sem_11 (817235), страница 6
Текст из файла (страница 6)
Проектный расчет из условия жесткостиПод действием внешней нагрузки стержень деформируется; сечениябалки изменяют свое положение в пространстве. Установим связь междувнутренним усилием, деформацией стержня и перемещением заданногосечения конструкции. Покажем схему в исходном и деформированном(пунктирные линии) состояниях (рис. в).
Контролируемое перемещениесечения балки в точке D приложения силы δF связано с перемещением узла С точки прикрепления стержня к балке соотношением:DD′ 3a== 3, что следует из подобия треугольников BDD′ и BCC ′ .CC ′ aВследствие перемещения узла С стержень укорачивается на ΔA = CC ′ ⋅ sin α .N ⋅AN ⋅ 2a.=E ⋅ A E ⋅ A ⋅ cos αЗдесь ℓ – длина стержня, определяется из схемы нагружения (рис. а).
Тогдаиз условия жесткости конструкции:N ⋅ 2aδ F = DD ′ = 3CC ′ = 3≤ [δ F ] находим требуемое значениеE ⋅ A ⋅ sin α ⋅ cos αплощади поперечного сечения стержня6 ⋅ − 480000 ⋅ 13 ⋅ N ⋅ 2a=A≥= 3,33 ⋅ 10 −3 м 2 = 33,3 см 2 .11[δ F ]⋅E ⋅ sin α ⋅ cos α 0,01 ⋅ 2⋅10 ⋅ 0,5 ⋅ 0,866Деформацию стержня определяем по закону Гука: ΔA =Сравнивая результаты проектных расчетов из условия прочности ижесткости, назначаем большее из двух значений: 28,2 и 33,3 см2, удовлетворяющее обоим условиям, то есть А ≥ 33,3 см2.Выводы1. Выполнен поверочный расчет стержня.
Прочность элемента конструкции недостаточна.2. Для заданного размера поперечного сечения нагрузка F, приложенная к конструкции, не должна превышать 42,5 кН.3. Из условий прочности и жесткости при растяжении найдено значение площади поперечного сечения элемента конструкции,удовлетворяющее обоим условиям: 33,3 см2.293.
НАПРЯЖЕННО–ДЕФОРМИРОВАННОЕ СОСТОЯНИЕЕсли твердое тело нагружено системой сил, то через любую его точку можно провести бесчисленное множество различно ориентированныхплощадок, по которым действуют нормальные и касательные напряжения,вызывающие линейные и угловые деформации.3.1. ПОНЯТИЕ О НАПРЯЖЕННОМ СОСТОЯНИИНапряженное состояние – совокупность напряжений, действующих по всевозможным площадкам, проходящим через рассматриваемуюточку.Напряжение – величина, характеризующая интенсивность внутренних усилий, возникающих в деформируемом теле под влиянием внешнихвоздействий, то есть внутренняя сила, приходящаяся на единицу площадив окрестности рассматриваемой точки.Напряжение полное p – уравновешивающее внешнюю нагрузку.
Напряжение р – величина векторная, раскладывается на составляющие: понормали к сечению σ и в плоскости сечения τ, причем p2 = σ2 + τ2.Напряжение нормальное σ – перпендикулярное к сечению.yНапряжение касательное τ – дейстσyвующее в плоскости к сечению.τyzτyxτxyτzydyσzσxτzx τxzzdxdzxОбозначение индексов при напряжениях: первый соответствует площадке, нормаль к которой совпадает с направлениемоси (адрес площадки); второй указывает направление напряжений. Нормальные напряжения имеют только первый индекс.Правила знаковРис. 3.1. Нормальные и касательные напряжения, действующие по граням элементарного параллелепипедаНормальные напряжения вызывают удлинение или укорочение граней параллелепипеда. Растягиваю+σ+σщие напряжения считают положительными.Касательные напряжения вызывают смещениеграней, их сдвиг, изменение углов прямых на тупые иострые.
