L-1-Autmn2017 (824131), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

10 „«ï «î¡®£® ¢¥ªâ®à −M N ¨ «î¡®© â®çª¨ M1 , ¯à¨­ ¤«¥¦ é¨å−−→ −−−→®á¨ p, ­ ©¤¥âáï ¥¤¨­á⢥­­ ï â®çª N1 â ª ï, çâ® M N = M1 N1 ⊂ p;20 ®â­®è¥­¨¥ à ¢¥­á⢠¢¥ªâ®à®¢ ­ ®á¨ p ï¥âáï ®â­®è¥­¨¥¬ íª¢¨¢ «¥­â­®áâ¨, â. ¥.−−→ −−→{ M N = M N (⮦¤¥á⢮),−−→ −−−→−−−→ −−→{ M N = M1 N1 ⇒ M1 N1 = M N (ᨬ¬¥âà¨ï),−−→ −−−→ −−−→ −−−→−−→ −−−→{ M N = M1 N1 , M1 N1 = M2 N2 ⇒ M N = M2 N2 (âà ­§¨â¨¢­®áâì).5Ž¯à¥¤¥«¥­¨¥ 1.3. ‘®¢®ªã¯­®áâì ¢á¥å à ¢­ëå ¬¥¦¤ã ᮡ®© ­ ¯à ¢«¥­­ëå ®â१−→−→ª®¢ AB = CD = ... = a ¡ã¤¥¬ ­ §ë¢ âì ᢮¡®¤­ë¬ ¢¥ªâ®à®¬ a ¨«¨ ¯à®áâ® ¢¥ªâ®−→஬ a. „«ï ­¥ª®â®à®£® ¢¥ªâ®à a à ¢¥­á⢮ a = AB ®¡®§­ ç ¥â, çâ® ­ ¯à ¢«¥­­ë©−→®â१®ª (¢¥ªâ®à) AB ï¥âáï ¯à¥¤áâ ¢¨â¥«¥¬ ᢮¡®¤­®£® ¢¥ªâ®à (¢¥ªâ®à ) a á­ ç «®¬ ¢ â®çª¥ A.®« £ ¥¬, çâ® «£¥¡à ¨ç¥áª®¥ §­ 祭¨¥ ¢¥ªâ®à®¢ 㤮¢«¥â¢®àï¥â á«¥¤ãî饩 ªá¨®¬¥.€Š‘ˆŽŒ€ («¥¬¬ ˜ «ï). „«ï «î¡ëå â®ç¥ª A, B, C ∈ p ¢ë¯®«­ï¥âáï−→−→−→(AB )e + (BC )e = (AC )e .’®£¤ áä®à¬ã«¨à㥬 á«¥¤ãî饥Ž¯à¥¤¥«¥­¨¥ 1.4 (¯à ¢¨«® á«®¦¥­¨ï ¢¥ªâ®à®¢).

ãáâì−→−→−−−→−−−→−−−→−→’®£¤ a + b = AB + CD = A1 B1 + B1 D1 = A1 D1 , £¤¥ (AB )e =−−−→(B1 D1 )e .−→−→AB , b = CD.−−−→−→(A1 B1 )e , (CD)e =a=“ç¨âë¢ ï ⥠ªá¨®¬ë, ª®â®àë¬ ã¤®¢«¥â¢®àï¥â «£¥¡à ¨ç¥áª®¥ §­ 祭¨¥ ¢¥ªâ®à ,­¥á«®¦­® ¢¨¤¥âì, çâ® ®¯à¥¤¥«¥­¨© 1.4 ­¥ § ¢¨á¨â ®â ¢ë¡®à â®çª¨ A1 ; ªà®¬¥ ⮣®,−→ −→−→−→¤«ï «î¡ëå â®ç¥ª A, B, C, D ∈ p ¢ë¯®«­ï¥âáï (AB + CD)e = (AB )e +(CD)e , ®âªã¤ ,−→−→−→¢ ç áâ­®áâ¨, á«¥¤ã¥â, çâ® (AB )e + (BA)e = 0 (¢ ¤ «ì­¥©è¥¬ ®¡®§­ ç ¥¬ BA =−→−AB ).‘«¥¤á⢨¥ 1.1. „«ï «î¡ëå ¢¥ªâ®à®¢ a, b, c ∈ p ¢ë¯®«­ï¥âáï a+b = b+a, a+(b+c) =(a + b) + c.„®ª § ⥫ìá⢮ ¯à®¢¥¤¨â¥ á ¬®áâ®ï⥫쭮.Ž¯à¥¤¥«¥­¨¥ 1.4 (®â­®è¥­¨¥ ¢¥ªâ®à®¢).“¯à ¦­¥­¨¥ 1.1.−→ −→AB +CD−→PQ=−→AB−→PQ−→AB−→CD:=−→AB/~e−→CD/~e=−→+ CD−→ .PQ→(−AB )e−→(CD)e−→−→(CD 6= ~0).“ç¨âë¢ ï ®¯à¥¤¥«¥­¨¥ 1.4, ¤«ï «î¡®£® ¢¥ªâ®à AB ¨ «î¡®£® ç¨á« −→−→−→−→λAB ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ª ª ¢¥ªâ®à CD â ª®©, çâ® (CD)e = λ(AB )e .λ¢¥ªâ®à→ −→‘¢®©á⢮ 1.2.

