sem_11 (817235), страница 9
Текст из файла (страница 9)
Рассмотрены варианты использования различных теорийпрочности при выполнении поверочного расчета элемента из хрупкого материала. Третья и четвертая теории прочности, обычно применяемые дляпластичных материалов, дали отрицательный ответ.504. СДВИГ, СМЯТИЕСдвиг – простой вид деформации, характеризующийся взаимным смещением параллельных слоевматериала под действием приложенных сил при неизменном расстоянии между слоями.При сдвиге в поперечном сечении из шести внутренних усилий действует только одно – поперечная сила Q (рис.
4.1).BQQРис. 4.1Порядок вывода расчетных формул в сопротивлении материаловПри выводе любых аналитических зависимостей в сопротивленииматериалов рассматривается существование малого элемента тела с цельюпоследовательного определения его перемещений, деформаций и напряжений в нем. Проинтегрировав установленные зависимости по всему объему тела, находят связь перемещений, деформаций и напряжений с внешними силами.Всякий расчет состоит из четырех этапов:статический анализ – устанавливает связь напряжений с внешниминагрузками путем интегрирования уравнений равновесия элемента по всему объему тела;геометрический анализ – устанавливает связь между перемещениями и деформациями малого элемента тела;физический анализ – устанавливает связь между деформациямиэлемента и напряжениями в нем. При упругой деформации используетсязакон Гука;синтез установленных зависимостей.
Подставляя найденные натрех предыдущих этапах выражения одно в другое и упрощая их, получают окончательные расчетные формулы.Для установления связи внутренних усилий с напряжениями и деформациями при сдвиге рассмотрим несколько этапов.I. Статическая сторона задачи – условие равновесия (рис. 4.2)∑ у = 0; Q = ∫ τ ⋅ d A .AВ действительности, касательные напряжения распределяются по сечению неравномерно. Однако, если принять допущение о равномерномраспределении напряжений, что широко используется на практике, тоQQ = τ ⋅ A , откуда(4.1)τ= .A51ΔSII.
Геометрическая (деформационная) сторона задачиВ элементе В, выделенном на рис. 4.1, ΔS – абсоγлютный сдвиг; γ – относительный сдвигQΔSγ ≈ tg γ =.(4.2)aQIII. Физическая сторона задачиaВ области упругих деформаций справедлив закон Гукаτ = G⋅γ .(4.3)IV.
Математическая сторона задачиПодставляя (4.1) и (4.2) в (4.3), получим закон Гука для сдвигаQ ⋅aQΔS=G, откуда ΔS =(4.4)AaG⋅AПроизведение G·A – жестyкость сечения при сдвиге;G – модуль сдвига, модульQкасательной упругости, модульупругости второго рода. ДляdAстали в расчетах принимаютττG = 80 ГПа = 80·104 МПа.AQУстановлена связь междуРис. 4.2. Внутренние усилия и напряжения,упругими постояннымивозникающие в сдвигаемых слояхE,(4.5)G=2(1 + μ )где μ – коэффициент поперечной деформации (Пуассона)Напряженное состояниеτC(σx, τxy)а0σ3σРσ1σ1 D(σy, τyx)σ3τyxDCτxyσ3σ1Рис. 4.3. Построение кругаМора для определенияглавных площадок и величины главных напряженийбПо граням выделенного на рис. 4.1элемента В действуют только касательныенапряжения τ; нормальные напряжения σx =0, σy = 0. Графическим построением (рис.
4.3,а) и аналитическим решением по формуламtg 2α =− 2τ xyσx − σ yσ max, min ==− 2τ xyσx + σ y20= −∞; 2α = −90D ;2⎛ σx − σ y ⎞⎟⎟ + τ 2xy ;± ⎜⎜⎝ 2 ⎠σ max = τ xy = σ1; σ 2 = 0; σ min = − τ xy = σ 3получаем: главные площадки ориентированы под углом 45° к направлению сдвигающих напряжений (рис. 4.3, б), величины52главных нормальных напряжений равны касательным напряжениям.Имеет место чистый сдвиг – частный случай плоского напряженного состояния, при котором по граням элемента действуют только касательные напряжения.Допускаемые напряжения.
