sem_11 (817235), страница 7
Текст из файла (страница 7)
Эти точки принадлежатдиаметру круга. Из левой точки пересечения кругас осью абсцисс проводим луч под углом α = –30°.ВС0σ Координаты точки пересечения луча с кругом –αискомые напряжения σα и τα.Вывод . Аналитическим и графическимσαспособами найдены нормальные и касательныенапряжения, действующие на наклонной площадке.Результаты решений совпали.τατα =3.6. ГРАФИЧЕСКОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ГЛАВНЫХ НАПРЯЖЕНИЙПо сравнению с материалом, изложенным в § 3.5, такую задачуиногда называют обратной, поскольку на практике чаще встречаетсяситуация, при которой напряжения на наклонных площадках известны(например, по результатам тензометрических испытаний), а главныенапряжения требуется найти.
Напряженное состояние грани D (рис. 3.9, а)характеризуется парой координат в системе σ – τ (рис. 3.9, б): D (σx, τxy).Аналогично для грани F (σy, τyx).36Прямая DF – диаметр круга с центром в точке С. Круг отсекает наоси абсцисс максимальное σ1 и минимальное σ2 напряжения:σ1 = 0С + СВ; σ2 = 0С − АС .FσxτxyDσ20АCτyxDτ2ασ1EτxyσyВFτyxσσ2σyРσxабσ1Рис. 3.9. Напряженное состояние на произвольно выделенных площадках(а) и построение круга Мора (б) для определения величины главных напряжений и положения главных площадокРасстояние до центра круга 0С =σx + σ y2.Радиус круга СA = CB = CD = CE 2 + DE 2 .σx − σ yКатеты треугольника CDE: CE =; DE = τ xy .2Радиус круга – гипотенуза треугольника CDE2⎛ σx − σ y ⎞⎟⎟ + τ2xy .CA = CB = ⎜⎜2⎝⎠Таким образом, величина главных напряженийσx + σ y2⎛ σx − σ y ⎞⎟⎟ + τ 2xy .± ⎜⎜(3.7)σ max,min =22⎝⎠Положение главных площадок находим с использованием полюсаР.
Через точку D на круге проводим вертикальную линию (штриховка),соответствующую вертикальному положению грани D (рис. 3.9, а). Дляграни F, ориентированной горизонтально, проводим горизонтальнуюлинию до пересечения с кругом. Точка пересечения этих линий являетсяполюсом Р. Соединив полюс Р с точкой В, найдем положение главнойплощадки σ1, а с точкой А – главной площадки σ2.Направление главного напряжения определяют тангенсом угла 2ατ xyDE.tg 2α ==CE ⎛ σ x − σ y ⎞⎟⎟⎜⎜2⎠⎝37Для рассматриваемого случая главное напряжение σ1 повернуто походу часовой стрелки относительно большего алгебраически напряженияσх. Следовательно, в формуле должен быть знак минус:2 τ xy.(3.8)tg 2α = −σx − σ yПримечание.
Согласно приведенной формулы значение аргумента2α функции тангенса не может превышать 90°, следовательно, значениеугла α не может превышать 45°. Из этого следуют правила:направление большего из главных напряжений откладывают отбольшего из заданных напряжений σх, или σу;положительное значение угла α откладывают против хода часовойстрелки;направление σmax всегда проходит через те две четверти осейкоординат, к которым сходятся стрелки τxy и τyx;если одно из главных напряжений окажется отрицательным, тополученные напряжения обозначают σ1 и σ3; если отрицательны оба, то σ2 и σ3.Пример 3.2250200300Известны нормальные и касаσx = –200 МПа;тельные напряжения, действующие σ = 300 МПа;yна двух парах граней выделенного τ = –250 МПа;xyэлементарного объема материала.
τ = 250 МПа.yxТребуется определить положениеглавных площадок и величину главных напряжений.Решение аналитическоеВеличины главных напряжений22⎛ σx − σ y ⎞− 200 + 300⎛ − 200 − 300 ⎞2⎟⎟ + τ 2xy =± ⎜⎜± ⎜σ max, min =⎟ + (− 250 ) ;222⎝⎠⎝ 2 ⎠σ max = 50 + 354 = 404 МПа = σ1; σ 2 = 0;σ min = 50 − 354 = −304 МПа = σ 3 .Индексы главным напряжениям присваиваем исходя из соотношениямежду ними σ1 ≥ σ 2 ≥ σ 3 , а также учитывая, что одно из трех напряженийσx + σ yна площадке, обращенной к зрителю, равно нулю.Положение главных площадокα− 2τ xy− 2(− 250)tg 2α === −1,0; 2α = −45,0D ; α = −22,5D .σ x − σ y − 200 − 300Изображаем площадку под действием главных напряжеσ3ний.
