L-5-Autmn2017 (824139), страница 2
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ãáâì A, B ⊂ V | ¥ª®â®àë¥ ª®¥çë¥ ¬®¦¥á⢠¨§ ¢. ¯.Vâ ª¨¥, çâ® A ⊂ B . ®ª § âì, çâ® L(A) ⊆ L(B ).¥à¥á¥ç¥¨¥ ¨ á㬬 ¯®¤¯à®áâà á⢯।¥«¥¨¥ 5.8. ãáâì V1 , V2 | ¢¥ªâ®àë¥ ¯®¤¯à®áâà á⢠¢¥ªâ®à®£® ¯à®-áâà á⢠V . ®£¤ V1 ∩ V2V1 + V2= {a ∈ V= {u ∈ V| a ∈ V1 ,a ∈ V2 }(¯¥à¥á¥ç¥¨¥ ¯®¤¯à®áâà áâ¢),| u = a + b,a ∈ V1 ,b ∈ V2 }(á㬬 ¯®¤¯à®áâà áâ¢).¯à ¦¥¨¥ 5.4.
®ª § âì, çâ® V1 ∩V2 , V1 + V2 | ¢¥ªâ®àë¥ ¯®¤¯à®áâà á⢠¢¥ªâ®à®£® ¯à®áâà á⢠V .¥®à¥¬ 5.4 (® à §¬¥à®á⨠áã¬¬ë ¢¥ªâ®àëå ¯®¤¯à®áâà áâ¢). ãáâìX, Y| ¢¥ªâ®àë¥ ¯®¤¯à®áâà á⢠¢¥ªâ®à®£® ¯à®áâà á⢠V . ®£¤ dim(X + Y ) = dim X + dim Y− dim(X ∩ Y ).®ª § ⥫ìá⢮. ãáâì {a1 , . . .
, ak } | ¡ §¨á X ∩Y , {a1 , . . . , ak , bk+1 , . . . , bl } | ¡ §¨áX , {a1 , . . . , ak , ck+1 , . . . , cm } | ¡ §¨á Y . ®£¤ ¤«ï «î¡®£® u ∈ X + Y ¢ë¯®«ï¥âáïu=k³Xi=1λi a i +lXi=k+1´λi b i+k³Xi=1µi ai +=mXi=k+1kXi=1´µi ci(λi + µi )ai +lXi=k+1λi bi +mXi=k+1µi ci ,®âªã¤ ¢ë⥪ ¥â, çâ® á¨á⥬ ¢¥ªâ®à®¢ {a1 , . . . , ak , bk+1 , . . . , bl , ck+1 , . .
. , cm } ¯®« ¢ X + Y ; ¤®ª ¦¥¬ ¥¥ «¨¥©ãî ¥§ ¢¨á¨¬®áâì. ¬¥â¨¬, çâ® ¡®àë ¢¥ªâ®à®¢{a1 , . . . , ak }, {bk+1 , . . . , bl } «¨¥©® ¥§ ¢¨á¨¬ë ¤à㣠®â ¤à㣠; ¡®àë {a1 , . . . , ak },{ck+1 , . . . , cm } «¨¥©® ¥§ ¢¨á¨¬ë ¤à㣠®â ¤à㣠. ।¯®«®¦¨¬, ç⮠諨á좥ªâ®àë a ∈ L({a1 , . . . , ak }), b ∈ L({bk+1 , . .
. , bl }), c ∈ L({ck+1 , . . . , cm }) â ª¨¥, çâ®a + b + c = 0 ⇒ a + b = −c = d ⇒ d ∈ (X ∩ Y ) ⇒ d ∈ L({a1 , . . . , ak }),® d = −c ∈ L({ck+1 , . . . , cm }), á«¥¤®¢ â¥«ì® d = 0, ®âªã¤ , ¢ ᨫ㠫¨¥©®©¥§ ¢¨á¨¬®á⨠¢¥ªâ®à®¢ {a1 , . . . , ak , ck+1 , . . . , cm }, ¯®«ãç ¥¬, çâ® a = b = 0. ®£¤ dim(X + Y ) = k + l − k + m − k = l + m − k = dim X + dim Y− dim(X ∩ Y ).¥7àï¬ ï á㬬 ¯®¤¯à®áâà á⢯।¥«¥¨¥ 5.9. ãáâì ¯®¤¯à®áâà á⢠X, Y ¢¥ªâ®à®£® ¯à®áâà á⢠V â -ª®¢ë, çâ® X ∩ Y = 0.
®£¤ á㬬ã X + Y ®¡®§ ç îâ X ⊕ Y ¨ §ë¢ îâ ¯àאַ©á㬬®© ¯®¤¯à®áâà á⢠X, Y .¥®à¥¬ 5.5 (® ¯ à ««¥«ì®¬ ¯à®¥ªâ¨à®¢ ¨¨). ãáâì ¢.¯.â ª®¢®, çâ®= PrY (v) ∈ Y â ª,V= X ⊕ Y . ®£¤ ¤«ï «î¡®£® v ∈ V ∃!vX = PrX (v) ∈ X ∃!vYçâ® v = vX + vY . ਠí⮬(1) PrX (λu + µv) = λPrX (u) + µPrX (v), PrY (λu + µv) = λPrY (u) + µPrY (v)(«¨¥©®áâì ¯à®¥ªæ¨©);(2) u ∈ X ⇔ PrX (u) = u ⇔ PrY (u) = 0, u ∈ Y ⇔ PrX (u) = 0 ⇔ PrY (u) = u.V®ª § ⥫ìá⢮.
ãáâì v ∈ X ⊕ Y . ®£¤ v = x + y, x ∈ X , y ∈ Y . ।¯®«®¦¨¬,çâ® ©¤ãâáï ®â«¨çë¥ ®â x, y ¢¥ªâ®àë x0 ∈ X , y0 ∈ Y â ª¨¥, çâ® v = x0 + y0 .®£¤ x + y = x0 + y0 ⇔ x − x0 = y0 − y, ® X ∩ Y = 0, § ç¨â x − x0 = y0 − y =0 ⇔ x = x0 , y = y0 . ª¨¬ ®¡à §®¬, ¬¨ ãáâ ®¢«¥ ¥¤¨á⢥®áâì à §«®¦¥¨ïv = x + y , £¤¥ x ∈ X , y ∈ Y . ãªâë (1), (2) ïîâáï á«¥¤á⢨¥¬ ¥¤¨á⢥®áâ¨à §«®¦¥¨ï. ஢¥à¨¬, ¯à¨¬¥à, (1).
¬¥¥¬ λu + µv = λ(uX + uY )+ µ(vX + vY ) =(λuX + µvX )+(λuY + µvY ), ®âªã¤ PrX (λu + µv) = (λuX + µvX ) = λPrX (u)+ µPrX (v)(«¨¥©®áâì ¯à®¥ªæ¨¨ PrY ãáâ ¢«¨¢ ¥âáï «®£¨ç®). ¥.