Расчет на прочностьЭквивалентные напряжения по I гипотезе прочности:σ экв,I = σ1 ≤ [σ] , но σ1 = τ, следовательно [τ] = [σ] .Соотношение справедливо для хрупких материалов.Эквивалентные напряжения по III гипотезе прочности:σ экв,III = σ1 − σ3 ≤ [σ] , но σ1 = τ, σ3 = − τ . Тогда 2[τ] ≤ [σ] , откуда[τ] = 0,5[σ].Эквивалентные напряжения по IV гипотезе прочности:σ экв, IV =[]1(σ1 − σ2 )2 + (σ2 −σ3 )2 + (σ3 − σ1 )2 ≤ [σ].2Подставив σ1 = τ , σ2 = 0 и σ3 = –τ, получимσ экв, IV =[][]1 21 2σ1 + σ32 + (σ3 − σ1 )2 =τ + τ 2 + 4 τ 2 = τ 3 ≤ [σ],22откуда[τ] = [σ] = 0,577[σ].3Таким образом, при расчете деталей иза пластичных материалов, работающих на срез(болты, заклепки, шпонки…) условие прочности может быть записано так:σсмQτ = ≤ [τ], где [τ] = (0,5 − 0,6) [σ].
4.6)AСмятие – вид местной пластическойдеформации, возникающей при сжатиитвердых тел, в местах их контакта.FСмятие материала начинается в случае,когда интенсивность напряжений достигаетбвеличины предела текучести материала. Разσсммеры смятого слоя зависят от величины, хаРис. 4.4. Характер распредерактера и времени воздействия нагрузки, аления напряжений в зоне кон- также от температуры нагрева сжимаемыхтакта шарика с кольцом (а)тел. Смятие наблюдается не только у плаи листа с заклепкой (б)стичных, но и у хрупких материалов (закаленная сталь, чугун и др.).
Смятие возникает в соединениях (болтовых, заF53клепочных, шпоночных и др.), в местах опирания конструкций и в зонахконтакта сжатых элементов. Смятие широко используется для создания заклепочных, врубовых и других плотных соединений; является начальнойстадией таких процессов холодной и горячей обработки металлов, как прокатка, вальцовка, ковка. Величину напряжений смятия в конструкцияхобычно ограничивают допускаемым напряжением смятия, которое определяется характером соприкасающихся поверхностей, свойствами используемого материала и его ориентацией относительно действующих нагрузок(например, в случае древесины – вдоль или поперек волокон).ПримерПодобрать диаметр заклепок, соединяющих накладки с листом;проверить прочность заклепок на смятие и листов на разрыв.
Материаллистов и заклепок – прокат из стали Ст3.Дано: F = 8 кН; t1 = 5 мм; t2 = 3 мм; b = 50 мм; σт= 235 МПа.Решение1. Определение диаметра заклепокДопускаемые напряжения, рассчитанные на основе механическойхарактеристики – предела текучести и нормативного коэффициента запаса:[σ р ] = σ т[nт ] = 235 1,5 = 156,7 МПа ≈ 160 МПа ;[τ] = 0,6 [σ] = 0,6 ⋅160 = 96 МПа ;[σ см ] = (2 ÷ 2,5)[σ р ] = (2 ÷ 2,5) ⋅ 160 = (320 ÷ 400) МПа.Допускаемые напряжения согласно рекомендациям табл.