Знак угла α отрицательный, поэтому угол откладываσ138ем по ходу часовой стрелки от вертикали, то есть от направления большегоалгебраически из заданных напряжений (σу направлено вертикально). Линия действия максимальных главных напряжений σ1 проходит через I и IIIквадранты, где расположены ребра параллелепипеда, к которым стягиваются касательные напряжения τ, стремящиеся сдвинуть грани так, чтобыпреобразовать квадратв ромб.300200100Решение графическоеВ координатной системе σ – τ, используя выбранныймасштаб, отложим напряженное состояние гранейτxyD(σx, τxy) и F(σy, τyx), то есть D(–200; –250) и F(300; 250).DОтрезок DF –σxFдиаметр круга;ττyxточка пересече300FσyPния отрезка DF200с осью абсцисс – центр круга.
Рас100стояниями от начала координат доσточек пересечения окружности с σ3σ1осью абсцисс определяются велиσ3чины главных напряжений. Полюсσ1DР находим, продлевая до пересечеσ3σ1ния с окружностью линий, соответствующих положению грани D (вертикальная) и грани F (горизонтальная).Линия, соединяющая полюс Р с точкой, соответствующей σ1, определяетположение первой главной площадки, а с точкой, соответствующей σ3 –положение второй главной площадки.Вывод .
Аналитическим путем и графическим построением определена ориентация главных площадок в выделенном объеме нагруженноготела. Найдены значения главных нормальных напряжений. Результатыаналитического и графического решения совпали.3.7. ОБЪЕМНОЕ НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕПри объемном напряженном состоянии, когда σ1 ≥ σ2 ≥ σ3 ≠ 0 вокрестности исследуемой точки выделяют элементарный кубик с гранями,параллельными главным площадкам. Через кубик проводят площадку(заштирихована) параллельно σ3 (рис. 3.10, а). Напряжения σα, τα на этойплощадке зависят только от σ1 и σ2. Используют приемы и формулы(3.3–3.8) для плоского напряженного состояния. Диаметр круга напряжений LI (рис.
3.11) равен разности σ1 – σ2. Аналогично для площадки,параллельной σ1 (рис. 3.10, б); диаметр круга напряжений LII определяетсяразностью σ2 – σ3. То же для площадки, параллельной σ2 (рис. 3.10, в).Для произвольно ориентированной площадки D напряжения определяют по формулам39σ2σ2σ1σ1σ3σ2σ3LIаLIIσ1σ3бLIIIвРис. 3.10. Выделение в элементе, находящемся в трехосном состоянии,площадок, напряженное состояние которых не зависит от главногонапряжения: а – σ3; б – σ1; в – σ2σα = σ1 cos2 α1 + σ2 cos2 α2 + σ3 cos2 α3 ;LII0σ3σ2τατmaxσατ(3.9)τα = σ12 cos2 α1 + σ 22 cos2 α2 + σ32 cos2 α3 − σ 2α .Здесь α1, α2 и α3 – углы междунормалью к рассматриваемой площадкеи нормалями к главным площадкам.DДля объемного напряженного состояния справедливо свойство суммынормальных напряжений, инвариантσной по отношению к наклону площадок:σ x + σ y + σ z = σ1 + σ 2 + σ3 = const .
(3.10)LIСумма нормальных напряжений,действующих по любым трем взаимноσ1перпендикулярным площадкам, прохоРис. 3.11. Круги Мора, построенныедящим через рассматриваемую точку,для объемного напряженного соесть величина постоянная.стоянияИз круга Мора (рис. 3.11) следует,что экстремальные касательные напряжения действуют по площадкам,параллельным главному напряжению σ2. Площадки наклонены к главнымнапряжениям σ1 и σ3 под углом 45°.
Значения экстремальных касательныхнапряжений:σ − σ3τ max,min = 1.(3.11)2LIII3.8. ДЕФОРМИРОВАННОЕ СОСТОЯНИЕНаряду с напряженным состоянием различают и деформированноесостояние – совокупность относительных удлинений и углов сдвига длявсевозможных направлений осей, проведенных через рассматриваемуюточку. Нормальные напряжения σ вызывают удлинение граней, оцениваемое относительной линейной деформацией ε. Касательные напряжениявызывают сдвиг граней, оцениваемый относительным углом сдвига γ.40Главныеде11⎛⎞формации – отноγ xyγ xz ⎟⎜ εxγyxγyz22сительные удлинения⎜⎟11реберпараллелепипе⎜γxyTε = γ yx ε yγ yz ⎟γzy⎜2⎟2да, параллельные глаεz11⎜⎟εx вным напряжениям;γ zxγ zy ε z ⎟⎜γzx γxz2в направлении глав⎝2⎠xных деформаций углыzсдвига отсутствуют;⎛ ε1 0 0 ⎞Tε = ⎜ 0 ε 2 0 ⎟ε1 ≥ ε2 ≥ ε3.⎜⎟00ε3⎝⎠Для главных направлений тензор деформаций имеет вид:yεy3.9.
