1610840681-c7c8a0f4cc2f319e4e81be4a1f4ed926 (824165), страница 83
Текст из файла (страница 83)
23.30. Здесь С, С», Сд, Сев любые действительные числа. 1) (О, О, 1»10, 1»»5) + С» (10, О, — 7, 6) +Се (О, 5, — 1, — 7); 2) (7»2, О, — 1/2, О, 0) + С» (19, 2, — 5, О, 0) + Сд (41, О, — 11, 2, 0) + Сз (1, О, — 2, О, 1); 3) (О, О, 1) + С (1, -2, -3); 4) (О, 1, О, 0) + С (2, 2, 1, -1) 23 31. 1) (1, 1, О, О, 0) , (О, 1, 2, О, 0), (2, О, 1, — 1, 0) , (О, О, 1, О, 1); 2) (1, 1, — 1, -1), (О., 2, 1, 0), (7, 23, О, — 11) ; 3) (О, 3, †1 ., О, О, 0) , (О, 1, О, †1 ., О, 0) , (О, 4, О, О, о~ О, — 1), (1,0,0,0,0,0), (0,0,0,0,1,0) . 2334.
о„ Ответы и указан и 23.45. 1), 3) Отображения инъективны, но не сюрьективны и не обратимы. 2) Обратное отображение — дифференпирование. 23.46. Четные многочлены. 23.47. 1) г11аб (А, А). Базис ядра !~30 03! 1 0 0 1 ц 1 О, О 1 ~; базис обРаза 2 0 ~ О 2, 2) Аззо. Базис ядра ~,'— 243 000 О О 0 2 4 3 зг сюръективно. 23.48.
1) Ядро состоит из матриц, у которых первые и — 1 столбцов нулевые; зг сюрьективно. 2) ~~ .Е 0„0 о ~~ матрица размеров пг(и — 1) х ти. 3) ог — умножение Е„ ~~ — матрипу размеров и х (и — 1). 23.49. Ядро о т натянуто на вектор (1, — 2, 1, — 2); множество значений веще- а Ь ственные матрицы вида г8 Зг = 3: А = Азов. 23.50. Азов. с а 23.51. 1) Ядро — многочлены вида аот", множество значений состоит из многочленов без у" (а„= 0); 2) ядро — многочлены вида а„у"', множество значений состоит из многочленов без а" (ао = 0); 3) при нечетном п преобразование является изоморфизмом, при и = 2т его ядро состоит из многочленов вида а,„в™у, множество значений — из многочленов, не содержащих члена т у . Матрицы 1) справа на ,'~010...
О (~002...0 ~оООО...и (~оооо... о 23.53. 1) П 0 0 ...00 и 0 ... 0 0 п0...000и — 2...00, 2) 0 и — 1... 00;3) 0 0 ... — и+2 0 0 0 ...10 0 0 ... 0-и~ ?о = дипел. 2) а) Пусть аы ...., а„образуют бази 000 ~~-3 1 О б) 0 2 1; 4) а) Аггз, б) ~/ 0 — 3 0 . 23.58. 1) а) А~,и, 002 0 0 2 б) Азог; в) А17г; г) Азов) д) Азов., е) Азго. 2) Во всех задачах: матрица В. У к а з а н и е: использовать 2 — 2+ За 2а 23.59.
1) Ь Ь, 3) 2 — 3+ ЗЬ 2а — 3 4+Зс 2с езультат задачи 23.54. (а, Ь, с произвольные числа). 2), 4) не существует. 23.60. 1) Зг сюръективно; йщКегог = 1; Зг(а) = (4, — 1): 2) зг инъективно; таЗг = 2; Зг(а) = (11, 10, — 6); ри с в линейной оболочке векторов аы ..., аы Тогда а,, зы ..., аь должны быть такими же линейными комбинациями векторов аы ..., аг, как Ьг+„..., Ьо — векторов Ь,, ..., Ь.„.
Условие 1) и г = йщ с.. 23.54. 1) ВА '; 2) В; 3) Е. 23.55. 1) ВА 2), 3) А В. 23.56 1) Апб 2) АзБ 3) Азг'4) Аом 23.57. 1) а) Агог, — 1 — 12,' б) 63аб (1, 2, 2); 2) а) Агзо., б) йа8 (О, 1, 1); 3) а) — 5 — 1 2 ~; — 7 — 3 6 Оглееты и указап л 425 3) у сюръективно: йюКегд = 2; 2) у(а) = ( — 4, .— 6, 0); 4) р не единственно, ранг может равняться двум или трем, размерность ядра 1 или О соответственно.
