L-1-Autmn2017 (824131), страница 2
Текст из файла (страница 2)
10 «ï «î¡®£® ¢¥ªâ®à −M N ¨ «î¡®© â®çª¨ M1 , ¯à¨ ¤«¥¦ é¨å−−→ −−−→®á¨ p, ©¤¥âáï ¥¤¨á⢥ ï â®çª N1 â ª ï, çâ® M N = M1 N1 ⊂ p;20 ®â®è¥¨¥ à ¢¥á⢠¢¥ªâ®à®¢ ®á¨ p ï¥âáï ®â®è¥¨¥¬ íª¢¨¢ «¥â®áâ¨, â. ¥.−−→ −−→{ M N = M N (⮦¤¥á⢮),−−→ −−−→−−−→ −−→{ M N = M1 N1 ⇒ M1 N1 = M N (ᨬ¬¥âà¨ï),−−→ −−−→ −−−→ −−−→−−→ −−−→{ M N = M1 N1 , M1 N1 = M2 N2 ⇒ M N = M2 N2 (âà §¨â¨¢®áâì).5¯à¥¤¥«¥¨¥ 1.3. ®¢®ªã¯®áâì ¢á¥å à ¢ëå ¬¥¦¤ã ᮡ®© ¯à ¢«¥ëå ®â१−→−→ª®¢ AB = CD = ... = a ¡ã¤¥¬ §ë¢ âì ᢮¡®¤ë¬ ¢¥ªâ®à®¬ a ¨«¨ ¯à®áâ® ¢¥ªâ®−→஬ a. «ï ¥ª®â®à®£® ¢¥ªâ®à a à ¢¥á⢮ a = AB ®¡®§ ç ¥â, çâ® ¯à ¢«¥ë©−→®â१®ª (¢¥ªâ®à) AB ï¥âáï ¯à¥¤áâ ¢¨â¥«¥¬ ᢮¡®¤®£® ¢¥ªâ®à (¢¥ªâ®à ) a á ç «®¬ ¢ â®çª¥ A.®« £ ¥¬, çâ® «£¥¡à ¨ç¥áª®¥ § 票¥ ¢¥ªâ®à®¢ 㤮¢«¥â¢®àï¥â á«¥¤ãî饩 ªá¨®¬¥. («¥¬¬ «ï). «ï «î¡ëå â®ç¥ª A, B, C ∈ p ¢ë¯®«ï¥âáï−→−→−→(AB )e + (BC )e = (AC )e .®£¤ áä®à¬ã«¨à㥬 á«¥¤ãî饥¯à¥¤¥«¥¨¥ 1.4 (¯à ¢¨«® á«®¦¥¨ï ¢¥ªâ®à®¢).
ãáâì−→−→−−−→−−−→−−−→−→®£¤ a + b = AB + CD = A1 B1 + B1 D1 = A1 D1 , £¤¥ (AB )e =−−−→(B1 D1 )e .−→−→AB , b = CD.−−−→−→(A1 B1 )e , (CD)e =a=ç¨âë¢ ï ⥠ªá¨®¬ë, ª®â®àë¬ ã¤®¢«¥â¢®àï¥â «£¥¡à ¨ç¥áª®¥ § 票¥ ¢¥ªâ®à ,¥á«®¦® ¢¨¤¥âì, çâ® ®¯à¥¤¥«¥¨© 1.4 ¥ § ¢¨á¨â ®â ¢ë¡®à â®çª¨ A1 ; ªà®¬¥ ⮣®,−→ −→−→−→¤«ï «î¡ëå â®ç¥ª A, B, C, D ∈ p ¢ë¯®«ï¥âáï (AB + CD)e = (AB )e +(CD)e , ®âªã¤ ,−→−→−→¢ ç áâ®áâ¨, á«¥¤ã¥â, çâ® (AB )e + (BA)e = 0 (¢ ¤ «ì¥©è¥¬ ®¡®§ ç ¥¬ BA =−→−AB ).«¥¤á⢨¥ 1.1. «ï «î¡ëå ¢¥ªâ®à®¢ a, b, c ∈ p ¢ë¯®«ï¥âáï a+b = b+a, a+(b+c) =(a + b) + c.®ª § ⥫ìá⢮ ¯à®¢¥¤¨â¥ á ¬®áâ®ï⥫ì®.¯à¥¤¥«¥¨¥ 1.4 (®â®è¥¨¥ ¢¥ªâ®à®¢).¯à ¦¥¨¥ 1.1.−→ −→AB +CD−→PQ=−→AB−→PQ−→AB−→CD:=−→AB/~e−→CD/~e=−→+ CD−→ .PQ→(−AB )e−→(CD)e−→−→(CD 6= ~0).ç¨âë¢ ï ®¯à¥¤¥«¥¨¥ 1.4, ¤«ï «î¡®£® ¢¥ªâ®à AB ¨ «î¡®£® ç¨á« −→−→−→−→λAB ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ª ª ¢¥ªâ®à CD â ª®©, çâ® (CD)e = λ(AB )e .λ¢¥ªâ®à→ −→¢®©á⢮ 1.2.