Касательное напряжение положительно, ес- +τли изображающий его вектор стремится вращатьгрань по ходу часовой стрелки.+τНапряженное состояние характеризуют тензором напряжений.Тензор (от лат. tensus напряженный, натянутый) – величина особогорода, задаваемая числами и законами их преобразования; является развитием и обобщением векторного исчисления и теории матриц.30В первой строке тензора ставят напряже⎛ σ x τ xy τ xz ⎞ния на первой площадке (х); во второй – на⎟⎜площадке у; в последней строке – на площадкеTσ = ⎜ τ yx σ y τ yz ⎟z. Тензор содержит девять компонентов.⎟⎜τПараллелепипед, выделенный в окрестноτσzxzyz⎠⎝сти рассматриваемой точки, должен находитьсяв равновесии при действии сил, приложенных к его граням.
Нормальныесилы, приложенные к граням параллелепипеда, взаимно уравновешены и,следовательно, три уравнения равновесия тождественно удовлетворяются.Составив уравнения суммы моментов всех сил относительно координатных осей x, y, z, можно получить следующие три равенства:τ xy = τ yx ; τ yz = τ zy ; τ xz = τ zx .Эти равенства называют законом парности касательных напряжений: если по какой-либо площадке действует некоторое касательноенапряжение, то по перпендикулярной к ней площадке будет действоватькасательное напряжение, равное по величине и противоположное по знаку.Вследствие закона парности касательных⎛ σ x τ xy τ xz ⎞напряжений тензор становится симметричным⎟⎜относительно главной диагонали.
Вместо девя- T = ⎜ τσ y τ yz ⎟ти компонентов независимыми оказываются σ ⎜ xy⎟только шесть.⎝ τ xz τ yz σ z ⎠С изменением ориентации параллелепипеда в пространстве выделенного объема напряженного тела соотношениемежду нормальными и касательными напряжениями будет изменяться.Следовательно, и запись тензора для одного и того же напряженного состояния будет различной.Примером сказанного могут служить разныеℓnварианты описания одного и того же вектора R наR oплоскости в зависимости от выбранной системыpкоординат (рис. 3.3). В системе k, ℓ: R(3, 4); в системе m, n: R(4, 3); в системе o, p: R(5, 0). Очевидно,последний вариант описания более удобен, поmскольку одна из проекций вектора равна его длине,kРис. 3.2. Варианты опи- а другая – равна нулю.Поэтому необходимо найти такое положениесания вектора R в разных системах коор- элементарного объема, чтобы количество дейстдинатвующих по его граням напря⎛ σ1 0 0 ⎞жений было минимальным.
Можно найти такую ори⎜⎟ентацию параллелепипеда, при которой по его граням Tσ = ⎜ 0 σ 2 0 ⎟действуют только нормальные напряжения (рис. 3.3).⎝ 0 0 σ3 ⎠Количество независимых компонент тензора в этомслучае уменьшается до трех.31Главные площадки – площадки, накоторых касательные напряжения отсутствуют.Главные напряжения – нормальныенапряжения, действующие по главным площадкам.Главные напряжения – нормальныенапряжения, принимающие экстремальныезначения.σ2σ2σ1σ1σ1σ3абвРис.
3.4. Виды напряженного состояния:а – линейное (одноосное); б – плоское(двухосное); в – объемное (трехосное)σ2yxzσ3σ1Рис. 3.3. Ориентация элементарного параллелепипеда, при которойпо граням действуют только нормальные напряженияГлавные напряжениянумеруют в порядке убывания σ1 ≥ σ 2 ≥ σ 3 .3.2. ЛИНЕЙНОЕ НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕРассмотрим простейший случай нагружения – растяжение (рис. 3.5, а).Площадь Аα наклонного сечения (рис. 3.5, в) больше площади А поперечного сечения (рис. 3.5, б):AnmAα =.cos αFFПолное напряжение pα в нааклонном сечении (рис. 3.5, в)nmменьше нормального напряmnnжения σ в поперечном сечеσαнии (рис.
