sem_11 (817235), страница 6

Файл №817235 sem_11 (методическое пособие по всему курсу) 6 страницаsem_11 (817235) страница 62020-11-19СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 6)

Проектный расчет из условия жесткостиПод действием внешней нагрузки стержень деформируется; сечениябалки изменяют свое положение в пространстве. Установим связь междувнутренним усилием, деформацией стержня и перемещением заданногосечения конструкции. Покажем схему в исходном и деформированном(пунктирные линии) состояниях (рис. в).

Контролируемое перемещениесечения балки в точке D приложения силы δF связано с перемещением узла С точки прикрепления стержня к балке соотношением:DD′ 3a== 3, что следует из подобия треугольников BDD′ и BCC ′ .CC ′ aВследствие перемещения узла С стержень укорачивается на ΔA = CC ′ ⋅ sin α .N ⋅AN ⋅ 2a.=E ⋅ A E ⋅ A ⋅ cos αЗдесь ℓ – длина стержня, определяется из схемы нагружения (рис. а).

Тогдаиз условия жесткости конструкции:N ⋅ 2aδ F = DD ′ = 3CC ′ = 3≤ [δ F ] находим требуемое значениеE ⋅ A ⋅ sin α ⋅ cos αплощади поперечного сечения стержня6 ⋅ − 480000 ⋅ 13 ⋅ N ⋅ 2a=A≥= 3,33 ⋅ 10 −3 м 2 = 33,3 см 2 .11[δ F ]⋅E ⋅ sin α ⋅ cos α 0,01 ⋅ 2⋅10 ⋅ 0,5 ⋅ 0,866Деформацию стержня определяем по закону Гука: ΔA =Сравнивая результаты проектных расчетов из условия прочности ижесткости, назначаем большее из двух значений: 28,2 и 33,3 см2, удовлетворяющее обоим условиям, то есть А ≥ 33,3 см2.Выводы1. Выполнен поверочный расчет стержня.

Прочность элемента конструкции недостаточна.2. Для заданного размера поперечного сечения нагрузка F, приложенная к конструкции, не должна превышать 42,5 кН.3. Из условий прочности и жесткости при растяжении найдено значение площади поперечного сечения элемента конструкции,удовлетворяющее обоим условиям: 33,3 см2.293.

НАПРЯЖЕННО–ДЕФОРМИРОВАННОЕ СОСТОЯНИЕЕсли твердое тело нагружено системой сил, то через любую его точку можно провести бесчисленное множество различно ориентированныхплощадок, по которым действуют нормальные и касательные напряжения,вызывающие линейные и угловые деформации.3.1. ПОНЯТИЕ О НАПРЯЖЕННОМ СОСТОЯНИИНапряженное состояние – совокупность напряжений, действующих по всевозможным площадкам, проходящим через рассматриваемуюточку.Напряжение – величина, характеризующая интенсивность внутренних усилий, возникающих в деформируемом теле под влиянием внешнихвоздействий, то есть внутренняя сила, приходящаяся на единицу площадив окрестности рассматриваемой точки.Напряжение полное p – уравновешивающее внешнюю нагрузку.

Напряжение р – величина векторная, раскладывается на составляющие: понормали к сечению σ и в плоскости сечения τ, причем p2 = σ2 + τ2.Напряжение нормальное σ – перпендикулярное к сечению.yНапряжение касательное τ – дейстσyвующее в плоскости к сечению.τyzτyxτxyτzydyσzσxτzx τxzzdxdzxОбозначение индексов при напряжениях: первый соответствует площадке, нормаль к которой совпадает с направлениемоси (адрес площадки); второй указывает направление напряжений. Нормальные напряжения имеют только первый индекс.Правила знаковРис. 3.1. Нормальные и касательные напряжения, действующие по граням элементарного параллелепипедаНормальные напряжения вызывают удлинение или укорочение граней параллелепипеда. Растягиваю+σ+σщие напряжения считают положительными.Касательные напряжения вызывают смещениеграней, их сдвиг, изменение углов прямых на тупые иострые.