ãáâì −AB = CD, λ, µ ∈ R. ®£¤ −→−→10 λAB = λCD,−→−→−→20 (λ + µ)AB = λAB + µAB ,−→−→30 λ(µAB ) = (λµ)AB .®ª § ⥫ìá⢮. ®ª ¦¥¬, ¯à¨¬¥à, ¯ãªâ 20 . ë ¨¬¥¥¬−→−→−→−→−→−→((λ + µ)AB )e = (λ + µ)(AB )e = λ(AB )e + µ(AB )e = (λAB )e + (µAB )e .6 ¤à㣮© áâ®à®ë, ¨á¯®«ì§ãï ¯à ¢¨«® á«®¦¥¨ï ¢¥ªâ®à®¢ ¨ «¥¬¬ã «ï, ¬ë ¨¬¥¥¬−→−→−→−→(λAB + µAB )e = (λAB )e + (µAB )e .−→−→−→ ª¨¬ ®¡à §®¬, ¯®«ã稫¨ (λAB + µAB )e = ((λ + µ)AB )e , ¨ ¯. 20 ¤®ª § .¯. 10 , 30 ¤®ª §ë¢ îâáï «®£¨ç®.¥¥à¥©¤¥¬ ª ¯®áâ஥¨î á¨áâ¥¬ë ª®®à¤¨ â ®á¨. ¨ªá¨à㥬 ¥ª®â®àãî â®çªãO, ¯à¨ ¤«¥¦ éãî ®á¨ P , ¨ ®¡ê塞 ¥¥ ç «®¬ ª®®à¤¨ â. ®®à¤¨ â ¯à®−−→¨§¢®«ì®© â®çª¨ M ∈ P ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ª ª (OM )e .
ãáâì a | ª®®à¤¨ â â®çª¨−→A, b | ª®®à¤¨ â â®çª¨ B . ®£¤ ª®®à¤¨ â «î¡®£® ¢¥ªâ®à AB ®¯à¥¤¥«ï¥âáï−→−→−→−→ç¨á«®¬ (OB )e − (OA)e = b − a. ¨á«® |(AB )e | §ë¢ ¥âáï ¤«¨®© ¢¥ªâ®à AB . á−→áâ®ï¨¥ ¬¥¦¤ã â®çª ¬¨ A, B ¢ëç¨á«ï¥¬ ¯® ä®à¬ã«¥ |b− a|. ¥ªâ®à OA §ë¢ ¥âáïà ¤¨ãá-¢¥ªâ®à®¬ â®çª¨ A, ¬®¤ã«ì ª®®à¤¨ âë â®çª¨ A | ¤«¨®© à ¤¨ãá-¢¥ªâ®à −→OA.祢¨¤®, çâ® ¤«¨ ¢¥ªâ®à , ª ª ¨ à ááâ®ï¨¥, § ¢¨áïâ ®â ¢ë¡®à ¥¤¨¨ç®£®¢¥ªâ®à ¯àאַ©.−→ãáâì e, E | ¤¢ à §«¨çëå ¥¤¨¨çëå ¢¥ªâ®à ¯àאַ©. ¡®§ 稬 (AB )e =−→−→−→ABAB,(AB)=EeE .−→→(−AB )e−→(CD)eAB )= ((−→.CD )®ª § ⥫ìá⢮.
