1610840681-c7c8a0f4cc2f319e4e81be4a1f4ed926 (824165), страница 81
Текст из файла (страница 81)
1) х' = 2+ 36, у = 26; 2) хз = 1 — Ьз — 26г — 36з, хг = Ьз, хз = Ьг, хл = Ьз, .3) х = у = 6, з = 4 — 36; 4) х = Ьг 4 Ьг, у = — 1 — 6з + Ьг, з = -2 э- Ьз ъ'2 + 26г, 5) х = 14+ 6, у = — 9 — 26, з = Ь: 6) хз = 1 —. Ьо, хг = — Ьг, хз = 1+ 6, + 26г, хв = — 1+ 26, + 36г, 7) хз = — 2 — Ь, хг = Ь, хз = 2 + 6, хв = 1; 8) хг = — 1 — 56, хг = 66, хз = — 1 — 56, хз = 1 + 76; 9) х~ — — 6 — 6| — Ьг — Ьз., хг — — 8 — 6) — Ьг — Ьз хз = Ьп хл = Ьг, хз = Ьз, '10) х~ = 2 + 46г — 116г — 146з, хг = 1 — 226о + 326г + 236з, хз = — 1 + ЗЬп хл = — 1 + 156г, хз = — 1+ 156з.
19.3. Не более чем на 1. 19.4. хв = О, хг = О, ..., х„= О, 0 = 1. 19.5. Ранги основной и расширенной матриц равны и. 19.6. В ответах указаны частное решение и фундаментальнал матРиЦа, а если Решение единственно -- Решение. 1) сшз, сшб 1 2) азов, сзог 3) решений нет; 4) сво, сшэ, 5) — свв сыг'., 6) стт, Азгз, 5 7) решений нет; 8) — см, с~от, 9) — Зсзвп сшв; 10) сэо; 11) — с~от, сгол' 12) спо, 13) сов, спП 14) — спв Азов, '15) сшз, 4зы; 16) сшг, Агзз' 17) сгвз, Агзт., 18) сшв, А~зв, .19) сзвз, Азы, 20) сзвл, А,з,, 21) сыв, Агзв, '22) с~во, Апз, '23) решений нет; 24) сзвт, сгвв, '25) спп с~во', 26) спв, 27) решений нет: 28) сгш, Аззэ', 29) сшт, Агзэ', 30) сшт, 1 1 сгвп 31) сгвз; Алп', 32) сгго, Авгг:, 33) — сгвз, Авш; 34) — — сгвв, Азов, '35) решений нет; 36) — сгло, Агво', 37) сгзз, Авп~ 38) сгын Атг, 39) сгзв, Ашт, 40) сгвг, Аыв, '41) сгзв, Аэто, '42) сгзп Алоэ~ 1 * 1 1 1 43) — — сгвз, Азвэ', 44) — — сгзв, Алп~ 45) — савв Алгв~ 46) сгзв 2 ' ' 3 ' 3 ' ' 4 Алш, 47) сгзо, сгво,' 48) сгш, сгзв, 49) сгтг, сии, 50) — сгво, А,по.
19.7. В ответах указаньс,эначение параметра, при котором система совместна, частное решение и фундаментальное решение однородиой системы при этом значении параметра. 1) Л = 15, спг, спз, '2) Л = 9, свэ, спл', 3) Л = 7, стт, спв, '4) Л = 12, свэ, стт. 19.8. Линейные комбинации с суъвмой коэффициентов, равной 1. 19.9.
Линейные комбинации с суммой коэффициентов, равной О. 19.10. (1, 1,..., 1). 19.11. (О, О,...,О, 1). 19.12. 1) Ак = оа; 2) Ак = а+ Ь; 3) Ак = па+ ВЬ. 19.16. У к а з а н и е: теорема сводится к задачам 18.12, 19.14. 19.17. Ксли система уравнений содержит т уравнений с и неизвестными, и ранг основной матрицы равен г, то: 1) и = г; 2) т = г (у к а з а н и е: применить теорему Фредгольма); 3) и, ) г; 4) т = и = г. 19.18.
