1610840681-c7c8a0f4cc2f319e4e81be4a1f4ed926 (824165), страница 89
Текст из файла (страница 89)
У к а з а н и е: использовать результаты задач 24.139 и 30.9. 30.17. У к а з а н и е: использовать результат задачи 30.15. 30.18. У к а з а н и е; использовать результаты задач 30.16 и 30.17. 30.20. Обратное неверно. 30.21. У к а з а н и е: если ог — нормальное, то С содержит базис из собственных векторов и в силу 30.15 инвариантно относительно Зг*. 30.22. Ц А' = йа8 (2+ г, 2 — 1), о = Аоз, .2) А' = йа8 (О, — 5г, 51), Опсеегаы и цказаи и оы и, оз и Ды,Зг, с3з — координаты векторов а, Ь; 2) нет.
31.14. Ц, 2) Нет; 3) (О, ..., О, 1, О, ..., 0) (единица на с-м месте); 4) (1, ..., Ц. 31.15. Еи. 31.16. С. 31.19. Ц (З,с3,0, 16/15, 0); 2) (1, 1с3,1сс5, 177). 31.20. (1, О,, 0) 31 21. Ц (1 зо, зо)' 2) (1 0 .. 0). 3123. б = ЗРд — Зсгг + сгз. 3125. сс (О, ..., О, 1, О, ..., 0) (единица на (1 + Ц-м месте) при й ( и; (О, ..., 0) при й ) и. 31.26. Ц (гсо, ..., гси), где гй = 0 при с < й и гс, = с(с -- Ц... ... (г — к)со' ~ при 1 ) к; 2) к! (О, ..., О, 1, О, ..., 0) (единица на (й+ Цм месте).
3129. 7(х) = 3~~~+ 5сг+4сз. 3131. Ц (О, О, — 2); 1 2) (5, — 5, — 2); 3) (3, 3, 3); 4) (О, 7, 2). 31.32. бо = срг, бс = — (сгз — сгс), 2 1 1 сс"(р) бг = сгс — 2сгг+ ~рз, или 5 = — срАюг. 31.33. Ц бь(р) = —, 2 и й" (й = О, ..., и) или бь(р) = аы если р(с) = ао + аа1 + ... + а„з". 2) г'ь(р) = (й = О, ..., и). 31.34.
С помощью мат- 1 ~Ф(Р) И с1сь с=со рицы (Я~) ~ ° 31 35 ° Ц с( = гсс уг = гг — гс уз = гз — Уг + 11' 1 2) СтРоки матРицы Асзз — — Асзо. 31 36 — (З вЂ” 2)(1 — 3), (З вЂ” Ц(3 — З), 2 1 1. 1ь (с Ц(с 2) 31 37 Рс(1) = П, г = 1,..., и+1. Координаты 2 ' ' ' ' ьФ;Зс — Зь' миогочлена Р(1) Равны Р(с,), ..., Р(З„.сс) 31.38. 1, З вЂ” 2, (З 2)г/2 1 Р(с) =Р(со)+Р (со)(с — зо)+ + —,РОО(1о)(с — Зо)и.
31.41. Базис состоит из функций гс (Х) = хо, где Х = ~~ хО ~ 6 Ясс»и. Функции гс соответствует матрица Сс = Ем. 31.42. Базис состает из 1 1 функций 7',(Х) = $г Сг Х, с = О, 1, 2, 3, где Со = — оо, Сс = — оы 1 1 Сг = --ссг, Сз = -оз. 31.43. У к а з а н и е: использовать зада- 2 ' ' 2 чу 31.30. 31.44. бйгаЛ' = и — 1 при Г ~ 0 и Л' = х.„при Г = О. 31.45. У к а з а н и е: выбрать подходящий базис. 31.46. Асы (сю т сг), сс, сг — произвольные числа. 31.47. с1пп й = и — сйшЛ. 31.48. (сг, сг, сз) Ат о, сы сг, сз — произвольные числа. 31.49. Линейная оболочка функций саы сгг, бм определенных в задачах 31.23 и 31.32.