ãáâì −AB = CD, λ, µ ∈ R. ’®£¤ −→−→10 λAB = λCD,−→−→−→20 (λ + µ)AB = λAB + µAB ,−→−→30 λ(µAB ) = (λµ)AB .„®ª § ⥫ìá⢮. „®ª ¦¥¬, ­ ¯à¨¬¥à, ¯ã­ªâ 20 . Œë ¨¬¥¥¬−→−→−→−→−→−→((λ + µ)AB )e = (λ + µ)(AB )e = λ(AB )e + µ(AB )e = (λAB )e + (µAB )e .6‘ ¤à㣮© áâ®à®­ë, ¨á¯®«ì§ãï ¯à ¢¨«® á«®¦¥­¨ï ¢¥ªâ®à®¢ ¨ «¥¬¬ã ˜ «ï, ¬ë ¨¬¥¥¬−→−→−→−→(λAB + µAB )e = (λAB )e + (µAB )e .−→−→−→’ ª¨¬ ®¡à §®¬, ¯®«ã稫¨ (λAB + µAB )e = ((λ + µ)AB )e , ¨ ¯. 20 ¤®ª § ­.¯. 10 , 30 ¤®ª §ë¢ îâáï ­ «®£¨ç­®.¥¥à¥©¤¥¬ ª ¯®áâ஥­¨î á¨áâ¥¬ë ª®®à¤¨­ â ­ ®á¨. ”¨ªá¨à㥬 ­¥ª®â®àãî â®çªãO, ¯à¨­ ¤«¥¦ éãî ®á¨ P , ¨ ®¡ê塞 ¥¥ ­ ç «®¬ ª®®à¤¨­ â. Š®®à¤¨­ â ¯à®−−→¨§¢®«ì­®© â®çª¨ M ∈ P ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ª ª (OM )e .

ãáâì a | ª®®à¤¨­ â â®çª¨−→A, b | ª®®à¤¨­ â â®çª¨ B . ’®£¤ ª®®à¤¨­ â «î¡®£® ¢¥ªâ®à AB ®¯à¥¤¥«ï¥âáï−→−→−→−→ç¨á«®¬ (OB )e − (OA)e = b − a. —¨á«® |(AB )e | ­ §ë¢ ¥âáï ¤«¨­®© ¢¥ªâ®à AB .  á−→áâ®ï­¨¥ ¬¥¦¤ã â®çª ¬¨ A, B ¢ëç¨á«ï¥¬ ¯® ä®à¬ã«¥ |b− a|. ‚¥ªâ®à OA ­ §ë¢ ¥âáïà ¤¨ãá-¢¥ªâ®à®¬ â®çª¨ A, ¬®¤ã«ì ª®®à¤¨­ âë â®çª¨ A | ¤«¨­®© à ¤¨ãá-¢¥ªâ®à −→OA.Žç¥¢¨¤­®, çâ® ¤«¨­ ¢¥ªâ®à , ª ª ¨ à ááâ®ï­¨¥, § ¢¨áïâ ®â ¢ë¡®à ¥¤¨­¨ç­®£®¢¥ªâ®à ­ ¯àאַ©.−→ãáâì e, E | ¤¢ à §«¨ç­ëå ¥¤¨­¨ç­ëå ¢¥ªâ®à ¯àאַ©. Ž¡®§­ 稬 (AB )e =−→−→−→ABAB,(AB)=EeE .−→→(−AB )e−→(CD)eAB )= ((−→.CD )„®ª § ⥫ìá⢮.