1) Несовместна; 2) совместна; 3) несовместна. 19.19. Ц Система уравнений совместна при о = О, о = 1. При о = 0 фундаментальная матрица сш~., при о = 1 фундаментальная матрица та же, частное решение стн 2) Система уравнений совместна при о = О, о = 1. При о = 0 фундаментальная матрица А,вз, .при о = 1 фундаментальная Ответы и указаиил ных уравнений агхг +... + апх„= а, Ь,хг +... + Ьвх„= Ь, аг ...
а„а Ьг ... Ьа Ь йгхл +... + 6вх„= 6 есть г8 = 1. Указание 6,...6„6 сравнить каждое из данных уравнений с системой, полученной объединением всех уравнений. 19.23. У к а з а н и е аналогично указанию в 19.22. 19.24. Системы эквивалентны. 19.25. 1) Эквивалентны; 2) эквивалентны; 3) не эквивалентны. 19.26. Системы эквивалентны. 19.32. У к а з а н и е: система уравнений для вычисления коэффициентов имеет основную матрицу с определителем ).
19.33. хз— Вандермонда И'(аг, ..., автл) (ель задачу 14.28, 8) аг Ьг 1 — 6хг + 11х — 5. 19.34. 1) г8 аг Ьг 1 = 3; 2) г8 аз Ьз 1 а1 Ьг 1 агЬг1 азЬз1 азЬг1 х +у г + Ьг аз+ Ьгг аз г+ Ьзг х у 1 ал Ьг 1 агЬг1 аз Ьз 1 х у 1 19.35. аг Ьл 1 = О. 19.36. аг Ьг 1 Аг Аг Аз А4 Вг в Вз В4 '~ Аг Вг 19.37. 1) г8 ~ Аг Вг ,'Аз Вз Аг Вг Сг (г8 Аг Вг Сг, 2) г8 Аз Вз Сз 1 матрица та же, частное решение — слег. 3) Система уравнений 18 совместна при и = О, о = 1, о = 2. При о = 0 фуцдаментальная матрица Амг, при о = 1, о = 2 фундаментальные матрицы те же; частное решение при о = 1 равно сгэз, при о = 2 частное решение равно слгю 19.20. Система совместна, если: 1) все Л, различны, или 2) при некотором 1 выцолиено Л, = гг. В случае 1) решение Л,-д единственно: хл = П ', 6 = 1, ..., п.
В случае 2) в качестве ,. „л,— л„' частного решения можно взять столбец, у которого все компоненты, кроме г-й, равны О, а х, = 1. Для описания фундаментальной системы решений заметим, что базисными неизвестными являются те неизвестныс, которым соответствуют всевозможные различные столбцы коэффициентов. Поэтому 6-е решение из фундаментальной системы решений имеет 6-е свободное неизвестное, равное 1, базисное неизвестное, которому соответствует такой же столбец коэффициентов, равное — 1, а остальные компоненты й-го решения фундаментальной системы равны О. 19.21. У к а з а н и е; представить решение однородной системы уравнений как разность двух решений неоднородной системы.
19.22. 3) Необходимое и достаточное условие попарной эквивалентности нетривиаль- Оидееты и указан л 416 < гй~ Ад Вд Аг Вг Аз Вз А4 В4 19.38. 1) Прямые пересекаю гся в единст- венной точке прямые пересекаются в единственной точке. ад Ьд сд 1 аг Ьг сг 1 аз Ьз сз 1 а4 64 с4 1 = 4; 2) гб 19.39. 1) гй 19.40. 1) Все точки лежат в одной плоскости; 2) данные точки не а +у +2 дд2 4 62 + д,2 22 + 62 + с2 3 г а2 4- 62 + с" х у з 1 ад Ьд сд 1 аг Ьг сг 1 аз Ьз сз 1 лежат в одной плоскости. 19.41.