Касательное напряжение положительно, ес- +τли изображающий его вектор стремится вращатьгрань по ходу часовой стрелки.+τНапряженное состояние характеризуют тензором напряжений.Тензор (от лат. tensus напряженный, натянутый) – величина особогорода, задаваемая числами и законами их преобразования; является развитием и обобщением векторного исчисления и теории матриц.30В первой строке тензора ставят напряже⎛ σ x τ xy τ xz ⎞ния на первой площадке (х); во второй – на⎟⎜площадке у; в последней строке – на площадкеTσ = ⎜ τ yx σ y τ yz ⎟z. Тензор содержит девять компонентов.⎟⎜τПараллелепипед, выделенный в окрестноτσzxzyz⎠⎝сти рассматриваемой точки, должен находитьсяв равновесии при действии сил, приложенных к его граням.

Нормальныесилы, приложенные к граням параллелепипеда, взаимно уравновешены и,следовательно, три уравнения равновесия тождественно удовлетворяются.Составив уравнения суммы моментов всех сил относительно координатных осей x, y, z, можно получить следующие три равенства:τ xy = τ yx ; τ yz = τ zy ; τ xz = τ zx .Эти равенства называют законом парности касательных напряжений: если по какой-либо площадке действует некоторое касательноенапряжение, то по перпендикулярной к ней площадке будет действоватькасательное напряжение, равное по величине и противоположное по знаку.Вследствие закона парности касательных⎛ σ x τ xy τ xz ⎞напряжений тензор становится симметричным⎟⎜относительно главной диагонали.

Вместо девя- T = ⎜ τσ y τ yz ⎟ти компонентов независимыми оказываются σ ⎜ xy⎟только шесть.⎝ τ xz τ yz σ z ⎠С изменением ориентации параллелепипеда в пространстве выделенного объема напряженного тела соотношениемежду нормальными и касательными напряжениями будет изменяться.Следовательно, и запись тензора для одного и того же напряженного состояния будет различной.Примером сказанного могут служить разныеℓnварианты описания одного и того же вектора R наR oплоскости в зависимости от выбранной системыpкоординат (рис. 3.3). В системе k, ℓ: R(3, 4); в системе m, n: R(4, 3); в системе o, p: R(5, 0). Очевидно,последний вариант описания более удобен, поmскольку одна из проекций вектора равна его длине,kРис. 3.2. Варианты опи- а другая – равна нулю.Поэтому необходимо найти такое положениесания вектора R в разных системах коор- элементарного объема, чтобы количество дейстдинатвующих по его граням напря⎛ σ1 0 0 ⎞жений было минимальным.

Можно найти такую ори⎜⎟ентацию параллелепипеда, при которой по его граням Tσ = ⎜ 0 σ 2 0 ⎟действуют только нормальные напряжения (рис. 3.3).⎝ 0 0 σ3 ⎠Количество независимых компонент тензора в этомслучае уменьшается до трех.31Главные площадки – площадки, накоторых касательные напряжения отсутствуют.Главные напряжения – нормальныенапряжения, действующие по главным площадкам.Главные напряжения – нормальныенапряжения, принимающие экстремальныезначения.σ2σ2σ1σ1σ1σ3абвРис.

3.4. Виды напряженного состояния:а – линейное (одноосное); б – плоское(двухосное); в – объемное (трехосное)σ2yxzσ3σ1Рис. 3.3. Ориентация элементарного параллелепипеда, при которойпо граням действуют только нормальные напряженияГлавные напряжениянумеруют в порядке убывания σ1 ≥ σ 2 ≥ σ 3 .3.2. ЛИНЕЙНОЕ НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕРассмотрим простейший случай нагружения – растяжение (рис. 3.5, а).Площадь Аα наклонного сечения (рис. 3.5, в) больше площади А поперечного сечения (рис. 3.5, б):AnmAα =.cos αFFПолное напряжение pα в нааклонном сечении (рис. 3.5, в)nmменьше нормального напряmnnжения σ в поперечном сечеσαнии (рис.