ОБОБЩЕННЫЙ ЗАКОН ГУКА ДЛЯ ИЗОТРОПНОГО ТЕЛАСогласно закону Гука в направлении каждого нормальногонапряжения σ1, σ2, σ3 происходит продольная деформация ε1, ε2, ε3.Одновременно согласно эффекту Пуассона, в поперечных направленияхпроисходят противоположные по знаку деформации. Таким образом, вкаждом из трех направлений проходит по одной продольной и по двепоперечных деформации.Напряжения, вызвавшие удлинения ребер2cbabсДеформации реберσ22acσ13ε1′ =2a1bcε1′′ = −με 2 = −μσ1;Eσε′3 = −με1 = −μ 1 .Eε ′2 = −με1 = −μbσ313σ1;Eaε ′2′ =1σ2;Eσ2;Eε ′3′ = −με 2 = −μσ2.E3σ3;Eσε ′2′′ = −με 3 = −μ 3 ;Eσε ′3′′ = 3 .Eε1′′′ = −με 3 = −μИспользуя принцип суперпозиции и, складывая эти деформации, получим суммарные относительные удлинения в направлениях напряжений:1[σ1 − μ(σ 2 + σ3 )];E1ε 2 = [σ 2 − μ(σ3 + σ1 )];E1ε 3 = [σ3 − μ(σ1 + σ 2 )].Eε1 =41(3.12)Если грани элементарного параллелепипеда не совпадают с главными площадками, то по ним действуют касательные напряжения, не удлиняющие или укорачивающие грани, а вызывающие лишь изменение прямых углов между его гранями.
На основании инвариантности суммы нормальных напряжений (3.6) обобщенный закон Гука может быть представлен в виде:[[[()]])]1σx − μ σ y + σz ,E1ε y = σ y − μ (σ z + σ x ) ,E1εz = σz − μ σx + σ y ,Eεx =(γ xy =γ yz =γ xzτ xyGτ yz;;Gτ= xz .G(3.13)3.10. ИЗМЕНЕНИЕ ОБЪЕМА ТЕЛАОбъем параллелепипеда до деформацииV = a ⋅b⋅c .Объем в деформированном состоянииV = a1 ⋅ b1 ⋅ c1 ,a1 = a + Δa = a + aε1 = a (1 + ε1 );гдеb1 = b + Δb = b + bε 2 = b(1 + ε 2 );c1 = c + Δc = c + cε 3 = c (1 + ε 3 ).Изменение объема телаc2σ2σ33abσ11ΔV V1 − V a1⋅ b1⋅ c1 − a ⋅ b ⋅ c===VVa ⋅b⋅ca ⋅ b ⋅ c (1 + ε1 )(1 + ε 2 )(1 + ε 3 ) − abc== (1 + ε1 )(1 + ε 2 )(1 + ε 3 ) − 1.a ⋅b⋅cθ=Пренебрегая величинами второго и третьего порядка малости (произведеΔVθ== ε1 + ε 2 + ε 3 .(3.14)ния εi), получимVОтносительное изменение объема равно сумме трех главных деформаций.Подставив εi из обобщенного закона Гука, получимΔV 1 − 2μ(σ1 + σ 2 + σ3 ).θ==VEДля произвольно ориентированных площадокΔV 1 − 2μθ==σx + σ y + σz .VE(Анализ формул приводит к выводам:42)(3.15)(3.16)для материалов (каучук, парафин) с большим значением μ = 0,47 деформация будет происходить без изменения объема при любом из способов нагружения;для любого материала деформация происходит без изменения объема, если σ1+σ2+σ3 = 0.
Например, при кручении σ2 = 0, σ3 = -σ1. Изменяетсялишь форма (углы между гранями);изменение объема происходит безσ1 = σ2 = σ3 = σ0 (гидростатическое сжатие);измененияформы,есликоэффициент Пуассона не может превышать значения 0,5, посколькупри μ > 0,5 материал уменьшается в объеме при растяжении.Примечание: формулы действительны при напряжениях, не превышающих предела пропорциональности3.11. ПРИМЕРЫ РАЗЛИЧНЫХ ВИДОВ НАПРЯЖЕННОГО СОСТОЯНИЯОдин и тот же материал может проявлять резко различные характеристики прочности и пластичности в зависимости от схемы напряженногосостояния.1.
Растяжение гладких образцов ДО образования шейки. Линейное НСτ⎛ σ1 0 0 ⎞σ1σ1⎜⎟FFT000=⎟σ ⎜σ⎜ 0 0 0⎟⎝⎠2. Сжатие образцов при смазке торцевых поверхностей. Линейное НСτ⎛0 0 0 ⎞σ3 σ3FFTσ = ⎜ 0 0 0 ⎟⎟⎜σ⎝ 0 0 − σ3 ⎠3. Цистерна, сферическая оболочка под давлением. Плоское НСσ1σ2τ⎛ σ1 0⎜σ1Tσ = ⎜ 0 σ 2рσ2σ⎜00⎝0⎞⎟0⎟0 ⎟⎠4.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