а42 + Ь42 + с42 а4 Ь4 с4 1 Ьд сд 1 Ьг сг 1 ад ДД2 ад Ьд сд 1 19.42. 1) гй аг Ьг сг 1 = 3; 2) гк аз 6з сз 1 ) 3, а Ь с 1 прямой; 2) точки не ле- 1 сд 1 =О. Указание: С2 сз 1 19.43. 1) Все точки лежат на одной х у ад Ьд жат на одной прямой. 19.44. аг Ьг аз Ьз см. решение задачи 19.35. 19.45. 1) т=Л=1; 2) т=Л=2; Ад Вд Сд Ад Вд Сд Р, г, 3) ° =1,Л=2,;,,е,=г, А В С Л-г, А В С Р ' 2 2 2 2 2 2 2 з 1946. 1) т=Л=1; 2) т=Л=З; 3) т=Л=2:,4) т=1, Л=2; А, Вд Сд А, В, С, Р, ~,' 5) т=2,Л=З,гдст=гй Аг Вг Сг,Л=ги Аг Вг Сг Рг~п Аз Вз Сз Аз Вз Сз Рз ~~ 19.47. 1) Плоскости образуют призму; 2) плоскости имеют одну общуюпрямую. 1948.
1) т=Л=З;2) т=2,Л=З;3) т=2,Л=2; А, В, С Аг Вг Сг Аз Вз Сз А4 В4 С4 аются; 2) прямые пер А, В, Сд Рд Аг Вг Сг Рг Аз Вз Сз Рз ~ А4 В4 С4 Р4 ~~ 4) т = 3, Л = 4, где т = гй 19.49. Ц Прямые скрошив есекаются. 20.1. 1) Нет; 2) да; 3) нет.
20.3. Ц Да; размерность равна 1. 2) Да; размерность равна п — 1. 3) Да; размерность равна и — 1. 4) Нет. 20.4. 1) Да: размерность равна 1. 2) Да; размерность равна 2. 3) Нет. 4) При о = О' и при о = 90' данное множество является линейным подпространством размерности 1, при 0' < о < 90' не является линейным подпространством.
20.5. Размерность Сд С С С 2) ад Ьд сд 1 аг Ьг сг 1 аз Ьз сз 1 а4 Ь4 с4 1 аз Ьз сз 1 Ответы и цказаддия нространсгва равна тп. Базис образуют занумерованные в каком-нибудь порядке магричньде единицы (см, введение к 3 15). Стандартный базис указан во введении к гл. 8. 20.6. Ц Да; размерность равна п(п -. Ц. 2) Да; размерность равна п. 3) Да; размерность равна п(п+ Ц,д2. 4) Да; размерность равна п(п+ Ц/2; 5) Да; размерность равна п(п — Ц,д2.
6) Нет. 20.7. Ц Да; 2) да; 3) да, :4) да; 5) нет; 6) нет; 7) да; 8) нет; 9) нет; 1О) нет; 1Ц нет. 20.8. Ц Размерность равна и + 1; базис: 1, 1,..., 1". 2) Размерность равна (п,д2) + 1;. базис: 1, дг, ..., дг" (1 = (п,д2)). 3) Размерность равна ((и+ Ц,д2); базис; 1, дз, ..., 1г" д (1 = ((и+ Ц,д2)). 4) Размерность равна 2п+ 1; базис: 1, созг, янг, ..., сов пг, зш пй 5) Размерность равна п, + 1; базис: 1, сове, ..., сов пй 6) Размерность равна и; базис: янд, ян2д, ..., вш пб 7) Размерность равна 2п+ 1; базис; е ', е д совг, е д явг, ..., е"д сов п1, е'"д явпб 20.10. Ц ( — 1Ц; 2) (1, — 3); 3) ( — 3, 1д2, — 5) О 1/2 -14дд3 4) (5, — 11, 14, — 2) .
20.11. 7дд2 1 — 3 . 20.12. Ц (О, 1бд3 1 — 1 5); 2) ( — 4, 11, 5); 3) — (7, 9, 4, О) . 20.13. Ц сгг = 10сзд — 7сз' 5 2) сего = сзд — 2свз', 3) сгод — — сшв — сдав — сдав', 4) сгоь = -сдав+ сшт, сгве = сыв + сшг. 20.14. Ц Размерность равна 1; базис: сд. 2) Размерность равна 2; базис: сзд, сгз. 3) Размерность равна 1: базис; сзд. 4) Размерность равна 2; базис: сдгд, сдг ь 5) Размерность равна 3; базис; сше, сшз, сдзя 6) Размерность равна 2; базис; сдгв с,гз.