® ®¯à¥¤¥«¥­¨î 1.4 ¬ë ¨¬¥¥¬“⢥ত¥­¨¥ 1.1.E−→(AB )E−→â®ç­® â ª¦¥ (CD)E =−→CD~EE==−→ABE(−→CD )e(E~ )e .−→(AB )E−→(CD)E−→(AB )e=,(E )e‘«¥¤®¢ ⥫쭮=“¯à ¦­¥­¨¥ 1.2. ãáâì â®çª¨ M1 ,’®£¤ M1 = M2 .=−→AB/eE/e→(−AB )e~(E )e−→(CD)e(E~ )eM2−→(AB )= −→ e .(CD)eâ ª®¢ë, çâ®−→(−AM1 )e−→(AB )e=−→(−AM2 )E−→(AB )E,¥−→ ~AB 6= 0.‚¥ªâ®àë ­ ¯«®áª®á⨠¨ ¢ ¯à®áâà ­á⢥Ž¯à¥¤¥«¥­¨¥ 1.5.  à ««¥«®£à ¬¬ | ç¥âëà¥å㣮«ì­¨ª, ã ª®â®à®£® ¯à®â¨¢®¯®«®¦­ë¥ áâ®à®­ë «¥¦ â ­ ¯®¯ à­® ¯ à ««¥«ì­ëå ¯àï¬ëå.7‘¢®©á⢮ ¯ à ««¥«®£à ¬¬ . à®â¨¢®¯®«®¦­ë¥ áâ®à®­ë ¯ à ««¥«®£à ¬¬ ᮢ¯ ¤ î⠯ਠ­ «®¦¥­¨¨ (ª®­£àãí­â­ë) (á«¥¤ã¥â ¨§ ¯à¨§­ ª®¢ à ¢¥­á⢠âà¥ã£®«ì­¨ª®¢).ª¢¨¢ «¥­â­®¥ ®¯à¥¤¥«¥­¨î 1.5 ®¯à¥¤¥«¥­¨¥ ¯ à ««¥«®£à ¬¬ â ª®¢®.Ž¯à¥¤¥«¥­¨¥ 1.6.

 à ««¥«®£à ¬¬ | ç¥âëà¥å㣮«ì­¨ª, ã ª®â®à®£® ¯ à ¯à®â¨¢®¯®«®¦­ëå áâ®à®­ «¥¦¨â ­ ¯ à ««¥«ì­ëå ¯àï¬ëå ¨ ª®­£àãí­â­ .Ž¯à¥¤¥«¨¬ ¯®­ï⨥ à ¢¥­á⢠¢¥ªâ®à®¢ ­ ¯«®áª®á⨠¨ ¢ ¯à®áâà ­á⢥. à¨í⮬ ®â¬¥â¨¬, çâ® ¥á«¨ ¢¥ªâ®àë ¯«®áª®á⨠¨«¨ ¯à®áâà ­á⢠«¥¦ â ­ ®¤­®© ¯àאַ©, ⮠ᮮ⢥âáâ¢ãî饥 í⮩ á¨âã 樨 ¯®­ï⨥ à ¢¥­á⢠¢¥ªâ®à®¢ ¬ë 㦥 à §®¡à «¨ ¢ëè¥, ¨ ¯®í⮬ã â ªãî á¨âã æ¨î ¬ë ¤ «¥¥ ­¥ à áᬠâਢ ¥¬.→−→−→ −→Ž¯à¥¤¥«¥­¨¥ 1.7.

