1610840681-c7c8a0f4cc2f319e4e81be4a1f4ed926 (824165), страница 87
Текст из файла (страница 87)
25.51. Да. Рассмотрим ортонормированный базис е и вектор, имеющий в этом базисе компоненты, равные элементам строки. Дополним этот вектор до ортонормированного базиса е'. Если Я вЂ” матрица перехода от е к е', то Ят — искомая 1~0 матрица.
25.52. Произведение матрицы 0-~ —, где Я вЂ” произвольная ортогональная матрица третьего порядка, на одну из твких матриц, например, Аггз. 25.53. Ц Нет. 25.54. Диагональные матрицы с элементами +1 или — 1 на диагонали. 25.55. Остальные элементы строк и столбцов, пересекающих подматрицу, равны нулю. 25.56.
~~чги. 25.57. У к а з а н и е: если А — - ортогональная 1 А~ — А матрица, то матрица — — ~~ — А — также ортогональная. Проъ72 Г верьте это. 25.58. 2) Необходимо и достаточно, чтобы линейные оболочки обеих систем совпадали. У к а з а н и е: воспользуй- Ошееты и цкозан л 440 3 — 15 91" 3 — 6 — 3 2 — 1 3 2 — 3~~~ 291 — 4з' //Π— 2 1/!;2)а) ~ .1 ~;б)//3 1 2!);3)а) б) //8 1 0 — 9!/, !/ — 7 0 1 12/!; 4) а) б) // — 3 1 — 3 0 !/, /! 1 цы векторов базиса в 0 2 1 (~ . 26.14. Координатные столбт Е-~ составляют матрицу Ц (( 3 2 1 ! 1 3 — 12 ~~1 — 5 — 611 2 — 1 3 5 ' ~!5 1 — 4 3 2 1 — 1 — 1 1 ~ О 1 1 4 т 1 — 1 1 1 — 2,,; 7) 1 — 5 0 0 3 ;т 3) 'т 1 — 5 1 — 1 1 1 2) 123 1 321 1 231 — 1 6) 5) ;т ,'2 — 3 5 7~ 2 — 3 — 11 — 15 26.15. Система уравнений имеет матрицу: 3 — 2100 ;3) 4 — 3010 О 2 31' 3 4001 1 — 6 — 7 0 0 — 2 — 3 1 .4) Ат, Ц 1 4 — 5)~ 0 1 — 2)!' а) !) — 321);б) т 5) а) А~ье' б) Ат 26 16 Ц б) ~~0 — 1 020 б )211 — 1 — 202 ' ))010 )а) О,б) ~~ 2 ~1 — 1 0 Ца)!о -83 2 ..;3) )~ 2) а) 4) а) б) ))3 3 8)); 2) а) ((5 2 О/); б) тесь результатом задачи 25.55.
26.3. Ц Е; 5) 1о). 26.6. Нет. 26.7. Ц~ — — — — .2)т /) — 1010)~ .3)т — 1 2 1 2 ', 1 т 2 3 3 3 тГ2 ' 3 1 т 4) т= ~~ — 15 7 3 ~~ . 26.8. Ц Координатные столбцы векторов базиса в С~. — базисные столбцы матрицы Ат. 2) г тц = о, где Р— фундаментальная матрица системы Аб = о. 26.9. Ц Координатные столбцы векторов базиса в Š— фундаментальная система решений системы Атц = о. 2) Атц = о.
26.11. Ц Координаты векторов базиса в Š— базисные столбцы матрицы Г' ~Ат, иначе — фундаментальная система решений системы из и. 2. 2) гтГО = о, где Š— фундаментальная матрица системы А5 = о. 26.12. Ц Координатные столбцы векторов базиса в Е составляют матрицу Г" ~г, где г — фундаментальная матрица системы Атб = о, иначе — фундаментальная система решений системыизп.2.2) А ГО=о. 26.13. Ца) ~~3 1 2~;б) ~1 — 3 0~ Огоееты и цказан и 110 )'01 1 — 1 ~ 0101 б); 4) а) 1 ~; б) ~ .
