = 3, ;'АС! = 2, )ВС! = дд7, сА = 60', г'.В = агссоз 2дГ7 г'С = агссоз —; 3) АВ( = (ВС) = )АС( = 6, г'А = г'.В = з'.С = 60'. дд7' 34.4. Ц (-2, — 2, — 1, — Ц, Л = 6; 2) (О, — 1, 1, — Ц, Л = 5.
34.5. (1, — 1, — 3, Ц, Л = 7. 34.9. 1) 5; 2) 3. 34.10. Ц 5хд+2хг— — 4хз + 2х4 = Сд г, Сд —— 17, Сг — — — 11; 2) хд — 4хг + 2хз + 2хз = = Сд г', Сд = 29, Сг = -21; 3) 2хд — хг — хз + х4 + Зтз = Сд,г:. Сд =7, Сг= — 17. 34.11. Ц (1, 1, 2, — Ц; 2) (7, 2, 2, 1); 3) ( — 2, --3, 1,3,2).
34.12. Ц (2, — 1, 1,3); 2) (2,1,3,3,0). 34.13. 1ддп. 34.14. Ц ( — 3, — 7, — 1, — 5); 2) (5, — 1,5, — 5); (7, 2, 3, 0,9). 34.15. Ц (1, — 3,0, — 2);2) (1,1, 1, — Ц;3) (0,2,1,3, — Ц. 3417. Цхд=1+1,хг= — 3 — 1,хз= — 2 — 1,х4=4, 1,2)хд=1~-1, хг = — 3+ 1, хз = — 1+ 1, хз = 3 — 1, :3) хд = 4+ 21, хг = 1, хз = 1+ 1, хз=1,ха=1 — 1. 34.18. Ц (О, — 3, — 1,3); 2) ( — 4, — 1,3, -2). 34.19. Ц 45', 2) агссоз(1/3); 3) 30'.
34.20. Ц 30', 2) агссоз(1дддГ5). 34.21. Ц 3; 2) 2 3; 3) 4; 4) йб. 34.23. Ц, 3; 2) 5; 3) 2; 4) 2й2; 5) 4. 34.24. Ц хд = 3 4 1, хг = 7+ 21, хз = --2 — 1, хз = 1+ 1; 2) хд = — 3 + 1, хг = — 1 + 1, хз = 4 — 1, хз = 7 — 21, хз —— — 3 + 1. 34.25. Ц (О, 2, — 1, Ц; 2) (- 1, О, 1, О, Ц; 3) (2, 1, 3, — 1, 0). 34.26. Ц (1, 1, 1, 3), 2) (1, 1, — 2, — 2, 0).
34.28. Ц 2у'7; 2) 6~2. 34.29. Ц у'2; 2) ~Т4; 3) 4. 34.30. Ц 3; 2) 1. 34.31. Ц агссоз (~ 7дд3); 2) 45', 3) агссоз,72/3. 34.33. Ц 1,дд/5; 2) 5; 3) 2; 4) З,дъ 5; 5) д76: 6) 2д75дд3. 34.35. Ц х, = 2+ 1, + 1г, тг = — 1 — гд хз = -1+ 1д хд — — — 1 — 1г и хд — — 2+1, хг = — 1 — 1, хз — — — 1+ 1, хз — — — 1: 2) хд — — 2+ Гд, хг = 2+ 1г, хз = — 1+ 1з, хз = 2 — 21д — 21г + 1з, хз = 1 — 1д — 21г + 21з и хд — — 2+ д, хг = 2, хз = — 1+ д, х4 = 2 — 1, хз = 1+ 1; 3) хд = Згд + 21г, хг = — 1 — 2зд — Дг, хз = 1 -~- Дд -1- Дг, хд = — 2 -~- Гд, хз = 1 + Гг и хд = д, хг = -1 — Г, хз = 1, хз = — 2 + 1, хз = 1 — 1.
34.36. 45'. 34.37. Ц агссоз(2дд3); 2) 45', 3) агссоз(1/ъ'5). 351. Ц (~)д -~ (б)г = (т,'+тд)~'-Ь(тг+тгф; 2) (~)' .~-(и)' = (с')" Ф)' сг т~~ из величин не является ни тензором, ни инвариантом. 35.2. Ц Инвариант; 2) набор из и инвариантов, не тензор. 35.3. Ц, 2), 3), 4), 6) Инварианты; 5) нет. 35.4. Ц, 4) Относительные инварианты; 5), 6) инварианты, 2), 3) не инварианты. 35.5. Ц Не инвариант; 2) тензор типа (О, Ц. 35.6. Ц Тензор типа (О, 2); 2) тензор типа Ответы и указания 459 <21 ! 1 1 1 О2 Т1 О'т2 1 1 О1 Т2 2 о гтг 1 1 Огт» 2 1 Огт» 1 1 О»т» г ! !»1'Гг 0'»Т2 г 1 1 1 2 1 О2Т2 О2Т2 1,2 2.2 1 2 1 2 г 2 Огт2 О2Т2 аг 1 аг 1 аг 2 !1 а, !1 !2 а, !2 а 2 35.24.
Ц И=ТОУТ: (О, 2). 35.7. 1) Тензор типа (О, 2), а,ь = а,агб 2) тензор типа (О, 2), а«1 = а«оы 35.8. 1) Тснзор типа (О, 2), агь = а,бь, 2) тензор типа (О, 2), аы = а,аы 35.9. 1) Тензор типа (О, 2), а»2 = 1, аг = О при 1~1илиу~З;2) тензортипа (О, 2),ап=1, а, =Опри!фу. 35.10. 1) Тензор типа (О, 1), а! = аг = 1, аг =... = а„= О; 2) тензор типа (О, 2), а!! = а»2 = а21 = 1, аг, = О при ! -1- » ) 4: 3) тензор типа (О, 2), а, = 1 при всех 1, у; 4) тензор типа (О, 2), аа = 1, аб = О при ! ф уу 35.14. Данный тензор («символ Кронекераэ, или «изотропный тензорв) соответствует гождественному линейному преобразованию, его компоненты во всех базисах одинаковы. 35.15.
б,'» = 2 о; !т . Билинейная функция, соответствующая атому тензору, в базисе е определяется формулой К (х, у) = ~ ь" т!'., «=1 где С', уг -- координаты векторов х и у. Она симметрична и положительно определена. 35.16. (О')' = т,',, где Т = 8 1 = ~ т,'~~. Данный тензор есть «о-й базисный вектор базиса е. 35.17. (В')' = О,", где Я = ~~О'~~. Ковектор 6, соответствует функции о»: Еп — > М„которая в базисе е определяется формулой ~р(х) = б!«(61«координата с номером го вектора х в базисе е).
35.18. б„'» — изотропный тензор типа (2, 2). У к а з а н и е: проверить закон преобразования компонент. При и = 3 среди компонент — 69 нулевых. 35.19. При »о = уо все компоненты нулевые: при !о ф уо! Вм», = 1, О „, = — 1, остальные компоненты нулевые; д~ы — — О",О»' — О,*'О»'. 35.20. Изотропный тензор типа (й, й). У к а з а н и е: проверить закон преобразования координат.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
