1610840681-c7c8a0f4cc2f319e4e81be4a1f4ed926 (824165), страница 82
Текст из файла (страница 82)
1) 2сюзи()0 — 3 0 5));2)сзззвобоих .,т — 4сг Зсз + 3~4 — З~з — Зььо ьг = — ь', + 7ьг + бьз 3(4 + 5бз -~- 6Ц, .бз = — Я + 19сг + 1Зсз 3~4 + 12сз» 1Зьо~ 6» =4б', +29~г'+ в~а' — зб»+196+206 6 =2бг+6+6+Я 6 = 9 40 9)~ = — 25б' — 287б' — 192бз+308»~ 186~в — 199(е. 20.26. — 3 — 11 — 2 ); 8 37 8) 6 = 9~', + 40~' т 9~з', б = — 36 — 116 — 26, бз = 86 + 37бг + Зб» Опгоеты и цказания 22.2 базисах; 3) 2сггг и ~~ — 1 0 9 0 (~; 4) сгвь и (~ 1 — 4 — 3 10 ~ 215. 1) х=аг — 4Ьг, 2) х=аг — 2аг ~7з; 3) х=у+и, у=-аг — Заг=( — 7, — 9, — 10) ЕР,и=9ЬгЕД;4)х= — 2Ь|еД; 5)х=у+я,у= — 21аг+29аг=(8,8,8,37)ЕР, я = — 9Ь| — 5Ьг = ( — 9, О, — 14, — 32) Е Я.
21.6. 1) х; 1 / 1 11 2) о; 3) — аг = ( — —, — ); 4) 2аг + аг = ( — 1, 4, 2); 5) аг — аг = (2, 4 [, 4'4г) — 6, 6, 1) . 21.7. 1) Размерность суммы равна 2 (сумма совпадает т со всем пространством): базис: а,, аз. Размерность пересечения равна 1 (пересечение совпадает со вторым подпространством); базис: Ь,. 2) Разъсерность суммы равна 3 (сумма совпадает со всем пространством); базис: а,, аг, аз. Размерность пересечения равна 2 (пересечение совпадает со вторым подпространством); базис: Ьы Ьг. 3) Размерность суммы равна 3 (сумма совпадает со всем пространствоъг); базис: аы Ьы Ьг.
Размерность пересечения равна 0 (сумма прямая). 4) Размерность суммы равна 3 (сумма совпадает со всем пространством); базис: ам аг, Ьь Размерность т пересечения равна 1; базис: (1, О, 1) . 5) Размерность суммы равна 3 (сумъга совпадает со всем пространством); базис: аы аг, Ьп Размерность пересечения равна 1; базис; (3, 1, 0), 6) Размерность т суммы равна 3 (сумма совпадает со всем пространством); базис: аы аг, Ьп Размерность пересечения равна 1; базис: (40, 45, 43) т 7) Размерность суммы равна 3; базис; аы аг, Ьп Размерность т пересечения равна 1; базис: (2, — 6, 7, — 2) . 8) Размерность суммы равна 4 (сумма совпадает со всем пространством); базис: аы аг, Ьы Ьз. Размерность пересечения равна 0 (суъгма прямая).
9) Размерность суммы равна 3; базис: аы а, аз. Размерность пересечения равна 2; базис: Ьы Ьг. Сумма совпадает с первым подпространством, пересечение — со вторым. 10) Размерность суммы равна 4 (сумма совпадает со всем лространством); базис: аы аг, аз, Ья. Размерность пересечения равна 2; базис: Ьы а,. 1Ц Размерность суммы равна 4 (суъгма совпадает со всем пространством); базис:а„ аг,аз, Ьг. Размерность пересечения равна 2; т базис: Ьг + Ъг, и Ь, — Ь. с координатными столбцами ~~ 2 2 0 3 ~~ ,т и ~~ 3 5 — 1 4 ~~ . 21.8. Размерность суъгмы равна 5; базис: Агвг, Агеы .4гог, Аго,г, Агап Размерность пересечения равна 2; базис: Агвг, Агъв. 21.9. Размерность сумлгы равна 3; базис: 1+ 21+ гг, 1 1 гг, 1 + 1+ 1г. Размерность пересечения равна 1; базис: 2+ 31 + тг + тг. 21.14.