П2:t2 t1 t2[σр] = 125 МПа; [τср] = 75 МПа; [σсм] = 190 МПа.Из двух значений допускаемого напряжения на срез (96 и 75 МПа) принимаемdменьшие значения допускаемого напряжеF/2ния [τср] = 75 МПа. Из условия прочностипри срезеQF/2τ=≤ [τ ] ,Aсропределяем требуемую площадь поперечного сечения заклепок.Стержень заклепки подвергается перерезыванию в двух плоскостях; средняячасть заклепки сдвигается вправо.
Суммарная площадь среза4QQ πd 2=,Aср ≥m ⋅ n, ⇒ d ≥[τ] 4π ⋅ m ⋅ n ⋅ [τ ]где m = 2 – количество плоскостей среза заклепки;54bFn = 3 – количество заклепок.4 ⋅ 8000d≥= 0,00476 м. Принимаем d = 5 мм.π ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 75 ⋅ 106dсмятиеtF/22. Проверка заклепок на смятиеДавление, передающееся на поверхность заклепки от листа, распределяется неравномерно, посложной зависимости, изменяясь от нуля до значительных величин (рис. 4.4). На практике, чтобы вы- Fсрезчислить условное напряжение смятия необходимоАсмF/2разделить силу, приходящуюся на заклепку, на площадь диаметрального сечения.
Эта площадь представляет собой прямоугольник, одной стороной которой служит диаметр заклепки, другая сторона равна толщине листа, передающего давление на стерРис. 4.5. Поверхностижень заклепки. Так как толщина среднего листа среза и смятия в заклепочном соединениименьше суммы толщин обеих накладок, то в худших(наиболее опасных) условиях по смятию будетименно средняя часть заклепки.
Условие прочности на смятие:Fσ см =≤ [σ см ],AсмАсм = d ⋅ t1 ⋅ n = 5 ⋅ 5 ⋅ 3 = 75 мм 2 .8000FНσ см =Тогда== 106,7= 106,7 МПа .75Aсммм 2Прочность на смятие обеспечена.гдеt13. Проверка прочности листа на разрывОпасным считается сечением листа, прохоbдящее через заклепочные отверстия; здесь рабочаяширина листа является наименьшей. Площадь сечения листа, ослабленного заклепочными отверстиями (площадь «живого» сечения)Аразр = b ⋅ t1 − n ⋅ d ⋅ t1 = t1 (b − n ⋅ d ) = 5(50 − 3 ⋅ 5) = 175 мм2 ;d8000Рис.
4.6. Определение= 45,7 МПа , что меньше допускаемого175площади «живого»сечения листа[σ] = 125 МПа.Вывод. Из условия прочности на сдвиг подобран диаметр двухсрезных заклепок. Условия прочности на смятие заклепок и разрыва листа выполняются.σ разр =555. КРУЧЕНИЕ ПРЯМОГО БРУСАКРУГЛОГО ПОПЕРЕЧНОГО СЕЧЕНИЯКручение – вид сопротивления, при котором в поперечных сеченияхбруса возникает только один внутренний силовой фактор – крутящиймомент Т. Остальные силовые факторы (N, Qy, Qz, My, Mz) отсутствуют.Вал – брус, работающий на кручение.Принято внешние силовые факторы называть вращающими или скручивающими моментами и обозначать М; внутренние усилия – крутящим моментомТ (от англ.
torsion, torque )В расчетах на прочность и жесткость при кручении знак крутящегомомента значения не имеет, но для удобства построения эпюр принятоправило:Крутящий момент считают положительным, если при взгляде вторец отсеченной части бруса он стремится вращать сечение противхода часовой стрелки.Положительный крутящий момент вызывает положительные касательные напряжения5.1. ВНУТРЕННИЕ УСИЛИЯ ПРИ КРУЧЕНИИНа основании метода сечений крутящий момент в произвольном поперечном сечении бруса численно равен алгебраической сумме внешнихскручивающих моментов, приложенных к брусу по одну сторону от рассматриваемого сечения.М1IМ2IIМ3IIIМ4М1хТTIIITInМ4хnТIII+–ТIТIIабвРис. 5.1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