3.5, б):ααpα Npασ NNNαpα =; σ= .AAαταAαAnmnПолное напряжение pα рас- бвгкладывают на проекции Рис. 3.5. Пример линейного напряженного состояния(которые всегда меньше) σαи τα (рис. 3.5, г)NNσ α = pα ⋅ cos α =cos α = cos 2 α = σ ⋅ cos 2 α;AαANNστ α = pα ⋅ sin α =sin α = cos α ⋅ sin α = sin 2α.2AαA32σ α = σ ⋅ cos 2 α,στ α = sin 2α.2Таким образом(3.1)(3.2)Выводы:а) любое из значений напряжений на наклонных площадках pα, σα, ταменьше напряжения σ в поперечном сечении, следовательно, не стольопасны;б) напряжения на наклонных площадках pα, σα, τα зависят от угла αнаклона площадки, а таких площадок в нагруженном теле можно выделитьбесчисленное множество, значит, и вариантов описания одного и того женапряженного состояния множество.Для практики интересны площадки, на которых возникают экстремальные значения напряжений. Для их отыскания приравнивают нулюпервую производную нормального напряжения по углу α.Экстремальные нормальные напряженияd σα= −2σ ⋅ cos α ⋅ sin α = −σ ⋅ sin 2α;dαd σα= 0 при sin 2α = 0; sin α = 0; α = 0.dαНа этой площадке τα=0 = 0; σmax= σ.

Следовательно, эта площадка является главной.Экстремальные касательные напряженияd τα σ= cos 2α;dα 2d τα= 0 при cos 2α = 0; 2α = 90D ; α = 45D.dαНа площадке под углом α = 45° τmax= σ/2. Полученным соотношением объясняется связь между допускаемыми напряжениями: [τ] = 0,5[σ] , которуюиспользуют в расчетах при кручении и сдвиге.σ1⎛ σ1 0 0 ⎞Тσ = ⎜ 0 0 0⎟⎜ 0 0 0⎟⎝⎠τ⎛0 0 0 ⎞σ3Тσ = ⎜0 0 0 ⎟⎜⎟⎝ 0 0 − σ3 ⎠σσ1Рис. 3.6. Изображение одноосного растяжения (слева), сжатия (справа)и соответствующие им тензоры напряжений и круги Мора33τσσ33.3.

ПЛОСКОЕ НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕσ2σ2σ1σ1σααταЕсли к выделенному элементу приложено только σ1, тонапряжение на наклонной площадкеσ′α = σ1 ⋅ cos 2 α .α+90°Рис. 3.7. Нормальные и касательные напряжения при плоском напряженном состоянииЕсли действует только σ2, то()σ′α′ = σ 2 ⋅ cos2 α + 90D = σ 2 ⋅ sin 2 α .В случае, когда действуют обаглавных напряжения σ1 и σ2, то, пользуясь принципом суперпозиций, получимσ α = σ1 ⋅ cos2 α + σ 2 ⋅ sin 2 α .(3.3)Для касательных напряжений только от σ1 или только от σ2,σστ′α = 1 sin 2α;τ′α′ = 2 sin 2 α + 90D .22В случае действия обоих главных напряженийσ − σ2(3.4)τα = 1sin 2α .2Экстремальные значения нормальных и касательных напряженийнаходят, приравнивая к нулю первые производные напряжений по углуdσ αdτα= 0.=0 иdαdαПолучают σmax = σ1 при α = 0, τ = 0.