2) Если ь", М, Л вЂ” одномерные пространства, натянутые на три компланарных, но не коллинеарных вектора, то Р ~ Я. 22.1. Ц (4 — 81); 2) ( — 2+31, 9+51); 3) — (4+г, — 18г, 1 — 101) .т 1 . . .т 1+ 5г — 6+1 , т 11+ 13 8 14 . 22.3. 1) ( — 1 — 81, — 3+ 61) 420 Огпеетм и цказан и 2) (2, — 101, 4 — 61) . 22.4. Ц свэ = ( — 1 + г)сзе', 2-'-91 — 3+ 41 2) сае = — сзе + сзе~ 3) с~аз = — 2сгз~ + с~ею 5 5 22.5. Ц Размерность равна 1; базис; сь. 2) Размерность равна 2: базис: см, сээ.
3) Размерность равна 1; базис: сее. 4) Размерность равна 1; базис: с~з4. 5) Размерность равна 2; базис: смю сэта. 6) Размерность равна 3; базис: сюе, сюю сгэе. 22.6. Ц (1+ 31); 2) (1+21, 2 — 1): 3) (1, 2); 4) (1+Ц -31); 5) (1, -г, 2) 6) (1-~-1, — 1, О, 2) . 22.7.
Ц Размерность равна О. 2) Разт мерность равна 1; базис: (1+ 31, — 2) . 3) Размерность равна 1; базис: (1, 1, Ц . 4) Размерность равна 2; базис: (1 — 1, — 1, 0) т т (2 + 1, О, — Цт. 5) Размерность равна 2; базис: ( — 1, ~, 1, 0) (1 + 1, 1, О, — Цт. 22.8. Ц (3 — 31)хг — 2хз = 0; 2) 0 = 0; 3) х~ — хт = О, х~ — хз = О, (1 — 1)х~ — хз = 0; 4) (13 — 41)х~ + + 37хз — (11 + 451)хз = 0: 5) (1 — 71)х~ + ( — 11 + 71)хз + 10хз = О, ( — 19 + 131)х~ + (9 — Зг)хэ + 10хз = О.
22.9. Ц ~~ 4+ 1 ~~; 1 -1 — 61 -29 — 181 ~ 1+ 61, 29+ 181 6= б(+ бз',3) — 2 — 1 3+101 — 1+51;б,=(2 -г)б',— 1+ 21 1 — 81 1 — 41 — (1 + 21)~э + (1 — 1)ьз, ьэ = — (2 + 1)~( + (3 + 101)~~ + ( — 1 + 51)ьэ, ез = (1+ 21)~', + (1 — 81)~~ + (1 — 41)~з. 22.10. Ц х = 1свб 2) о; 3 3, т 3) — (2--91)см = — (9+ 2г, 4 — 181) .
22.11. Ц Размерность суммы 5 5 равна 3 (сумма совпадает со всем пространством); базис: аы аю Ьь Размерность пересечения равна 1; базис; (О, 4, 3 — 1) . 2) Размер.т ность суммы равна 3 (сумма совпадает со всем пространством); базис: аы аю Ь|.
Размерность пересечения равна 1; базис: (9+ 101, 2 — 161, — 10 — Зг) . 3) 1'азмерность суммы равна 4 (сумма совпадает со всем лространством); базис: аы аю н~, Ьл. Размерность пересечения равна 2; базис: Ьм Ью 22.12. 2) Базис образуют векторы (1, 0), (1, 0), (О, Ц, (О, 1) . Вектор сзт имеет в этом базисе т .
т т .т координатный столбец ( — 3, 2, О, — Ц . 22.13. Ц Комплексное т пространство (и + Ц-мерно; базис: 1, 1, ..., 1". Вещественное пространство (2п + 2)-мерно; базис 1, 1, 1, 11, ..., 1", 11". 2) В т комплексном пространстве: (1 — 21, 3 + г, — 3) . В вещественном пространстве: (1, --2, 3, 1, — 3, 0)т. 23.1. Ц, 5), 9) — линейно; 2), 3), 4), 6), 7), 8), 10) нет. 23.2.