® ®¯à¥¤¥«¥¨î 1.4 ¬ë ¨¬¥¥¬â¢¥à¦¤¥¨¥ 1.1.E−→(AB )E−→â®ç® â ª¦¥ (CD)E =−→CD~EE==−→ABE(−→CD )e(E~ )e .−→(AB )E−→(CD)E−→(AB )e=,(E )e«¥¤®¢ ⥫ì®=¯à ¦¥¨¥ 1.2. ãáâì â®çª¨ M1 ,®£¤ M1 = M2 .=−→AB/eE/e→(−AB )e~(E )e−→(CD)e(E~ )eM2−→(AB )= −→ e .(CD)eâ ª®¢ë, çâ®−→(−AM1 )e−→(AB )e=−→(−AM2 )E−→(AB )E,¥−→ ~AB 6= 0.¥ªâ®àë ¯«®áª®á⨠¨ ¢ ¯à®áâà á⢥¯à¥¤¥«¥¨¥ 1.5. à ««¥«®£à ¬¬ | ç¥âëà¥å㣮«ì¨ª, ã ª®â®à®£® ¯à®â¨¢®¯®«®¦ë¥ áâ®à®ë «¥¦ â ¯®¯ à® ¯ à ««¥«ìëå ¯àï¬ëå.7¢®©á⢮ ¯ à ««¥«®£à ¬¬ . à®â¨¢®¯®«®¦ë¥ áâ®à®ë ¯ à ««¥«®£à ¬¬ ᮢ¯ ¤ î⠯ਠ«®¦¥¨¨ (ª®£àãíâë) (á«¥¤ã¥â ¨§ ¯à¨§ ª®¢ à ¢¥á⢠âà¥ã£®«ì¨ª®¢).ª¢¨¢ «¥â®¥ ®¯à¥¤¥«¥¨î 1.5 ®¯à¥¤¥«¥¨¥ ¯ à ««¥«®£à ¬¬ â ª®¢®.¯à¥¤¥«¥¨¥ 1.6.
à ««¥«®£à ¬¬ | ç¥âëà¥å㣮«ì¨ª, ã ª®â®à®£® ¯ à ¯à®â¨¢®¯®«®¦ëå áâ®à® «¥¦¨â ¯ à ««¥«ìëå ¯àï¬ëå ¨ ª®£àãíâ .¯à¥¤¥«¨¬ ¯®ï⨥ à ¢¥á⢠¢¥ªâ®à®¢ ¯«®áª®á⨠¨ ¢ ¯à®áâà á⢥. à¨í⮬ ®â¬¥â¨¬, çâ® ¥á«¨ ¢¥ªâ®àë ¯«®áª®á⨠¨«¨ ¯à®áâà á⢠«¥¦ â ®¤®© ¯àאַ©, ⮠ᮮ⢥âáâ¢ãî饥 í⮩ á¨âã æ¨¨ ¯®ï⨥ à ¢¥á⢠¢¥ªâ®à®¢ ¬ë 㦥 à §®¡à «¨ ¢ëè¥, ¨ ¯®í⮬ã â ªãî á¨âã æ¨î ¬ë ¤ «¥¥ ¥ à áᬠâਢ ¥¬.→−→−→ −→¯à¥¤¥«¥¨¥ 1.7.