3.5, б):ααpα Npασ NNNαpα =; σ= .AAαταAαAnmnПолное напряжение pα рас- бвгкладывают на проекции Рис. 3.5. Пример линейного напряженного состояния(которые всегда меньше) σαи τα (рис. 3.5, г)NNσ α = pα ⋅ cos α =cos α = cos 2 α = σ ⋅ cos 2 α;AαANNστ α = pα ⋅ sin α =sin α = cos α ⋅ sin α = sin 2α.2AαA32σ α = σ ⋅ cos 2 α,στ α = sin 2α.2Таким образом(3.1)(3.2)Выводы:а) любое из значений напряжений на наклонных площадках pα, σα, ταменьше напряжения σ в поперечном сечении, следовательно, не стольопасны;б) напряжения на наклонных площадках pα, σα, τα зависят от угла αнаклона площадки, а таких площадок в нагруженном теле можно выделитьбесчисленное множество, значит, и вариантов описания одного и того женапряженного состояния множество.Для практики интересны площадки, на которых возникают экстремальные значения напряжений. Для их отыскания приравнивают нулюпервую производную нормального напряжения по углу α.Экстремальные нормальные напряженияd σα= −2σ ⋅ cos α ⋅ sin α = −σ ⋅ sin 2α;dαd σα= 0 при sin 2α = 0; sin α = 0; α = 0.dαНа этой площадке τα=0 = 0; σmax= σ.
Следовательно, эта площадка является главной.Экстремальные касательные напряженияd τα σ= cos 2α;dα 2d τα= 0 при cos 2α = 0; 2α = 90D ; α = 45D.dαНа площадке под углом α = 45° τmax= σ/2. Полученным соотношением объясняется связь между допускаемыми напряжениями: [τ] = 0,5[σ] , которуюиспользуют в расчетах при кручении и сдвиге.σ1⎛ σ1 0 0 ⎞Тσ = ⎜ 0 0 0⎟⎜ 0 0 0⎟⎝⎠τ⎛0 0 0 ⎞σ3Тσ = ⎜0 0 0 ⎟⎜⎟⎝ 0 0 − σ3 ⎠σσ1Рис. 3.6. Изображение одноосного растяжения (слева), сжатия (справа)и соответствующие им тензоры напряжений и круги Мора33τσσ33.3.
ПЛОСКОЕ НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕσ2σ2σ1σ1σααταЕсли к выделенному элементу приложено только σ1, тонапряжение на наклонной площадкеσ′α = σ1 ⋅ cos 2 α .α+90°Рис. 3.7. Нормальные и касательные напряжения при плоском напряженном состоянииЕсли действует только σ2, то()σ′α′ = σ 2 ⋅ cos2 α + 90D = σ 2 ⋅ sin 2 α .В случае, когда действуют обаглавных напряжения σ1 и σ2, то, пользуясь принципом суперпозиций, получимσ α = σ1 ⋅ cos2 α + σ 2 ⋅ sin 2 α .(3.3)Для касательных напряжений только от σ1 или только от σ2,σστ′α = 1 sin 2α;τ′α′ = 2 sin 2 α + 90D .22В случае действия обоих главных напряженийσ − σ2(3.4)τα = 1sin 2α .2Экстремальные значения нормальных и касательных напряженийнаходят, приравнивая к нулю первые производные напряжений по углуdσ αdτα= 0.=0 иdαdαПолучают σmax = σ1 при α = 0, τ = 0.