В любом базисе: Ц нулевая матрица; 2) единичная матрица Е; 3) скалярная матрица ЛЕ (Л вЂ” коэффициент гомотетии). Ц Не является; 2), 3) изоморфизм. 23.4. При М = Е. 23.5. Нет при (о) ~ М ф Е. 23.6. Ц Ортогональное проектирование на прямую Оглеетн и цказаи л 421 1 2 5 — 2 . Указание: исполь— 2 2 ооо; 1) и 2). 23.10. 1) — 1 1 0 [, 201 б ; 4) -)[1 2 — 1 — 1 3) — — 1 2 — 1 — 1 — 1 2 зовать разультаты задач 23.8, 2 3 0 — 6 — 9 3 1 2 3 — 4 2 3 0; 3) 8 12 — 4; 4) — 4 6 — 8 . Указание: 1-15 10 15-5 23-4 то же, что и в задаче 23.9.
23.11. Если исходный базис в бз ортонормированный, а базис в ь состоит из вектора а (в случае прямой) или пары векторов а, Ь (в случае плоскости), то: 23.9. 1) [ 0 1 0 [[, при а(0, 1, 0); 2) — [[ 1 1 1 [[ при а(1, 1, 1): 3) — при 1 1 1 0 — 1 3 0 1 — 1 а(2,. -1., -1), ь(-1, 2., -1); 4) - 3 3 о 2310 1) [ 2 О 1 1 842, [ — 110 г = 1а; 2) проектирование на подпространство г = 1а параллельно подпространству (г, и) = 0; 3) ортогональное проектирование на подпространство (г, и) = 0; 4) проектирование на подпространство (г, и) = 0 параллельно вектору а; 5) ортогональное отражение в подпространстве (г, и) = 0; 6) ортогональное отражение в прямой г = 1а.
23.7. Ц Произведение ортогонального проектирования на плоскость (х, а) = 0 и повороти на я/2 вокруг прямой х = 1а. 2) Произведение проектирования на плоскость (х,и,п) = О,поворота на угол я/2 вокруг прямой х = 1[п, т) и гомотетии с коэффициентом (х, и) [[и, ч)[. 23.8. 1) р(х) = х — ' и; ядро — прямая [г, и[ = 0; [п[~ множество значений — плоскость (г, и) = 0; гй|р = 2; 2) р(х) = а = (х, а); ядро — плоскость (г, а) = 0; множество значений— — [а[т (х, п) прямая [г, а] = 0; гб~р = 1; 3) у(х) = х -- а, ядро — прямая (а, и) [г, а) = О, ътножество значений плоскость (г, п) = 0; гб р = 2; (х, и) 4) ~р(х) = ' а; ядро плоскость (г, и) = 0: множество значений (а, и) — прямая [г, а] = 0; гй у = 1; 5) у(х) = х — 2 (х, п); 6) фх) = [п[2 ' =2(а, х) — хр7) р(х)=х — 2 ' а;8) р(х)=2 ' а — х; а (х, и) (х, и) [а[з (а, и) (а, и) 5) — 8) преобразования являются изоморфизмами; Кег р = (0); ооо 1шу — все пространство; г8 = 3.
23.9. 1) 0 1 0; 2) — 1 1 1 000 3 111 422 Ответи и цказан л при а(0, 1, 0), Ь(0, О, 1); 2) — 1 1 5 при а(1, 1, 0), Ь(0, О, 1); 1 2 3 0 5 1 — 1 5 3) ~2 3 — 1~ приа( — 3, 4, 5);4) ~~1/2 3,14 — 1~~ при а(1, 2, 3). — 1 0 0 1 — 1 4 8 1 ! 1 — 2 — 2 010; 2) — 4-7 4; 3) —, -2 0 0 1 8 4 — 1 ~ — 2 — 2 1 У к а з а н и е: использовать результаты задач 23.8, 5) и 6 . — 100 1 — 12 0 23.13. 1) — 4 1 0; 2) — 4 1 0 . Указание: использо- 401 22 — 3 сова ~эйно 0 вать результаты задач 23.8, 7) и 8). 23.14.
1) хэшо саво 0 0 0 1 1 0 0 2) 0 0 ~1; 3) Азвэ н Азве. 23.15. В 1) и 2) Кот|а = С", 0:1-1 0 1ш р = Е'. Если базис в С' образуют первые к базисных векторов базиса пространства ь, то: 1) ейа8 (1, ..., 1, О, ..., 0) (й единиц); 2) ~~ Еь О ~~~э (Еь — единичная матрица порядка й), 23.16. 41а8(1, ...., 1, — 1, ..., — 1); Эз — нзоморфизм (чвсло единиц равно размерности С). 23.17. Пусть е,, ..., е„— базис в А4, а векторы е„е„..., е„дополняют его до базиса в ь. Матрица отображения р в паре базисов (е„..., е„), (ем ..., е„) получается из матрицы преобразования р в базисе (ез, ..., е„) вычеркиванием строк с номерами г+ 1, ..., и.