−AB = CD, ¥á«¨ AB, CD ¯à¨ ¤«¥¦ â ¯ à ««¥«ìë¬ ¯àï¬ë¬, ¨ ¯à¨ í⮬ ABDC | ¯ à ««¥«®£à ¬¬. ¬¥ç ¨¥ 1.2. ®¯à¥¤¥«¥¨¨ 1.7 ¢ ¦®, çâ® ®¡å®¤ ¯® ª®âãàã ABDC ¯à®¨á室¨â ¯® ¯à ¢¨«ã ý ç «® ¯¥à¢®£® ¢¥ªâ®à { ª®¥æ ¯¥à¢®£® ¢¥ªâ®à { ª®¥æ ¢â®à®£®¢¥ªâ®à { ç «® ¢â®à®£® ¢¥ªâ®à þ.¢®©á⢮ 1.3.10−→ −→−→ −→−→ −→−→ −→AB = CD ⇔ BA = DC , 20 AB = CD ⇔ BD = AC .®ª § ⥫ìá⢮ 10 ®ª ¦¥¬ (⇒). ®ïâ®, çâ® BDCA | â®â ¦¥ ç¥âëà¥å㣮«ì¨ª, çâ® ¨ ABDC . ® ®¯à¥¤¥«¥¨î 1.6 ¯àï¬ë¥ BA ¨ DC ¯ à ««¥«ìë, ¨ ®¡å®¤¯® ª®âãàã BDCA ¯à®¨á室¨â ¯® ¯à ¢¨«ã ý ç «® ¯¥à¢®£® ¢¥ªâ®à { ª®¥æ ¯¥à¢®£® ¢¥ªâ®à { ª®¥æ ¢â®à®£® ¢¥ªâ®à { ç «® ¢â®à®£® ¢¥ªâ®à þ. «¥¤®¢ ⥫ì®,−→ −→BA = DC .
¬¯«¨ª æ¨ï (⇐) ¤®ª §ë¢ ¥âáï «®£¨ç®.20 ®ª ¦¥¬ (⇒). ᫨ ABDC | ¯ à ««¥«®£à ¬¬, â® ¨ BDCA | ⮦¥ ¯ à «−→ −→«¥«®£à ¬¬, ®âªã¤ BC = AD. ¬¯«¨ª æ¨ï (⇐) ¤®ª §ë¢ ¥âáï «®£¨ç®.¥ ¯®¬¨¬, çâ® ¤¢¥ ¯àï¬ë¥ l, l0 , ¯à¨ ¤«¥¦ 騥 ¯«®áª®á⨠, ¯ à ««¥«ìë, ¥á«¨®¨ ¥ ¯¥à¥á¥ª îâáï. ¢¥ ¯àï¬ë¥ l, l0 , ¯à¨ ¤«¥¦ 騥 ¯à®áâà áâ¢ã, ¯ à ««¥«ìë,¥á«¨ ©¤¥âáï ¯«®áª®áâì â ª ï, çâ® l, l0 ⊂ , ¨ ¯àï¬ë¥ l, l0 ¯ à ««¥«ìë ¢¯«®áª®á⨠. ਢ¥¤¥¬ ¥é¥ ®¤® ®¯à¥¤¥«¥¨¥ à ¢¥á⢠¢¥ªâ®à®¢, íª¢¨¢ «¥â®¥®¯à¥¤¥«¥¨î 1.7.¯à¥¤¥«¥¨¥ 1.8.