32.1. Ц ~~ 1 ~~, хс, .2) 0 О, хс, 3) 1 х, 2хс — 2хсхг — 5хг; 0 1 — 3 4) ~ 1 0 7, 2хсхг — бхгхз+ 14хгхз+хг; 5) единичнаЯ матРица, ,'-37 1 и и и и — 1 2,'хг; 6) Аоос, 2,'хсхи; Б 7) Аозз при а = 6= 1, 2,'хг+2 2,' х,хс» с. с=1 Ответы и указания 452 0 — 9 9 9 9( х1У2 хгул + хгуг)' 32.2. Ц ~ — 3 (~, —.Зхлул; 2) ~1 2 2 3) ~ 2 5 6, х1У1+ 2х1уг+ 2хгУ1+ 2хлУз + 2хзУ1+ 5х2Уг + бхгУЗ + ~2 6 7 2 — 3 0 — 3 — 3 О, 2хзу1 — Зх1уг — Зхгул — Зхгуг,' 0 0 0 + бхзуг + 7хзуз' 4) и — 1 (сгуз„, -~тз 1уз). 32.3. Ц 5х, — 4х,хг + 8хг, , 1 2) — 4хг + 10х х — 4хг; 3) 4хг + 4хлхг + 8х1хз — Зхг + 4хз', 4) 4х хг -~ 2хлхз+ Зхг+ 4х2тз', 5) х~~+хг+хз+х4+ 2(хлхг+хлхз+ 4 х х — х х — хгх,1 — хзх4); 6) 2(х х1х2 г х х2хз х2х4+ хз+ 2 4) 7) 2(х — х1хз + хг х2х4+ хз — хзх4 + х4 х4хз + хз — х 'е + 2 2 + 22).
8) 2 ~ х;х1„1. 32.4. Ц Ь(х, У) = (к(х+ У) к(х) "(У) 22 л=1 Ь(х, у) + Ь(у, х) Ь(х~ у) Ь(у~ х) 2) Ь+(х, у) 2 ( Ь (х, у) 2 32.5. Ц Поменяются местами 1-я и у-я строки, а также 1-й и утй столбцы; 2) 1-я строка и у-й столбец умножатся на Л (при этом элемент диагонали, стоящий на их пересечении, умножится на Л ); 3) к 1-й строке прибавится утя, умноженная на Л, а также к 1-му столбцу прибавится у-й, умноженный на Л (при этом элеллент диагонали, стоящий на их пересечении, преобразуется по формуле В'„= Ьи + 2ЛЬО + ЛЗЬ ); 4) матрица отразится симметрично относительно побочной диагонали. 32.6.
Ортогональная матрица. 32.7. Ц 13х1 — 46хлхг + 41хг: 2) х1 -~- 2хг; 3) х,',; 4) 8х', — 18х',хг — 8х',хз + Зхг — бх',х', — 4хз; 5) 7х', — 11х!г — 2х~з + Зхлхг — бхлх~з + 11хгх!з, 6) 20хл + 8хг + Збх~з, 7) (и — Цх',г + (п — 2) х' г +... + х'„г + (2п — 3)х' х,' + (2п — 5)х',х' + + (2п — 5)хгхз + ... + хлх'„+ ... + х'„, лх„'.
32.8. Ц х1 + хг, 13) х1 +хг +хз +х4,4,4,0,4;14) х1 +хг +хз +х4 — хз — хе ', 3, О, 3, — 3. 32.9. Пусть п — размерность линейного пространства. Положительно определенными являются формы: Ц при и = 2, 9) при п = 3, 13) при п = 4. Отрицательно определенными являются формы: 5) при и = 2, 16) при и = 3. Неотрицательными являются формы: Ц при п > 2, 4) п > 2, 10), 1Ц при п > 3, 9) при п ) 3; 13) при и > 4. Неположительными являются формы: 5) при п ) 2, 6) при Ответы и указан и п > 2, 16) при п > 3.
32.10. 1) хг,у~1 + х'у'; 2) х',у',; 3) хгу, '+ х!„Уг, 4) хгу1 — хгуг', 5) хгу1 — хгуг — хзуз', 6) хгу1 + хгуг + хзуз, '7) не приводится (форма несимметрична). 32.12. 1) х', + хг, при Л > 1/3, х' при Л = 1/3, х' — т' при Л < 1/3; 2) х', + х~ при (Л( < 8, х' при )Л~ = 8, х', — х~г при /Л) > 8; 3) х', — тг +х~з при Л > — 6, х', — х!г рг рг /2 рг рг рг ~2 пРи Л = — 6, х1 — хг — хз пРи Л < — 6; 4) х1 + хг — хз + х4 при Л ) 7/4, х1 + хг — хз при Л = 7/4, х1 + х~г -- х~з — х~4 при Л<7/4;5) х1 +хг — хз пРиЛ=З,х1 +хг — хз — х4 пРи Л ~ 3.