7) Размерность равна 4; базис: сдав, сдав, сдвд едва. 8) Размерность равна О. 9) Размерность равна 2; базис: севе, сдзт. 20.15. Размерность равна 2; базис: Азя, Азвв. 20.16. Размерность равна 3; базис; (1+1)з, дз, 1. 20.17. Ц ( — 2); 2) (1/4, — 1/4) 3) (1 2~ Ц . 4) (1 1~ 2 Ц . 5) (1 2 1~ О~ Цт 20.18. ( — 1, 2, — 1, Ц . 20.19. (1, 1, — 1, 1, 1, Цт, кт 20.20. р„(о), —,р'„(а), —,р'„'(о), ..., —,р,"в (и)) . 20.21.
(4.,2, — 3)д. 20.22. Ц Размерность равна 1; базис: (3, Цт. 2) Размерность равна 1; базис: (О, 1, Цт. 3) Размерность равна 2; базис: (2, О, — 3)т, (1, 3, О)т; 4) Размерность равна 1; базис: (23, — 18, 3) . 5) Размерность т равна О. 6) Размерность равна О. 7) Размерность равна 3; базис: (1, 2, О~ О 0)т ( 13 О 10 2 0)т (1 О 2 0 2)т 20.23. Ц хд — 2хг+ ха=О; 2) хд+хг=О;3) О=О;4) хд — ха=О, хд — 2хг+ хд = О; 5) хд — хг = О, 2хд — хз = О, 2хд — хд = 0; 6) Зхд — хг — 2хз=О; 7) О=О; 8) хд =хг=хз=х4=0. 20.24. Ц )' ,,3 ); чд = 3(д, 2) 10 — 20 ' чд бьд + 13Сг' — 6 13 Оп»веты и цказан я 418 ~ — 5 Π— 4 ~ — 4 — 1 4 13 3 — 1 6 = 5б4 4бз бг ~г = 1Об' — 205!; 3) -3/2 О 2 ~ 9 — 1 Π— 5 О 0 — 7/2 2 О,,' = 4с,' — 5Я, 3/2 — 8 (з 4) ~~ 4 11/2 + Оьг 6 4з — 4 — 3 3 7 5 — 3 19 13 -3 29 19 -3 2 1 О -287 -192 30 484 (г + 4Сз бз = 136 + Збг 6 = -б, — -бг+2(„ 3, 3 бг = — 8сз -3 -3 ~ 5 6 ', 12 13 19 20 ~' 1 1 -186 -199 ~ 1 — 1 — 1 4 Π— 25 П, 7 ~4 — — б,' — — бг + 2бз 20.25.
Π— 18 1 — 10 О -21 0 О 6 0 4 1 — 50 -3 ; бз = — 18сг + ьз 1Оь», ьг = — 2ьг + ьз, 20.27. 3/4 1/4 1/2 ~~ 20.28. 1/4 3/4 1/2 '; О О 7 бз — — 6Сг + 4С», С» = (', — 5(г — Зб». 3, 1, 1, 1, 3, 1 6 = 6+ 6+ бз: 6 = 6+ ~г+ бз 6 = — Я. 20.29. 1) По- 4 4 2 ' 4 4 2 меняются местами 1-я и г-я строки матрицы перехода; 2) поменяются местами 1-й и г-й сголбцы матрицы перехода; 3) матрица перехода, рассматриваемая как квадратная таблица, отразится симметрично относительно своего центра. 20.30.
1) Я~Яг, 2) Я, '. 20.31. Ц е', коллинеарны е„, г = 1, 2, 3; 2) е', и ез коллинеарны, ем ег, ег компланарны: 3) ез и ез коллинеарны, ег, ез, ег компланарны. 20.32. 1) Я = 8 " = Агг, 2) Я = А»з (и = — 2), Я ' = А»з 10 — 1/2 0 О 1 Π— 3/2, О 0 3/2 О О О О 5/2 (и = 2); 3) Я = А4ям Я = А4»з. 20.33. 101/3 О П ~О! О 3/5~~ ! О О 23 О ~. 20.34.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