−AB = CD, ¥á«¨ AB, CD ¯à¨­ ¤«¥¦ â ¯ à ««¥«ì­ë¬ ¯àï¬ë¬, ¨ ¯à¨ í⮬ ABDC | ¯ à ««¥«®£à ¬¬.‡ ¬¥ç ­¨¥ 1.2. ‚ ®¯à¥¤¥«¥­¨¨ 1.7 ¢ ¦­®, çâ® ®¡å®¤ ¯® ª®­âãàã ABDC ¯à®¨á室¨â ¯® ¯à ¢¨«ã ý­ ç «® ¯¥à¢®£® ¢¥ªâ®à { ª®­¥æ ¯¥à¢®£® ¢¥ªâ®à { ª®­¥æ ¢â®à®£®¢¥ªâ®à { ­ ç «® ¢â®à®£® ¢¥ªâ®à þ.‘¢®©á⢮ 1.3.10−→ −→−→ −→−→ −→−→ −→AB = CD ⇔ BA = DC , 20 AB = CD ⇔ BD = AC .„®ª § ⥫ìá⢮ 10 „®ª ¦¥¬ (⇒). ®­ïâ­®, çâ® BDCA | â®â ¦¥ ç¥âëà¥å㣮«ì­¨ª, çâ® ¨ ABDC . ® ®¯à¥¤¥«¥­¨î 1.6 ¯àï¬ë¥ BA ¨ DC ¯ à ««¥«ì­ë, ¨ ®¡å®¤¯® ª®­âãàã BDCA ¯à®¨á室¨â ¯® ¯à ¢¨«ã ý­ ç «® ¯¥à¢®£® ¢¥ªâ®à { ª®­¥æ ¯¥à¢®£® ¢¥ªâ®à { ª®­¥æ ¢â®à®£® ¢¥ªâ®à { ­ ç «® ¢â®à®£® ¢¥ªâ®à þ. ‘«¥¤®¢ ⥫쭮,−→ −→BA = DC .

ˆ¬¯«¨ª æ¨ï (⇐) ¤®ª §ë¢ ¥âáï ­ «®£¨ç­®.20 „®ª ¦¥¬ (⇒). …᫨ ABDC | ¯ à ««¥«®£à ¬¬, â® ¨ BDCA | ⮦¥ ¯ à «−→ −→«¥«®£à ¬¬, ®âªã¤ BC = AD. ˆ¬¯«¨ª æ¨ï (⇐) ¤®ª §ë¢ ¥âáï ­ «®£¨ç­®.¥ ¯®¬­¨¬, çâ® ¤¢¥ ¯àï¬ë¥ l, l0 , ¯à¨­ ¤«¥¦ 騥 ¯«®áª®á⨠, ¯ à ««¥«ì­ë, ¥á«¨®­¨ ­¥ ¯¥à¥á¥ª îâáï. „¢¥ ¯àï¬ë¥ l, l0 , ¯à¨­ ¤«¥¦ 騥 ¯à®áâà ­áâ¢ã, ¯ à ««¥«ì­ë,¥á«¨ ­ ©¤¥âáï ¯«®áª®áâì â ª ï, çâ® l, l0 ⊂ , ¨ ¯àï¬ë¥ l, l0 ¯ à ««¥«ì­ë ¢¯«®áª®á⨠. à¨¢¥¤¥¬ ¥é¥ ®¤­® ®¯à¥¤¥«¥­¨¥ à ¢¥­á⢠¢¥ªâ®à®¢, íª¢¨¢ «¥­â­®¥®¯à¥¤¥«¥­¨î 1.7.Ž¯à¥¤¥«¥­¨¥ 1.8.