Это – главная площадка.σ − σ2τ max = 1при α = 45D .2Площадки, по которым касательные напряжения имеют экстремальные значения, называют площадками сдвига.()3.4. СВОЙСТВА НОРМАЛЬНЫХ И КАСАТЕЛЬНЫХ НАПРЯЖЕНИЙСвойство суммы нормальных напряженийβσβσαασ1σ2Для площадки, ориентированной под угломβ = α + 90°σβ = σ1 ⋅ cos 2 β + σ 2 ⋅ sin 2 β;()()σβ = σ1 ⋅ cos 2 α + 90D + σ 2 ⋅ sin 2 α + 90D .σβ = σ1 ⋅ sin 2 α + σ 2 ⋅ cos 2 α .34(3.5)Сложив σα и σβσ α + σβ = σ1 cos2 α + σ 2 sin 2 α + σ1 sin 2 α + σ 2 cos2 αи преобразовав, получим: σ α + σβ = σ1 + σ 2 = const .(3.6)Сумма нормальных напряжений, действующих по двум взаимноперпен-дикулярным площадкам, инвариантна по отношению к наклонуэтих площадок и равна сумме главных напряжений.Свойство второеσ − σ2σ − σ2σ − σ2τβ = 1sin 2β; τβ = 1sin 2 α + 90D ; τβ = − 1sin 2α = − τ α .222Получен закон парности касательных напряжений (см. 3.1)τβ = − τα .(3.7)()3.5.

ГРАФИЧЕСКОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ НАПРЯЖЕНИЙНА НАКЛОННЫХ ПЛОЩАДКАХ. КРУГ МОРАИзвестны значения главных напряжений σ1 и σ2, требуется найти напряженияτна наклонных площадках. В системеα Cкоординат σ – τ построен круг диаметромАEВ σ АВ, равным разности главных напряжений02ασ2АВ = 0B – 0A = σ1 – σ2 (рис. 3.8). Из левойFточки (А) пересечения круга с осьюσβабсцисс проведен луч под углом α.σαАбсциссой точки D пересечения луча сσ1кругом определяется нормальное напряРис. 3.8.

Круг Мора для опредежение σα на наклонной площадке,ления напряжений на наклонординатой точки D – касательное τα.ных площадкахНапряженное состояние перпендикулярной площадки определяется координатами точки F(σβ, –τα). Радиускруга равен полуразности главных напряженийσ − σ2CD = CB = 1.2Абсцисса центра круга – среднее арифметическое главных напряженийσ + σ2.0C = 12Нормальное напряжение σα на наклонной площадке равно сумме отрезковσ + σ 2 σ1 − σ 2σ α = 0 E = 0C + CE = 0C + CD ⋅ cos 2α = 1cos 2α;+22σσσσσ α = 1 + 1 cos 2α + 2 − 2 cos 2α;2222σ1σ2(1 − cos 2α ).σ α = (1 + cos 2α ) +22ταD2 cos2α2 sin2α35σα = σ1⋅ cos2 α + σ2⋅ sin2 α .(3.3)Касательное напряжение на наклонной площадке τα = DE = CD·sin 2ασ − σ2(3.4)τα = 1sin 2α .2Приведенные формулы по виду и нумерации совпадают формулами в §3.3.На практике нахождение напряжений на наклонных площадках иногданазывают прямой задачей.Пример 3.1200B 400CαnИзвестны два главных напряжения (МПа),приложенных к элементарному параллелепипеду.Требуется найти нормальные и касательные напряжения,действующие на площадке, наклоненной под заданнымуглом α = –30°.Решение аналитическоеРуководствуясь соотношением σ1 ≥ σ2 ≥ σ3, присваиваем индексы главнымнапряжениям: σ1 = 200 МПа, σ2 = 0, σ3 = –400 МПа.()()σ α = σ1⋅ cos 2 α + σ 2⋅ sin 2 α = 200 ⋅ cos 2 − 30D + (− 400 ) ⋅ sin 2 − 30D = 50 МПа .()200 − (− 400)σ1 − σ 2sin 2α =sin 2 − 30D = −260 МПа .22Решение графическоеВ координатных осях σ – τ откладываем напряженное состояниеплощадок В и С, выраженное парой координат (σ,ττ): В(–400; 0); С(200; 0).

Характеристики

Тип файла
PDF-файл
Размер
2,15 Mb
Тип материала
Высшее учебное заведение

Список файлов книги

Свежие статьи
Популярно сейчас
Как Вы думаете, сколько людей до Вас делали точно такое же задание? 99% студентов выполняют точно такие же задания, как и их предшественники год назад. Найдите нужный учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6525
Авторов
на СтудИзбе
301
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее