1610840681-c7c8a0f4cc2f319e4e81be4a1f4ed926 (824165), страница 85
Текст из файла (страница 85)
8) а|+... + а„и хЛь, где Ль = )а~ + агвь +... + а„в," ~), вь = ег'ьуо, О < й < (и/2), а при четном и также а1 — аг +... + ( — Ц" а„. 9) уп, —,,Гп, с',~п, — г., и с кратностями соответственно й+ 1, й, й, й при и = 4й+ 1 и й+ 1, й + 1, й+ 1, й при и = 4й + 3. У к а з а н и е: характеристические числа матрицы А равны п и — п с кратностями соответственно (и + 1)/2 и (п — 1)/2. 24.36. 1) 1+ ( — 1)": 2) О; 3) ~/п при п = 4й+ 1, гх/и при и = 4й + 3; 4) гд" 'Ив" гпгп"~г. У к а з а н и е: воспользоваться результатами задач 24.34, 7) и 24.35, 9).
24.37. 1) Агвг, '2) .4гво', 3) Азов Рг, Азов Рг 24.38. 1) Ув( Ц', 2) Авва 24.39. 5. Ь+ За 24.40. 9, 4, 3, 2; или 9, 2, 6, 1. Л = 2. 24.41.. У к а з а н и е: 4 Ответы и рказаипл 432 0 8 00)~~ 0-1 10)~ 24.55. Ц йа8 ( — 4, — 4, 4, 4) в базисе 8 0 'еО 0 )! О 1,. 2) Л = 5, собственные матрицы ег), е = ег~'~г, в базисе 1 0 — е 0 1 0 3 0 0 1 ; 3) ббаК (е, е, 0-е! 0 1 > 0 1,' — еО 0 — е!' 10 0 О,' 1 1 24.56. 1) йа8 ( — 1, — 1, — 2, — 2) в базисе 1 1 0 0 2 1 0 0 12 00~~ ~~~; 2) Л = — 3, собственные матрицы 3 е— 3) гба8 (е, е, ег, ег), е = ег '1~, в базисе 0 0 о о~~ 2 1)~' 0 0 3 е — 1 ,за — 1 2 0 0 0 0 3 ег — 1 аы агг а21 а22 24.57. 1) Если А = 0 а12 а21 а22 а11 — а12 0 0 — ага — аг1 0 а21 а12 0 .
2) а) Л = О, собственные ам — агг е~"1. 24.43. 1) Л = О, собственные векторы — многочлены а1+ Ь (~а) + Ь! ф 0); 2) Л = О, собственные векторы — константы: Л = — йг, Х = (аьсовН+ Ььв1пН) )а(+ (Ь| ~ О), й = 1, ..., и; 3) Л = Лг, Х = (сехег/с~О), й = 1, ..., и; 4) Л = Лг, Х = (сехог/сфО). 24 44. 1) Л = О, Х = ((ав+ а11)е ))ав)+ /а1! ф 0); 2) Л = — 1, Х = (ае'(а у'. -О); 3) Л = 2, все ненулевые функции из б собственные.
24.45. 1) Л = — 1, все ненулевые функции из М собственные. 2) Нет собственных векторов. 24.46. 1) Л = О, Х = (асоз21+ Ьяп21) (а)+ (Ь~ ф. О); 2) Л = — 16, все ненулевые функции собственные. 24.47. Через р„д обозначены базисные векторы собственных подпространств. 1) Л = О, р = 1; Л = 1, р Ь.Л 2 р 12.2)Л 1 р 1.Л 2 р=1 Л=З р=гг 3) Л = 1, р = 1; Л = 2, р = 1, 4 = 12. 24.48. Собственные значения — всевозможные Л е К. Собственные функции сем, с ф О. 24.49. Л = — иг, Х = (сяпиЬ~ с ~ 01, и любое натуральное число. 24.50. А = В = С = Е. 24.51. 2) Л = 1, собственные векторы— многочлены степени меньше т; Л = О, собственные векторы — многочлены, делящиеся на рв(1). 24.52. 1) с11а8 (1, О, О, 0) в базисе 1, 1, 12, гг. 2) йа8 (1, 1, О, 0) в базисе 1, 1 гг + 1 гг З 1. 3) йга8 (1 1, 1, 0) в базисе 1, 1 — 1, (1 — 1)2, (й — 1)г. 24.53. Л = 1, собственные векторы — ненулевые симметрические матрицы; Л = — 1, собственные векторы — ненулевые кососимметрические матрицы.
т Формула А = — (А + Ат) + — (А — Ат) дает искомое разложение. 2 2 24.54. Л = 1, собственные векторы — ненулевые эрмитовы матрицы; Л = — 1, собственные векторы — ненулевые косоэрмитовы матрицы. Ошееты и цкаааиил 433 матрицы Е, Ац>е, б) бйаб (О, О, 2, — 2) в базисе Е, Аан Аю А$ 10 Π— 1 — 11 1 1 в) гБая(0, О, — 21, 21) в базисе 1 ' 1 24.58. Ц г11ая (1, 1, — 1, — Ц в базисе Е, Ааь -Аю Азе, 2) Л = 1, собственные матрицы Е, Аюе.
24.59. Л = 1; собственные функции: Ц 1, у, у~; 2) 1, 2х+ у, (2х+ р)~. У к а з а н и е; можно использовать результат задачи 23.50. 24.60. Ц Л = О, собственный вектор х"; 2) Л = О, собственный вектор у"; 3) йая (и, и — 2, ..., — и) в базисе х", х" гу,..., у" ~х, у". У к а з а н и е: можно использовать задачу 23.51. 24.61. Ц Л = 1, собственные векторы — константы; Л = О, собственные векторы х, хр, хз. 2) йая (1, 1, 1, 1, — 1, — Ц в базисе 1, х 1- у, ху, хз -~; уз, х — у, хз — уз. 3) Л = 1, собственные векторы 1, х, хз, уз; Л = — 1, собственные векторы у, ху. 24.62.
Ц ббай (2, — 2, 0) в базисе х+ хз, х — хз, 3 — 5хз; 2) Лая (2/3, 4/3, — 8/15) в базисе бх+ 1, х, Зхз — 1. 24.63. Ц йая(к/2, — к/2) в базисе сбп х + сов х, зш х — сое х; 2) г11а8 (я/2, я/4, я/4) в базисе 1, соз2х, з1п2х. 24.64. Л = О, собственные векторы — гармонические многочлены, т.е. решения уравнения Лапласа Ьр = О. При и = 0 это многочлены нулевой степени, а при и > 1 существуют два линейно независимых однородных гармонических многочлена степени и; ~вдО ~в/2~ 1)ьг зь и-зь„зь 'тг ( 1)ьс зь-;г и †зь -~„зьзл ь=-о ь=а У к а з а н и е: и + 1еь = (х + гу)". 24.65.
Преобразования с ,'10 11~ АВ ПАОЛ и',01 '" 01. 24.72. Ц ОС '2) ВС матрица А порядка Л. 24.75. Любое подпространство инвариантно. 24.76. Вся плоскость и нулевое подпространство. 24.77. Прямая х =1а и плоскость (х, а) = О. 24.78. Кслн матрица преобразования диагональна в базисе ем..., е„, то ненулевые инвариантные подпространства натянуты на всевозможные системы векторов е;,,..., ем, Число инвариантных подпространств равно 2гч 24.79. Пусть Е является прямой суммой собственных подпространств преобразования Е = Е~ Ю ...
Ю Е,. Тогда любое инвариантное подпространство М имеет вид М = М~ ~Э ... В М„где М, — некоторое подпространство в ь, (1 = 1, ..., а), 24.80. Подпространства (о) и линейные оболочки векторов ем ..., еь для каждого й = 1,..., и. 24.81. М~ + Мз, где М, — произвольное подпространство в 1 = 1, 2. 24.82. 2) У к а з а н и е: использовать задачи 24.2 и 24.26, 4). 24.83.
2) У к а з а н н е: использовать задачи 24.26, Ц и 23.98. 24.85. У к а з а н и е: использовать задачу 24.84. 24.86. Очевидные инвариантные подпространства: (о) и все про- Оплееты и цказан и 434 и 020 0,' — 200 0 002 — 2 002 2~ 1 0 1 0 0 ! 0 1 1 0 — 1 0 0 1 0 — 1 450 А'= — 540; 2) 000 А' = —,2 ъ'2 — 1 1 0 0 1 1 0 А =(О „Π— лУ2 — 1 0 0 1 0 0 0 0 0 лУ2 — 1 0 0 1 О, 1 у'2 ъ'2 — 1 1 0 0 1 А' 3) Я -3 -3 -1 0), 3 2 10~~ 4 3 1 О~' О 01~,' — 9 0 0 0 0 0 0 0 — 9 0 1 0 1 002 0 — 102 4) Я= О 2!О 0 201 5) странство.
Другие инварнантные надпространства; 1) одномерные с базисными векторами (2, — 1) и (1, — 1); 2) одномерное с т т базисным вектором ( — 1, 2); 3) одномерные подпространства т с базисными векторалли ал = (О, 1, 1), аз = (1, — 1, — 1), т аз = (1, — 1, — 2), двумерные: линейные оболочки пар векторов ао ал, 1 < л < й < 3; 4) одномерное инвариантное подпространт ство Р с базисным векторолз (3, 5, 6), двумерное инвариантное надпространство й с базисом (2, 1, 0), (1, О, — Ц; все подт т пространства М пространства Я; всевозможные суллллы М + Р.
5), 6) Собственные нодиространства М, Л с базисами из векторов ел + е„лен 1 < ! < )(и+ 1)/2) и ел — е„. ллы 1 < л < )и/2); все надпространства Р, Ц пространств М, Л; всевозможные суммы Р+ Я. 7) Собственные надпространства М, Л' с базисами ез +... + е„и ел — ез,..., ел — е„; все надпространства Р пространства ЛГ; все суммы Р+М. 24.87. (и — 1)-мерные инвариантные надпространства определяются уравнениями: 1) хл — 2хз + хз = 0 и хл — хз + хз = 0; 2) (2сл+ ЗЗ)хл — охз + Зхз = 0 (~сл~ + ф( ф 0): 3) х| — хз + 2хз = 0: 4) хл — хз = 0; 5) хл + 2хз 4: (ха + 2хл) = 0; 6) хл + хз х (хз 4 хл) = 0; 7) 2хл+хз+Зхз+хл — ха=О; 8) хл+хз+...+х„=О.
У к а з а н и е: использовать результаты задачи 24.84 или 24.85, 2). 24 88. 2) Базис в л.: (1, — 1, — 1, 0), (О, О, О, 1) 2489. 1) Указание:еслиеы ...,ел базиса Ел (и=1,...,и), то ел, ..., е„— искомый базис. 24.90. Линейные оболочки пар векторов: 1) (! 1 0 2 (/, )! 0 1 2 )); 2) )! 1 0 1 0 )), ~! 0 1 0 1 )~ и )! 1 0 --1 0 ~(, )~ 0 1 0 --1 ((; 3) )~ 1 — лГ2 1 0 )), ,'! лГ2 — 1 0 1 1 ъ'2 1 0 )(, ( — л'2 — 1 0 1 $4) все пространство; 10 2~ 5) )! — 1110!), ))0001/). 24.99. 1) Я= 01 2 2 2 — 1),' Отпееть» и указа»»ил О," 24.101. Искомый базис задав матрнцей Я.
0 ~~ 1 0 0 0 — 1 0 0 0 0 0 0 — 1 А' = 010~~ 000~ 150~~;2) 001 141~~ 000,' 1 1 0 0 . 4) Матрица к — 1 0 0 — 25 0 0 5 1,Я= 0 0 5 — 1 1, Я= — 1 Решение нс единственно. Ц 1 1 0 — 1 о= — 1 20;3) 0 0 — 3 1 0 0 — 2 1 1 треугольному виду над полем действительных чисел не приводится. У к а з а н и е: применить задачу 24.100. Можно использовать результаты задачи 24.87.
24.102. 2) Если й», ..., й, — порядки диагональных блоков, то йш» ь, = Ь» + ... + й (у' = 1, ..., г). 24.104. Ц Л = О, собственные векторы — константы; 2) Л = О, а1 (а ~ 0); 3) Ль = — 1л, асов и» (а ф 0), 1 = О, 1,..., и; 4) Ль = — й~, Ьет И (Ь ф 0), й = О, 1, ..., и. 24.105.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