32.13. 1) ~" х',.; 2) ~ ( — 1)' 1х1; 3) ~ г;; 4) х1 — ~ х',; 1.= 1 1.= 1 1 —.— 1 г=.г и и — 1 5) — ~„х',; 6) ~ т', . 32.18. 1) Положительно определена при *=1 ~=-1 Л > 1, неотрицательна при Л = 1, отрицательно определена при Л < — 4, неположительна при Л = — 4; 2) отрицательно определена при ~Л~ < 1, неположительна при Л х 1; 3) положительно определена при Л ) 8, неотрицательна при Л = 8; 4) таких значений Л нет; 5) положительно определена при Л < — 6, неотрицательна при Л = — 6, отрицательно определена при Л > 6, неположительна при Л = 6.
32.21. 2) пг пи. 32.22. Ц +Я+ Я+ ~42 в базисе— х/2' 7 2 ' 5 312 1 Г7 512 ЗЗ вЂ” ~/ — . 32.25. Ранг четное число, сигнату- 2 2 ' 72 2 ра равна нулю. 32.26. 2) Все линейные преобразования, матрицы которых ортогональны в том базисе, в котором записана данная форма. 32.27. Приводятся матрицы или формулы перехода от данного базиса е1, ..., еи к базису е1, ..., е'„и диагональная ,г 25 форма в новом базисе. Ц Аог, х1 — 9хг; 2) Аог, — х1: 3) Азз, 12 х1 +9хг, 4) Аз4, — 10хгу1, 5) Аеы 2хгу1 2хгу2, 6) 61а8(Аю, 1), 2 2 — — х', — — хг; 7) Азгз~ х', + 2хг + 10хз; 8) Азпь х',У', + ЗхгУ,'; 9) Азы, хгу1 + бхгуг — бхзуз' 10) Азхм З(х1 +хг хз ); 11) .4зю 4х1 + 422 + хо, 12) Аз1з, 9х1 — хг — 9хз , .13) Азнь — (х1 + хг ); ' 2 14) .4згю 14х1, 15) Азии — бх191, 16) 4ззо, х/3(хгу1 — хгуг)' 17) — Азоь 2 2(х1 + хг + хз — х4 ); 18) Зхг + Зх!г + 6хз — бх~4 в базисе 1, 1 1 е, = †(е1 + ег + ез), ег = †(ег — ез + е4) ез †(е1 — ег + е4) ,/З ' ' ' , 3 ' ' ,/3 е' = †(е1 — ез — е4); 19) х' + 2х' + 5х~ + 10х' в базисе 1 454 Ответы и указании 1 1 1 е1 = (4е1+ ег — ез), е~г — — — (ег+ ее — е4), е12 —— — (ег+ ез+ 2е4), Зъ 2 е'„= — (е1 — 2ег + 2ез); 20) — х1 — х~г + 2х~з — 2х~4 в базисе е' = 3 1 1 1 †(ег — ез), е12 = †(ег + ез — 2е4), ез = (Зе1 + ег + ез + е4) е4 = †( — е1 + ег + ез + е4); 21) †(х1у1 + хгуг хзуз хзу4) в ба- 2 ' 2 1 1, 1 зисе е', = †(е1 + ег), ег = — (ез + е4), ез = †(е1 — ег), е4 = †(ез — е4); 22) 5(х — х — х ) в базисе е = †(2е1 — ег), 1 12 Рг Рг 172 1 2 3 Д 1 1, 1 и+1,2 е~г —— — (е1+2ег), е~з —— — (ез — 2е4), е4 — — — (2ез-1-е4); 23) х', + у'5 ъ~5 з/5 ' 2 — (хг +...
+ хв ); е1 = — 2 е,; ег, ..., е„— какой-либо орто- 2 ,/п, нормированный базис подпространства х1 + ... + х„= О, напри- /1 — 1 мер еез — — (12 е, — (14 — 1)ез (й = 2, ..., и); 24) пх1У1; „ъ4': у 1,1=1 * е' = — 2 , '( — 1)1 'еб ег,..., е'„— ортонормированный базис подпро- странства 2 ( — 1)' 'т, = 0; 25) х1 +... +х'„— х'„41 —... — хг„ в базисе е'„= — (ез+ ег„е), е'„= е„, е'„4„— — — (ее — е2„1) (1 < й < < п — 1); 26) 2 2 х',; е'„= — (ек. + ег„141), е'„е„— — — (ев — ег„-141) кй (1 < 14 < и); 27) 2,' х', соз в базисе ев = 11/'З11'З, где и+1 п в1п е, (Й = 1, ..., и).