26.18. 1) Пространство скалярных матриц. 2) Пространство нижних треугольных матриц с нулями на диагонали. 26.19. 11одпространство многочленов нечетной степени. 26.22. 1) о, т; 2) 26 23»~ А(АтА) — ъАт» «и (Е А(АтА — ъ 1т» 26.24. »' = (Š— Ат(ААт) 'А)», »" = Ат(ААт) ~А» 26 25» А(АтГА) — гАтГ«»«(Е А(АтГА) — ~АтГ)» 26.26. «'=(Š— Г 'Ат(АГ 'Ат)' 'А)», »"=Г 'А (АГ 'А ) 'А». 26.27. 1)»'=))2 1 1((,»л=)~1 — 1 — 1((;2)»'=(( — 3 2 — 2! = ))4 1 -5 ); 3)» = ()4 2 2 4!)', »" = )(1 1 5 -4( 4)»'=( 1 — 2 3 — 1~(, »л=~)1 1 Π— 1~~;5)»'= ~5 О 3 4( »" = ( 1 О 1 -2 ~~; 6)»' = ,'! 3 3 — 2 1 ~(, »в = ~~ -1 1 1 2 ( 7)»'=))5 3 — 3 — 5((, »"=()1 1 1 1((;8)»'=), :— 6 3 2 — 1) )( — 1 — 2 1 2(); 9)»' = — — аы»л = » — »'; 10) 79 1 1 1 6 ! = — — а~+ — аз, » = » — »; 11)» = — — аы» 10 11 5 26.28. 1)»' = )! — 1 0 1 (), »" = ,'! 2 2 2 (); 2)»' = (( 4 4 4 () »~~= )Π— 2 2((: 3)» =)(2 1 0 — 1 — 2((, » =((3 3 3 3 3( 4)»'= )3 1 — 1 2)),»л=((4 — б 10 2));5)»'=)( — 3 3 1 1( »в=)(1 1 1 — 1(;б)»'=)(2 — 6 4 — 2)(, »в=)(6 1 — 1 1( 26.29.
1) )) — 3 — 2 — 1 ((; 2) () 4 6 2 )); 3) !! — 1 — 2 — 3 — 4 — 5 ( 4) ~~ — 17 — ПО~~; 5) ~~ — 4202~~; 6) ~~ — 4 — 75 — 3( 26.30. 1) 15г" + 1+ 1; 2) — 151' — 81+ 4. 26.31. 1) 8ДЗз . 5); 21+ 1 2) 8/(5~ 7). 26.34. 7~ (1) = ') а,РЯ, где а, = ) 7 ЯР,Я Н».
26.39. У к а з а н и с: выразим ~е', ~е с помощью ортонормированного базиса ам...,аь в подпространстве ь' и получим ~ ~е';~ =~ ~ (а,е,) . т=1 ~=1~=! 26.41. У к а з а н и е: воспользоваться приведенным решением задачи 26.40. 26.42. 1) ~~ 1 3 — 2 ~~, ~~ 1 1 2 ~ 2) ))2 1 0 — 1)), )(1 5 2 7!); 3) ))1 3 1((, )2 — 1 1( )) 4 1 -7 )); 4) () 2 1 2 )(', () 1 О -1 )), )( -1 4 -1 ( 5) ))1 2 3((, (/3 0 — 1((, ))1 — 5 3/); 6) )1 2 1 2( )) 3 --2 3 -1/), ) 2 7 0 -8 /); 7) )( 1 --1 --1 1 ~!', ) 1 1 1 1 ( )) 1 2 — 2 — 1 /), )! 2 — 1 1 — 2 /) . 26.43.
Столбцы матрицы 1З-- координатные столбцы искомых векторов, Я вЂ” матрица перехода: Ответы и указания 442 1 2 3 1 Лб Ло 1 3 Лб Тб 1 1 Л Л," — — — е; 3) я ,3 6 ~~' 0 6 ~. Ло ЗЛО 1 0 ЗЛО 2) О = Азао, 1 ъ2 1 1 1 ЯО 2и'2 2 Я О 1 Тб 1 — 1 2 0 1 2 2 — 4 — 1 2 5) Я = А 445, 1 — — 1 2 0 1 2 0 0 0 0 1 1 ~/ГО 2 1 0 2 0— 1 2 у'ГО 1 0 2 1 1 2 2~/1б 1 0 Тб О -ЗйЗ ъ~6 0 1 у'30 02 6 3 — 2и'6 0 0 ЪГЗ 0 0 0 0 4 и 21 2 ъ'21 1 ъ'2 11 0 1 — у 6 — уеЗ О 6 -уЗ О О '3 1 ЗО 7) ъ~15 ! 2 (~ ъ~Г5 3 у'Г5 1 2 1 у 21 и'5 и'106 О 1 2 ъ'5 уТ06 0 0 Л06 8) 1 4) Я = — А4вв, Я 2 1 1 2~/2 2ъ~ГО 2 Л Л06 2 1 ие5 иТ06 0 10 иТ06 0 ,'ТОа 2 1 ъ 5 и70 1 2 Л ъ70 0— 8 lй 1 0 и 70 Ответы и цказан л 1 2 1 ъ~Г5 ъ~5 ч'70 1 1 ч'5 г'700 1 о о 1 Ц вЂ” ~~ 1 3 ~~', — ~( 7 -4 ( 26.44.