Это – главная площадка.σ − σ2τ max = 1при α = 45D .2Площадки, по которым касательные напряжения имеют экстремальные значения, называют площадками сдвига.()3.4. СВОЙСТВА НОРМАЛЬНЫХ И КАСАТЕЛЬНЫХ НАПРЯЖЕНИЙСвойство суммы нормальных напряженийβσβσαασ1σ2Для площадки, ориентированной под угломβ = α + 90°σβ = σ1 ⋅ cos 2 β + σ 2 ⋅ sin 2 β;()()σβ = σ1 ⋅ cos 2 α + 90D + σ 2 ⋅ sin 2 α + 90D .σβ = σ1 ⋅ sin 2 α + σ 2 ⋅ cos 2 α .34(3.5)Сложив σα и σβσ α + σβ = σ1 cos2 α + σ 2 sin 2 α + σ1 sin 2 α + σ 2 cos2 αи преобразовав, получим: σ α + σβ = σ1 + σ 2 = const .(3.6)Сумма нормальных напряжений, действующих по двум взаимноперпен-дикулярным площадкам, инвариантна по отношению к наклонуэтих площадок и равна сумме главных напряжений.Свойство второеσ − σ2σ − σ2σ − σ2τβ = 1sin 2β; τβ = 1sin 2 α + 90D ; τβ = − 1sin 2α = − τ α .222Получен закон парности касательных напряжений (см. 3.1)τβ = − τα .(3.7)()3.5.
ГРАФИЧЕСКОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ НАПРЯЖЕНИЙНА НАКЛОННЫХ ПЛОЩАДКАХ. КРУГ МОРАИзвестны значения главных напряжений σ1 и σ2, требуется найти напряженияτна наклонных площадках. В системеα Cкоординат σ – τ построен круг диаметромАEВ σ АВ, равным разности главных напряжений02ασ2АВ = 0B – 0A = σ1 – σ2 (рис. 3.8). Из левойFточки (А) пересечения круга с осьюσβабсцисс проведен луч под углом α.σαАбсциссой точки D пересечения луча сσ1кругом определяется нормальное напряРис. 3.8.
Круг Мора для опредежение σα на наклонной площадке,ления напряжений на наклонординатой точки D – касательное τα.ных площадкахНапряженное состояние перпендикулярной площадки определяется координатами точки F(σβ, –τα). Радиускруга равен полуразности главных напряженийσ − σ2CD = CB = 1.2Абсцисса центра круга – среднее арифметическое главных напряженийσ + σ2.0C = 12Нормальное напряжение σα на наклонной площадке равно сумме отрезковσ + σ 2 σ1 − σ 2σ α = 0 E = 0C + CE = 0C + CD ⋅ cos 2α = 1cos 2α;+22σσσσσ α = 1 + 1 cos 2α + 2 − 2 cos 2α;2222σ1σ2(1 − cos 2α ).σ α = (1 + cos 2α ) +22ταD2 cos2α2 sin2α35σα = σ1⋅ cos2 α + σ2⋅ sin2 α .(3.3)Касательное напряжение на наклонной площадке τα = DE = CD·sin 2ασ − σ2(3.4)τα = 1sin 2α .2Приведенные формулы по виду и нумерации совпадают формулами в §3.3.На практике нахождение напряжений на наклонных площадках иногданазывают прямой задачей.Пример 3.1200B 400CαnИзвестны два главных напряжения (МПа),приложенных к элементарному параллелепипеду.Требуется найти нормальные и касательные напряжения,действующие на площадке, наклоненной под заданнымуглом α = –30°.Решение аналитическоеРуководствуясь соотношением σ1 ≥ σ2 ≥ σ3, присваиваем индексы главнымнапряжениям: σ1 = 200 МПа, σ2 = 0, σ3 = –400 МПа.()()σ α = σ1⋅ cos 2 α + σ 2⋅ sin 2 α = 200 ⋅ cos 2 − 30D + (− 400 ) ⋅ sin 2 − 30D = 50 МПа .()200 − (− 400)σ1 − σ 2sin 2α =sin 2 − 30D = −260 МПа .22Решение графическоеВ координатных осях σ – τ откладываем напряженное состояниеплощадок В и С, выраженное парой координат (σ,ττ): В(–400; 0); С(200; 0).