®¢®à¨¬, çâ®−→AB−→−→−→= CD, ¥á«¨ AB ⊂ l1 , CD ⊂ l2 , £¤¥ l1 ,l2 | ¯ à ««¥«ìë¥ ¯àï¬ë¥, ¯à¨ ¤«¥¦ 騥 ¥ª®â®à®© ¯«®áª®á⨠, ®â१ª¨ AB ,CD ª®£àãíââë, â®çª¨ B, D «¥¦ â ¢ ª ª®©-¨¡ã¤ì ®¤®© ¨§ ¯®«ã¯«®áª®á⥩, ª®â®àãî ¤¥«¨â ¯àï¬ ï l, A, C ∈ l, ¯«®áª®áâì .8«ï ¢¥ªâ®à®¢, ¯à¨ ¤«¥¦ é¨å ¯à®áâà áâ¢ã, ®¯à¥¤¥«¥¨¥ 1.8 ¬®¦¥â ¡ëâì ¯¥à¥ä®à¬ã«¨à®¢ ® á«¥¤ãî騬 ®¡à §®¬.→ −→−→−→¯à¥¤¥«¥¨¥ 1.9. ®¢®à¨¬, çâ® −AB = CD, ¥á«¨ AB ⊂ l1 , CD ⊂ l2 , £¤¥ l1 , l2 |¯ à ««¥«ìë¥ ¯àï¬ë¥, ¯à¨ ¤«¥¦ 騥 ¥ª®â®à®© ¯«®áª®á⨠, ®â१ª¨ AB , CDª®£àãíââë, â®çª¨ B, D «¥¦ â ¢ ª ª®©-¨¡ã¤ì ®¤®¬ ¨§ ¯®«ã¯à®áâà áâ¢, ª®â®àë¥ ¤¥«¨â ¥ª®â®à ï ¯«®áª®áâì 0 6= , l ⊂ 0 , A, C ∈ , ¢á¥ ¯à®áâà á⢮.¯à ¦¥¨¥ 1.3. ᯮ«ì§ãï ªá¨®¬ë ¥¢ª«¨¤®¢®© £¥®¬¥âਨ, ¯®ª ¦¨â¥, çâ®®¯à¥¤¥«¥¨ï 1.7{1.9 íª¢¨¢ «¥âë.«¥¤ãî騥 ᢮©á⢠¢ë⥪ îâ ¨§ ªá¨®¬ ¥¢ª«¨¤®¢®© £¥®¬¥âਨ.¢®©á⢮ âà §¨â¨¢®á⨠¯ à ««¥«ì®á⨠¯àï¬ëå.
᫨ ¯àï¬ ï l1 ¯ à ««¥«ì ¯àאַ© l2 , ¯àï¬ ï¯àאַ© l3 .l2¯ à ««¥«ì ¯àאַ© l3 , â® ¯àï¬ ïl1¯ à ««¥«ì ¢®©á⢮ ¢ë¯ãª«®á⨠(¯®«ã¯«®áª®á⨠¨ ¯®«ã¯à®áâà á⢠). «®áª®áâìà §¡¨¢ ¥â ¬®¦¥á⢮ ¥ ¯à¨ ¤«¥¦ é¨å ¥© â®ç¥ª ¯à®áâà á⢠¤¢ ¯®¤¬®¦¥á⢠(¯®«ã¯à®áâà á⢠) â ª, çâ® ®â१®ª, ᮥ¤¨ïî騩 â®çª¨ ®¤®£®¯®«ã¯à®áâà á⢠, ¥ ¯¥à¥á¥ª ¥âáï á ¯«®áª®áâìî, ®â१®ª, ᮥ¤¨ïî騩 â®çª¨ à §ëå ¯®«ã¯à®áâà áâ¢, ¯¥à¥á¥ª ¥âáï á ¯«®áª®áâìî.¢®©á⢮ (âà §¨â¨¢®áâì à ¢¥á⢠¢¥ªâ®à®¢).