— 2 О~~, — ~~1 — 2 3~~, — ~ — 5 4 О( ъ~Г4 у'Г2 ч'42 4) — ((1 1 1((, — ((2 0 — 1((, — (( — 5 7 — 8( 1 т 1 т ъ'6 ,/Г4 гг 84 4) — (( — 3 2 1~(, — ))1 — 1 1)), )! — 19 8 3)(. ъ~2 ЛТ ~г22 26.45. 2) У к а з а н и е: если Я~Л1 = Я~В~, то матрица Р = Я~а Щ = ЛзЛ, и ортогональная и треугольная. -1 — 1 26.46. Ц Я = Аем Л =; 2) 0 4ч'2 ' ~/Го ! 1 — 3 чг2 чг2 0 О 3 — 1Г 3 0 0 у'2/~ 3 Л=ъгГО о 3,3) Я=Азов, Л= 1 2 ; 4) С7 = Аз1а, 2400 0240 0024 0002 Ло г'Го г'10 0 2г'2 чу о о гГО 1 о) ч) = — А4оа, Л = 2 ; 6) 1) = Аоов, Ло Ло Ло Ло 0 2 2 1 0 0 2 1 о о о Тб~ 1/~ 2 — 5/ч'2 ~ 0 чг2 2004~ 0 2 2 0~, 0020~!' 0002~,' (10 О-1 2 — 3(, 1 ~01 — 1 0 01~')20010 ~оо о у к а з а н и е: составить систему уравнений 1 2) 2 для элементов искомой треугольной матрицы (сы.
задачу 26.47). 26.50. 1) 1; 2),32; 3) 21; 4) 8,/Г1; 5) 2; 6),'555; 7) 1. 26.51. 1),УГ4; 2) г'107; 3) 4чТЙ. 26.53. 1) У к а з а н и е: воспользоваться результатом задачи 26.52. 2) Либо 2 а; аеь = 0 при у' ~ 1, 7=1 либо один из столбцов матрицы нулевой. 3) 4 ( 200.
Угол т т о между векторами )~ 1 3 (~ и (~ 2 4 )~ при стандартном скалярном произведении в кз мал: соэ о = 14/10~2 - 0.98995. 26.54. 1) У к а з а н и е: перейти к базису ео, ..., еы е'„', ..., е'„' и использовать результат задачи 14.39. 2) У к а з а н и е: если Опзееты и цкааан л 5000 4000 1000 3000 26 66 (9 151гУ8 2) со = 1, (г, у = 1, ..., и); 3) 26.67. Будет произведена та же перестановка базисных векторов. 26.68. Ц ( 1/2 0 (), )) 0 1(З !,'; 2) (( — 1/3 2/3 ((, (( 2/3 — 1/3 ( 3) )) — 5 3,'(, )2 — 1!); 4) )(О 0 1(), )~0 1 — 1)), )(1 — 1 0)(. 26.69.
Ц )) — 12 7 ((, )! 7 — 4 ((; 2) () 13/2 — 2 (), )) 7/2 — 1 ( 3) )( 5/4 — 3/2 3/4 )~, () — 3/4 3/2 — 5/4 )), )! 1/4 — 1/2 3/4 ( 4) )~ 1 О О ',!', () 3 3 1 )~,', ~( — 3 -1 О )! . 26.70. (9 — 151з) 18, 3112, ( — 15+ 451з)/8. 26.73. Матрица Грача базиса е*. У к а за н и е: использовать задачу 26.72. 26.74. Г,оГ ~. У к а з а н и е: использовать задачу 26.73. 27.1. Ц Нет; 2) да; 3) нет; 4) нет.
27.2. 3) Нет. 27.9. 11е (т, 9) = О. 27.10. Ц 0; 2) 2; 3) 101; 4) — 1; 5) 6з; 6) 32 — 191; 7) 4+ 2ю'. 27.11. Ц т'2; 2) ч2; 3) т'ГОО; 4) АЗ; 5) ту8; 6) ту33; 7) Я1. 27.12. Ц вЂ” Зг; 2) 1+ 71; 3) 58 — 161; 4) 6+ Зг; 5) 2+ 131; 6) 4 — 21; 7) 91; 8) 16+ 41. 27.13. Ц ъ~6; 2) ~IГ1; 3) тУ29; 4) ъ~5; 5) ъ~15; 6) тГ6; 7) Л44; 8) хУГ4. 27.16. Эрмитовы Азе Азг, .4юз, Азгт, Аиз.
Из них Апи и Азгт не могут служить матрицами Грама. 27.18. ЦДа; при о < 0 — нет; 2)да; да; 3) нет; 4) да; да. 27.21. Аюз. 27.23. Диагональные матрицы, с числами, по модулю равными 1, на диагонали. 27.24. Ц Нет; 2) да: 3) да. У к а з а н и е: любой единичный вектор можно дог полнить до ортонормированного базиса. 27.26. Ц ~~ 1 --г ~ 2) ((1 — 1 1+1!,', !)1 2-1 — 1)); 3) )!1--1 2 0)~, ))О 1 1( а",, ..., а„" — ортогональные составляющие соответствующих векторов, то Г(ам ..., а, ) = Г(а~, ..., а„') + Г(а~', ..., а"). Можно считать, что а", ..., а'„' линейно независимы, иначе результат очевиден.
Пусть о' — матрица перехода от а", ..., а" к тому базису, в котором квадратичная форма с матрицей Г(а~', ..., а„") имеет каноническвй вид. Умножим обе части равенства справа на Я, а слева на от и воспользуемся результатом задачи 32.20. Ц. 26.58. Ц х/3; 2) х/6; 3) х/3.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