ƒ®¢®à¨¬, çâ®−→AB−→−→−→= CD, ¥á«¨ AB ⊂ l1 , CD ⊂ l2 , £¤¥ l1 ,l2 | ¯ à ««¥«ì­ë¥ ¯àï¬ë¥, ¯à¨­ ¤«¥¦ 騥 ­¥ª®â®à®© ¯«®áª®á⨠, ®â१ª¨ AB ,CD ª®­£àãíâ­âë, â®çª¨ B, D «¥¦ â ¢ ª ª®©-­¨¡ã¤ì ®¤­®© ¨§ ¯®«ã¯«®áª®á⥩, ­ ª®â®àãî ¤¥«¨â ¯àï¬ ï l, A, C ∈ l, ¯«®áª®áâì .8„«ï ¢¥ªâ®à®¢, ¯à¨­ ¤«¥¦ é¨å ¯à®áâà ­áâ¢ã, ®¯à¥¤¥«¥­¨¥ 1.8 ¬®¦¥â ¡ëâì ¯¥à¥ä®à¬ã«¨à®¢ ­® á«¥¤ãî騬 ®¡à §®¬.→ −→−→−→Ž¯à¥¤¥«¥­¨¥ 1.9. ƒ®¢®à¨¬, çâ® −AB = CD, ¥á«¨ AB ⊂ l1 , CD ⊂ l2 , £¤¥ l1 , l2 |¯ à ««¥«ì­ë¥ ¯àï¬ë¥, ¯à¨­ ¤«¥¦ 騥 ­¥ª®â®à®© ¯«®áª®á⨠, ®â१ª¨ AB , CDª®­£àãíâ­âë, â®çª¨ B, D «¥¦ â ¢ ª ª®©-­¨¡ã¤ì ®¤­®¬ ¨§ ¯®«ã¯à®áâà ­áâ¢, ­ ª®â®àë¥ ¤¥«¨â ­¥ª®â®à ï ¯«®áª®áâì 0 6= , l ⊂ 0 , A, C ∈ , ¢á¥ ¯à®áâà ­á⢮.“¯à ¦­¥­¨¥ 1.3. ˆá¯®«ì§ãï ªá¨®¬ë ¥¢ª«¨¤®¢®© £¥®¬¥âਨ, ¯®ª ¦¨â¥, çâ®®¯à¥¤¥«¥­¨ï 1.7{1.9 íª¢¨¢ «¥­â­ë.‘«¥¤ãî騥 ᢮©á⢠¢ë⥪ îâ ¨§ ªá¨®¬ ¥¢ª«¨¤®¢®© £¥®¬¥âਨ.‘¢®©á⢮ âà ­§¨â¨¢­®á⨠¯ à ««¥«ì­®á⨠¯àï¬ëå.

…᫨ ¯àï¬ ï l1 ¯ à ««¥«ì­ ¯àאַ© l2 , ¯àï¬ ï¯àאַ© l3 .l2¯ à ««¥«ì­ ¯àאַ© l3 , â® ¯àï¬ ïl1¯ à ««¥«ì­ ‘¢®©á⢮ ¢ë¯ãª«®á⨠(¯®«ã¯«®áª®á⨠¨ ¯®«ã¯à®áâà ­á⢠). «®áª®áâìà §¡¨¢ ¥â ¬­®¦¥á⢮ ­¥ ¯à¨­ ¤«¥¦ é¨å ¥© â®ç¥ª ¯à®áâà ­á⢠­ ¤¢ ¯®¤¬­®¦¥á⢠(¯®«ã¯à®áâà ­á⢠) â ª, çâ® ®â१®ª, ᮥ¤¨­ïî騩 â®çª¨ ®¤­®£®¯®«ã¯à®áâà ­á⢠, ­¥ ¯¥à¥á¥ª ¥âáï á ¯«®áª®áâìî, ®â१®ª, ᮥ¤¨­ïî騩 â®çª¨ à §­ëå ¯®«ã¯à®áâà ­áâ¢, ¯¥à¥á¥ª ¥âáï á ¯«®áª®áâìî.‘¢®©á⢮ (âà ­§¨â¨¢­®áâì à ¢¥­á⢠¢¥ªâ®à®¢).