ãáâì−→EF .−→ −→AB = EF .−→AB=−→ −→CD, CD=®£¤ ®ª § ⥫ìá⢮. ®áâ â®ç® à áᬮâà¥âì á«ãç ©, ª®£¤ A 6= C 6= E . â१ª¨AB , CD, EF ª®£àãíâë ¨ «¥¦ â (¯® âà §¨â¨¢®á⨠¯ à ««¥«ì®á⨠¯àï¬ëå) ¯ à ««¥«ìëå ¯àï¬ëå l1 , l2 , l3 ᮮ⢥âá⢥®. ஢¥¤¥¬ ç¥à¥§ â®çª¨ A, C, E¯«®áª®áâì .ãáâì l1 ⊂ , ⮣¤ l2 ⊂ (à §«¨çë¥ ¯ à ««¥«ìë¥ ¯àï¬ë¥ «¥¦ â ¢ ®¤®©¯«®áª®áâ¨), § ç¨â ¨ l3 ⊂ . í⮬ á«ãç ¥, ¨á¯®«ì§ãï à ¢¥á⢮ ªà¥áâ «¥¦ é¨å 㣫®¢ ¨ ¯à¨§ ª¨ à ¢¥á⢠âà¥ã£®«ì¨ª®¢, ¬ë ¯®«ã稬, çâ® 4ACE =4BDF , ¨ ¯à¨ í⮬ ᮮ⢥âá⢥® ª®£àãíâë ¨ «¥¦ â ¯ à ««¥«ìëå ¯àï¬ëå®â१ª¨ AC ¨ BD, CE ¨ DF , EA ¨ F A. «¥¤®¢ ⥫ì®, ABF E | ¯ à ««¥«®£à ¬¬⇒−→ −→AB = EF .ãáâì l1 ¥ ¯à¨ ¤«¥¦¨â ⇒ l1 ∩ = A, ®âªã¤ , ¨á¯®«ì§ãï ªá¨®¬ë ¥¢ª«¨¤®¢®©£¥®¬¥âਨ, ¯®«ãç ¥¬, çâ® l2 , l3 â ª¦¥ ¥ ¯à¨ ¤«¥¦ â ¨ l2 ∩ = C , l3 ∩ =−→−→E .
ë ¨¬¥¥¬ AB = CD, ¯®í⮬㠯® ®¯à¥¤¥«¥¨î 1.9 â®çª¨ A, D ¯à¨ ¤«¥¦ ⮤®¬ã ¨§ ¤¢ãå ¯®«ã¯à®áâà áâ¢, ª®â®àë¥ à §¡¨¢ ¥â ¯à®áâà á⢮ ¯«®áª®áâì −→ −→(®¡®§ 稬 ¥£® P1 ), ¨ ¯à¨ í⮬ |AB| = |CD|. ª¦¥ ¬ë ¨¬¥¥¬ CD = EF , ¯®í⮬㯮 ®¯à¥¤¥«¥¨î 1.9 â®çª¨ D, F ¯à¨ ¤«¥¦ â ®¤®¬ã ¨§ ¤¢ãå ¯®«ã¯à®áâà áâ¢,9 ª®â®àë¥ à §¡¨¢ ¥â ¯à®áâà á⢮ ¯«®áª®áâì (®¡®§ 稬 ¥£® P2 ), ¨ ¯à¨ í⮬|CD| = |EF |.ãáâì P1 6= P2 , ⮣¤ D ∈ (P1 ∩P2 ), ç⮠ï¥âáï ¯à®â¨¢®à¥ç¨¥¬. «¥¤®¢ ⥫ì®P1 = P2 , ¨ ¬ë ¯®«ãç ¥¬, çâ® B , F ¯à¨ ¤«¥¦ â ®¤®¬ã ¨ ⮬㠦¥ ¯®«ã¯à®áâà −→ −→áâ¢ã, ¢¥ªâ®àë AB , EF «¥¦ â ¯ à ««¥«ìëå ¯àï¬ëå ¯® ᢮©áâ¢ã âà §¨â¨¢®áâ¨−→ −→¯àï¬ëå, ¨ |AB| = |EF |.
«¥¤®¢ â¥«ì® ¯® ®¯à¥¤¥«¥¨î 1.9 ¯®«ãç ¥¬ AB = EF .¥«¥¤á⢨¥ 1.2. ¢¥á⢮ ¢¥ªâ®à®¢ ¯«®áª®á⨠¨ ¢ ¯à®áâà á⢥ ï¥âáï®â®è¥¨¥¬ íª¢¨¢¨ «¥â®áâ¨.®ï⨥ ᢮¡®¤®£® ¢¥ªâ®à ¯«®áª®á⨠¨ ¢ ¯à®áâà á⢥ ¢¢®¤¨âáï â ª¦¥, ª ª¨ ¯àאַ©..