32.26. х1' — х!г'; 2, 0; 2) х1': 9) х",У,"+хгУг — хз'Уз', 3, 1; 10) х" ,+хг' — хз!'; 3, 1; 11) х" ,+хг +хз!'; 15) — х1'; 1, — 1; 16) х1'у1 — хгуз', 2, 0; 17), 18) х1' + хг + хз — х4'; 4, 2; 19) х", х" + х" + х"; 4, 4; 20) х" — х" — х" — х"; 4, — 2; 21) х1'у1'+ хгуг — хазуев — х,",у,",, 4, 0; 22) х1' — х!г — х~з, 3, — 1: ы п 2П вЂ” 1 23) ~„х",; п, и; 24) х~1'у"; 1, 1; 25) 2, 'х',1 — 2 х'; 2п — 1, 1; ~=1 а=1 =в-~-1 в2 П 26) 2 х,"; п, и; 27) 2 вкп1 сов ) х,", ранг равен 2(п,12). п+ ) Оп!веты и цказаа и бд!2 — 1 й, 9д!2 — 2 ~' З1 О О~ 51 — 1-.1 2 9 2 29 0 2 — 1 ' ) — 18 — 1 32.32. 2) Г дВ. 32.33. 1) 26 44 -49 -12 -21 24 — 5 — 8 10 512 5) — 848; 6) — 112 30 0-1! ЗО-1 О)~ 32.35.
хд + ... + х,, если первые и векторов ортонормированнодг ! г го базиса принадлежат М, а остальные п — и принадлежат М п и и 32.36. 1) хд — — — ' — хг', хг = +; д = хд' + хг ! д = у'2 ' Зд!'2 3 ,и и иг иг и- и , — Зхд + хг, 29 иг 1 иг 5х, — 4хг, 2) хд = дд5хд, хг — †, ~ = — хд — — хг дд!5 2 2 п,и и п тдб у'21 дд6 и'21 и и иг хд хг хд 4хг , дсг иг д = хд + хг или хд = — + †,хг = — + †; 7" = хд + хг, д = Л доз' д76, з ' х" ,-~ 7хдг (обе форд!ад положительно определены); 4) хд = — д -~ — г, ддпз д! 6 и п п дз п пг иг иг 1 иг — 5хд + хг хг =ч 3:и! + д,! -хг, .г = хд + хг , д = т, — -тг , 5) хд = 2ЛЗ вЂ” +хг ,и, и Зч 10хд + хг ' У = 8хд +О 2хг, д = — хд — хг, 7) хд = (ддзхд— д! 65 дд2х~ ~ (д!! 5, хг = ((ъ 2 — 2ъ З)хд + (ъ 3+ 2ъдп2)х~ )/ъд5; г' = Зхд' — 2хг', — т;Га+1)хд'+ (дда+ 1+ т,,Га)х")7;/2а+1; 7" = (а+ 1)х" — ах.", и и и и и и п и иг !дг хп хд хг 2хз уд тг хз и п и д'=Зхд' +2хг,д=хд' .+хй +хз, 10) хд= — + + д! 5 4дГЗ 4~5 п п и и ° и хз хг ч бхз иг иг хг — — — — + — — —, хз — — — — +; 7" = 5х" ,— х!г' дЛ 2дГЗ 2Л 4ддЗ 4 пг пг , пг иг„ , хд хг хз и 5хз, д = х, т хг + хз, 11) хд — — — + — — †, хг —— и Зхз, ,Гб Гз ' 2хи 2хи 8хи 4хи Зхи 2хи Зхи 5:си 12) хд = д + — г + з,хг = д + г + з,хз = д + Л4 у'5 д! 70 ддГ4 д! 5 дд70 Л4 ъ'70 Ответы и указании 456 2 3 2 — 51 3 — 6 4г 2+ 5г — 4г 1+ ЗА'2 ~ хг + (1 — 1)хгхг — б~хг ~ — 1 О ~ 4+1 О 2+г 9) единичная матрица.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