Во втором случае д ияьективно. У(а) = ( — 10, -10, -13, 10, 28) . 23.61. 1) (1+ г)Е; 2) Аагб 2 1 1 2 0 ~ 3) "4се ~ 4) Азез 23 62 1) ~ !0 2 ., 2) ~/ — 1 0 405 10 0 4) 12 7 , 5) 0 0 0 ; 6) 0 2 0 504 00 — 2 1 0 0 — 9 ; 3) — 1 1 0 — 1 0 0 7) 3 — 3 2 8) --2 5 --3 ~~; 9) А4ег, 10) А4еа. 23.63.
— 3 5-3~ о 2) ~ ~1 1, 3) 63а8( — 1, 1+ г, 1 — 1); 4) 61а8(1 )' б) и 8( О ' ~' Π— ' (. 23.64. 1 1 — 1 1 — 5 3 — 1 1; 4) 5 — 3 3 1+1 е 1 — 1 1 , ыз, ы); 5) бйа8(2, 2, 36 — 25 — 3 < 23 — 16 — 2 ~' — 3 — 15 9! 1 5 5 ~ 5 25 -31 ~' 1 5 1 -42 -18 -20 48 2) 15 7 7 17 3) > 4 — 2 : 3) ! 4 1 . Указание; базисе из направляющих 23.65.
1) 2 5, 2) сначала записать матрицу в 1 — 1 1 Ое векторов данных прямых. 23.66. 1) — — 3 3 0 2 3 4 0 0 0 2 1 1+ъУЗ вЂ” 1+ъУЗ 4 3 3;3) — 1 1 2;4) — 1 — ч'3 1 — 1 — ~/3 и — 2 — 21 — 103 — 1 — хУзх/3 — 1 1 2) 1 1 — чгЗ вЂ” 1 — ч'3 1+ з 1 -1+Я;5) -1+Л -1 — чЗ У к а з а н и е: сначала записагь ма 00 — 1 1 2 — 21)~ — 10 0 и — 1 22<.
01 0 — 2 — 12)~ грину преобразования в базис~, составленном нз базисов данных подпространств. 23.67. 1) Аааз, 2) А4аеб 3) Ае1з (и = т + 1); 4) Аааа (и = т); 5) Авве (и = тп). О А П 23.68. 1) Та же матрица, что и в ответе к 23.43, 1); 2) — 1 — 1...— 1 1 — 1...— 1 02...— 1 0 — 1 1 ... 1 0 0 — 2 ... 1 3) Аею где А= В = 000...— и 0 0 ... п 23.69. 1) Поменяются местами 1-й и Оий столбцы; 2) поменяются Ответи и цказаи и местами й-я и 1-я строки; 3) 1-й столбец умножится на Л, укя строка разделится на 86 4) к 1-му столбцу прибавляется у-й, к 1-й строке прибавляется й-я. 23.70. 1) Поменяются местами две строки и два столбца с номерами 1 и у; 2) 1-я строка умножится на Л, 1-й столбец разделится на Л; 3) к 1-му столбцу прибавится у-й, из укй строки вычтется 1-я; 4) произойдут аналогичные перестановки столбцов и строк матрицы; 5) матрица заменится на центрально симъ1етричную исходной.
У к а з а н и е: при решении задач 23.69 — 23.71 можно использовать формулы (3), (4) из введения к 3 23 и задачи 15.27 — 15.30. 23.73. гб у. У к а з а н и е: использовать задачу 23.72 или 23.71 и метод Гаусса. 23.74. 1) ббай (1. 0) в базисах (1, 0), ( — 1, 1) и (1, 1), (О, 1): 2) Е в базисах (1, 0), (О, 1) и (1, 3) ., (3, 10); 3) сйаб(1, 1, 0) в базисах (1, О, 0), (О, 1, 0); (1, 1, — 1) и (О, — 1, — 1), (1, О, 1), (О, О, 1);4) бйа8(1,0,0) в базисах (1, О, 0), (1, 1, 0), (1, — 1, — 1) и (У, — 1, 2), (О, 1, 0), (О, О, 1); 5) Аьго в базисах: (1, О, О, О, 0), (О, 1, О, О, 0), (О, 1, 2, О, 0), (2, О, 1, -1, 0), (О, О, 1, О, 1) (1, 1), (2, — 2) ; 6) Аме в базисах: (1, О, 0), (О, 1, 0), (О, 1, Ц и (-2, -2, -3, 4, 6), (-2, -2, -2, -1, 5), (О, 1, О, О, 0), (О, О, О, 1, 0), (О, О, О., О, 1) .