23.22. 1) гбр = ббшС = 41шС, Кег х = (о); 2) В = А . 23.25. У к аз ание: выбрать базис в С, включающий базис надпространства (если оно ненулевое). 23.26. 1) — 2аз, аю 4ась Произведение растяжений с коэффициентами — 2, 1, 4 в направлении соответственно векторов ам аю аз. 2) Зам Заз, 2аз. Гомотетия с коэффициентом 3 в плоскости х = за~ + 1аз и растяжение с коэффициентом 2 в направлении вектора аз. 3) о, (5, О, — 5), (11, 5, — 1) .
4) ам 1аю — 1аз, Произведение растяжений комплексного арифметического прогэрангтва в направлении векторов ам аю аз с коэффициентами 1, г, — 1 соответственно. 5) — ам (1 + 1)аэ, (1 — 1)аз. Произведение растяжений комплексного арифметического пространства в направлении векторов аы аго аз с коэ~фициентами — 1, 1 + г, 1 — 1 соответственно. 23.27. 1) (О, 6, 18); 2) о: 3) ( — 8, — 11, 3, О, — 1З)т: 4) р(а~) = (2п — 1)ам р(аь) = — аь (к = 2,..., п). В ответах к задачам 23.28, 23.29 и 23.31 приведены координатные столбцы базисных векторов искомых педпространгтв.
23.28. 1) (12, — 5) и (5, 12)т; 2) (1, 1, -1)'. (3, О, 2)' и (1 1, -1)", 3) (1, -1, 1)' и 1 1 0)т (О 1 1)т, 4) (О 1 1 0)т (О 0 1 1)т и (1, 1, 3 3)т (1, -1, — 1, 1)т 5), б) Кег:р = 1о), 1ш р = ь", р — изоморфизм. Оп»веты и цкозан и 423 о о о~ О 1 ОО, 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0-1 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 — 1 0 0 1 1 0 0 О О-10~ 0 0 01~ О О 10~ О О 01~ 23.35. 23.36. 23.37 о о о~ 0 — 1 00~ х х 23.38.
Изоморфизм определяется равенством: 1) ~р(х) = хд х» 0 х» хд 2) д»(х) = — х, 0 хз 3) ~(х) = 'з ' 'д »др -хд -тз 0 х = (х», хд, хз) . 23.40. 1) Ядро многочлены нулевой стет пени; множество значений — многочлены степени не выше т — 1; а), б) Адд» (и = т + 1); в) Ае»з (и = т + 1). 2) Аздв (размсров т к (т + 1)). 23.41. 1) Ядро состоит из многочленов нулевой степени; множество значений — 7»; ранг и; А = Авда» 2) ядро (о); множество значений — й; ранг и + 1; А = »1»ай (1, 3, ..., 2п+ 1). 23.42. Ад»д (п=»и+1).
23.43. 1)»1»а6 О, ~ 1 О,, 0 у) 01 Оп (матрица порядка 2п + 1); 2)»4»ай (1, ..., и), »1»ай (1, 1»2,..., Цп). 23.44. 1) Ядро (0); множество значений — подпространство многочленов степени не выше н с нулевым свободным членом; ранг и; А = Аздь 2) М; преобразование инъективно, но не сюръективно. 23.29. Ц (О, 2, О, 1) , (О, — 3, 1, 0) и (О, 1, 0) , (1, О, — 2) ; 2)»»» инъсктивно, Кег»г = (о); (4, 3, — 1, 7), (5, 2, 3, 7), (9, 7, 2, 6); 3) (3, 1, 0), (2, О, -1) и (-2, 1, 7, -3); 4) (2, О, 1, — 1, 0), (О, 1, 2, О, 0), (О, О, 1, О, 1); <р сюръективно; 5) (О, 1, 1) и (-2, -2, -3, 4, 6), (2, 2, 2, 1, -5) ; 6) (1, 1, О, — 3, 6), ( — 2, О, 1, 5, 10)т; ~р сюръективно.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