ãáâì−→EF .−→ −→AB = EF .−→AB=−→ −→CD, CD=’®£¤ „®ª § ⥫ìá⢮. „®áâ â®ç­® à áᬮâà¥âì á«ãç ©, ª®£¤ A 6= C 6= E . Žâ१ª¨AB , CD, EF ª®­£àãí­â­ë ¨ «¥¦ â (¯® âà ­§¨â¨¢­®á⨠¯ à ««¥«ì­®á⨠¯àï¬ëå)­ ¯ à ««¥«ì­ëå ¯àï¬ëå l1 , l2 , l3 ᮮ⢥âá⢥­­®. à®¢¥¤¥¬ ç¥à¥§ â®çª¨ A, C, E¯«®áª®áâì .ãáâì l1 ⊂ , ⮣¤ l2 ⊂ (à §«¨ç­ë¥ ¯ à ««¥«ì­ë¥ ¯àï¬ë¥ «¥¦ â ¢ ®¤­®©¯«®áª®áâ¨), §­ ç¨â ¨ l3 ⊂ . ‚ í⮬ á«ãç ¥, ¨á¯®«ì§ãï à ¢¥­á⢮ ­ ªà¥áâ «¥¦ é¨å 㣫®¢ ¨ ¯à¨§­ ª¨ à ¢¥­á⢠âà¥ã£®«ì­¨ª®¢, ¬ë ¯®«ã稬, çâ® 4ACE =4BDF , ¨ ¯à¨ í⮬ ᮮ⢥âá⢥­­® ª®­£àãí­â­ë ¨ «¥¦ â ­ ¯ à ««¥«ì­ëå ¯àï¬ëå®â१ª¨ AC ¨ BD, CE ¨ DF , EA ¨ F A. ‘«¥¤®¢ ⥫쭮, ABF E | ¯ à ««¥«®£à ¬¬⇒−→ −→AB = EF .ãáâì l1 ­¥ ¯à¨­ ¤«¥¦¨â ⇒ l1 ∩ = A, ®âªã¤ , ¨á¯®«ì§ãï ªá¨®¬ë ¥¢ª«¨¤®¢®©£¥®¬¥âਨ, ¯®«ãç ¥¬, çâ® l2 , l3 â ª¦¥ ­¥ ¯à¨­ ¤«¥¦ â ¨ l2 ∩ = C , l3 ∩ =−→−→E .

Œë ¨¬¥¥¬ AB = CD, ¯®í⮬㠯® ®¯à¥¤¥«¥­¨î 1.9 â®çª¨ A, D ¯à¨­ ¤«¥¦ ⮤­®¬ã ¨§ ¤¢ãå ¯®«ã¯à®áâà ­áâ¢, ­ ª®â®àë¥ à §¡¨¢ ¥â ¯à®áâà ­á⢮ ¯«®áª®áâì −→ −→(®¡®§­ 稬 ¥£® P1 ), ¨ ¯à¨ í⮬ |AB| = |CD|. ’ ª¦¥ ¬ë ¨¬¥¥¬ CD = EF , ¯®í⮬㯮 ®¯à¥¤¥«¥­¨î 1.9 â®çª¨ D, F ¯à¨­ ¤«¥¦ â ®¤­®¬ã ¨§ ¤¢ãå ¯®«ã¯à®áâà ­áâ¢,9­ ª®â®àë¥ à §¡¨¢ ¥â ¯à®áâà ­á⢮ ¯«®áª®áâì (®¡®§­ 稬 ¥£® P2 ), ¨ ¯à¨ í⮬|CD| = |EF |.ãáâì P1 6= P2 , ⮣¤ D ∈ (P1 ∩P2 ), ç⮠ï¥âáï ¯à®â¨¢®à¥ç¨¥¬. ‘«¥¤®¢ ⥫쭮P1 = P2 , ¨ ¬ë ¯®«ãç ¥¬, çâ® B , F ¯à¨­ ¤«¥¦ â ®¤­®¬ã ¨ ⮬㠦¥ ¯®«ã¯à®áâà ­−→ −→áâ¢ã, ¢¥ªâ®àë AB , EF «¥¦ â ­ ¯ à ««¥«ì­ëå ¯àï¬ëå ¯® ᢮©áâ¢ã âà ­§¨â¨¢­®áâ¨−→ −→¯àï¬ëå, ¨ |AB| = |EF |.

‘«¥¤®¢ ⥫쭮 ¯® ®¯à¥¤¥«¥­¨î 1.9 ¯®«ãç ¥¬ AB = EF .¥‘«¥¤á⢨¥ 1.2.  ¢¥­á⢮ ¢¥ªâ®à®¢ ­ ¯«®áª®á⨠¨ ¢ ¯à®áâà ­á⢥ ï¥âáï®â­®è¥­¨¥¬ íª¢¨¢¨ «¥­â­®áâ¨.®­ï⨥ ᢮¡®¤­®£® ¢¥ªâ®à ­ ¯«®áª®á⨠¨ ¢ ¯à®áâà ­á⢥ ¢¢®¤¨âáï â ª¦¥, ª ª¨ ­ ¯àאַ©..

Характеристики

Список файлов лекций