23.77. ЛЕ, где Л вЂ” произвольное число. 23.78. 1) рр существует при и = й, ~6у существует при т = й 23.79. Пусть р: У7.ь — у Ец ф Л.„— ~ Е„„Х: Е,, — у Еи 1) и. = 1, т = й; 2) в = и, 1 = т, = й; 3) 1 = й = и, 1 = т; 4) й = и, 1 = т. 23.80. Еслибы: Š— уГиМ=~р(Е), то р=кр, где ~р: Š— уМ и — 1 4 — 2 1: М вЂ” > Š— естественное вложение. 23.82. 1) 2 — 1 — 1 — 1 0 1 — 3 8 — 5 ~ 2 8 — 5 2) 0 5 — 4 '; 3) 4 5 — 4 . Указание: пусть А, В, С— — 25 — 3 313 — 8 матрицы, составленные из координатных столбцов векторов а„ Ь„с, (1 = 1, 2, 3), Х, 1' — матрицы преобразований ~р и в данном базисе. Тогда ХА = В, 1'В = С, УХА = 1 В = С, т.е. матрица х преобразования фу удовлетворяет матричному уравнению ЯА = С. В базисе аы аз, аз.
Г = А ЯА = А 1С, АТ = С. В базисе Ьм Ьз, Ьз. Яа = В 'хВ. 23.83. 1), 2) 0; 25 — 10 -6 0 18! 40 — 15,4) — 5 — 6 ,'5) 0 1 ~.Указание:~Р— уу=5ь О Е 23.85. 1) Матрица порядка и + 1;, где Š— единичная матрица порядка и — й + 1 при й < и, 0 при й > и; 2) матрица 0 — 1 порядка 2и, + 1: ( — 1)' бйаб (О, В, 2ьВ, ..., иьВ), где В = Опсветы и указаэсия 427 пРи 1 = 2з -- 1, В = пРи 1г = 2з (1 = 1, 2,..., з = ((1 + Цсс2)). 1 0 23.86.
Ц (тР) (аз+ ас1+... + апГ) = ас1+ 2аг10 + ... + тса 1ч; 2) (Рт) (во+ а,1+... +а„1") = ао + 2ас1 + ... + (и + Ца„й'; 3) ,'Р, т) = г; 4) у к а з а н и е: доказывать по индукции на основе результата задачи 3). 23.91. Ср. 15.59. 23.100. 2) Пус гь отображение г, имеет в некоторой паре базисов матрицу Е,, (матричную единицу). Базис в Е (Р, Д) состоит из всех отображений е,", йпп ИР., Я) = тп. 23.101. Ц, 2), 4), 5) — нет; 3), 6) — да.
23.103. Ц, 2), 3), 5) при Н ~ 1 нет; 4), 6) — да. 23.104. У к а з а н и е: если грани отражателя совместить с координатными плоскостями, то направляющий вектор луча подвергнется последовательным отражениям с матрицами 41аб (1, 1, — Ц, 41ай(1, — 1, Ц, Йай( — 1, 1, Ц, В отпветах к задачам на отыскание собсспвен~ых значений и собственных векторов для каждого собственного значения Л указывается либо множество Х соотпветсгпвуюших собглпвенных оетпоров, либо базис собстпве~пого подпрострапспсва, а в случае диагопализируемого преобразования — диагональный вид матрицы преобразования и собственный базис или матрица из координатных столбоов векторов .этого базиса, 24.1.
У к аз а н не; рассматриваемое множество содержится в собственном подпро- А В странстве. 24.3. и — г. 24.4. 1 О, где А = 41аб(Лс, ..., Ль), а Лы ..., Ль — собственные значения. 24.13. У к а за н не; многочлен нечетной степени с вещественными коэффициентами имеет хотя бы один вещественный корень. 24.14. 2) Пусть с1е1(А — ЛЕ) = (Л1 — Л)...
(˄— Л); тогда ая = 2 Л„... Л;,„, где Оь...,ц) (1с, ..., гг) пробегает упорядоченные 1-элементные подмножества множества (1, 2, ..., п) (й = 1, ..., и,); 1г А = Лэ + ... + Л„; сает А = Лс ... Л„. 24.15. Бсе нулевые векторы. 24.16. Собственное значение Л (кратности и), собственные векторы оес о ф О. 24.17. Лы..., Л„. 24.18. Искомый базисе = (еы..., е„), где (еы ..,, сь) базис в ь', (сгэс, ..., с„) базис в х.з.
Ц йсай (Ег, О); 2) йай(Еь, — Е„ь) в базисе е. 24.19. Ц Л = 1, х+2У = 0; Л = — 1, х+Зу=О; йай( — 1,Ц в базисе ( — 2, Цт ( — 3, Цт 2) Л=1, х+у=О;Л=0,4х+5у=О;йай(1, 0) вбазнсе (1, — Ц, ( — 5, 4) . 3) Л = 1, Зх — 2у = 0: Л = 2, х — у = 0; сйаб (1, 2) в базисе (2, 3), (1, Ц . 24.20. ЦЛ=1,прямаях=с=О;Л=О,плоскостьу=О; 41ай (О, 1, 0) в данном базисе. 2) Л = 1, прямая х = у = г = 0; Л = О, плоскость х+ у -~ г = 0; йсай(1, О, 0) в базисе (1, 1, Ц, (1, — 1, 0), (1, О, — Ц .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
