sem_11 (817235), страница 5
Текст из файла (страница 5)
Известны усилие N иплощадь A. Вычисляют σ = N/A и, сравнивая его с предельным σт или σв(для пластичного и хрупкого материалов соответственно), находят фактический коэффициент запаса прочностиnт =σтσ, nв = в ,σσкоторый затем сопоставляют с нормативным [n];б) проектный расчет (подбор сечения). Известны внутреннее усилиеN и допускаемое напряжение [σ]. Определяют требуемую площадь поперечного сечения стержняA ≥ [A] =N;[σ](2.14)в) определение грузоподъемности (несущей способности). Известныплощадь А и допускаемое напряжение [σ].
Вычисляют внутреннее усилиеN ≤ [N ] = A ⋅ [σ] ,(2.15)а затем в соответствие со схемой нагружения – величину внешней нагрузки F ≤ [F].2.5. РАСЧЕТЫ НА ЖЕСТКОСТЬ ПРИ РАСТЯЖЕНИИИногда наряду с условиями прочности добавляют ограничения наперемещение некоторых элементов конструкции, то есть вводят условиежесткости δ max ≤ [δ] , где [δ] – величина допускаемого перемещения (изменение положения в пространстве) некоторого контролируемого сечения.Деформацию растягиваемого или сжимаемого элемента вычисляют поформуле (2. 4) закона Гука.23A3dReA2A1fаF1F3сF2baIIIIIIxgбF1NIвxF1NII F2гxNIIIF365N,кН–σ,МПа+350д35+210δ,мкмF1F245130–480е83,3Пример 2.1.
Выполнить поверочный ипроектный расчеты ступенчатого бруса. Порезультатам проектного расчета построитьэпюру перемещения сечений. Исходные данные представлены в таблице:F1 = 45 кН; А1 = 5,4 см2; a = 0,3 м;F2 = 80 кН; А2 = 2,7 см2; b = 0,2 м;F3 = 30 кН; А3 = 3,1 см2; c = 0,4 м;Мат-л: сталь σт = 250 МПа E = 2·105 МПаРешениеРазбиваем брус на участки. Границейучастка считают: а) точку приложения силового фактора; б) изменение размеров илиформы поперечного сечения; в) изменениематериала бруса.
Брус одним концом защемлен, и в опоре возникает реакция R (рис. 2.5,а). Для нахождения внутренних усилий приподходе слева направо, придется определятьопорную реакцию R. Указанную процедуруможно избежать при подходе справа налево,то есть со свободного конца.1. Поверочный расчет217 жА. Определение внутренних усилий.Применяем методом сечений. РассекаемРис. 2.5. Схемы к определебрус на две части в произвольном сечениинию внутренних усилий,участка I. Отбрасываем одну из частей (ленапряжений и перемещевую).
Заменяем действие отброшенной частинию сеченийвнутренним усилием NI. Внутреннее усилиевсегда принимаем положительным, растягивающим; его вектор направлен от сечения (рис. 2.5, б). Уравнение равновесия составляем проецируявсе силы на продольную ось x бруса∑ x = 0; N I + F1 = 0; ⇒ N I = − F1 = −45 кН .Знак минус указывает на то, что усилие является сжимающим.Аналогично находим внутренние усилия на втором и третьем участках (рис. 2.5, в и г):∑ x = 0;∑ x = 0;N II + F1 − F2 = 0; ⇒ N II = − F1 + F2 = −45 + 80 = 35 кН.N III + F1 − F2 − F3 = 0; ⇒ N III = − F1 + F2 + F3 = −45 + 80 + 30 = 65 кН.Строим эпюру внутренних усилий – график, изображающий законизменения внутренних усилий по длине бруса.
Параллельно оси бруса проводим базисную линию (абсциссу графика) и по нормали к ней откладыва-24ем найденные выше значения внутренних усилий (ординаты графика) ввыбранном масштабе с учетом знака. Положительные значения откладываем выше базисной линии, отрицательные – ниже (рис. 2.5, д). Поскольку впределах каждого из участков внутренние усилия неизменны, высоты ординат графика – постоянны и огибающие линии (жирные) – горизонтальны.Б. Определение напряжений на каждом из участков:НN I − 45 ⋅ 103σI === −8,33 ⋅ 107 2 = −83,3 МПа;4−A1 5,4 ⋅ 10м335 ⋅ 10НNσ II = II == 1,30 ⋅ 108 2 = 130 МПа;4−A2 2,7 ⋅ 10м365 ⋅ 10N8 Нσ III = III =2,1010=⋅= 210 МПа.A3 3,1 ⋅ 10− 4м2Строим эпюру напряжений.В.
Коэффициенты запаса прочности по отношению к пределу текучести:σ250= 3,0; прочность избыточна;I участок : nт = т =σ I −83,3II участок : nт =σ т 250== 1,92; прочность обеспечена;σ II 130σ т 250== 1,19; прочность недостаточна.σ III 210Вывод: недогружен участок I, перегружен участок III. Для этих участков выполняем проектный расчет.III участок : nт =2. Проектный расчетN≤ [σ ] выполняем подИз условия прочности при растяжении σ =Aбор размеров поперечных сечений I и III участков, предварительно назначив допускаемое напряжение[σ ] = σ т = 350 = 175 МПа.[nт ] 2Нормативный коэффициент запаса прочности выбрали из рекомендуемого диапазона значений [nт] = 1,3–2,2.3N I − 45 ⋅ 10AI ≥== 2,57 ⋅ 10 −4 м 2 .6[σ] 175 ⋅10N III 65 ⋅ 103−4 2AIII ≥==3,71⋅10м .[σ ] 175 ⋅ 106253.
Определение перемещений сеченийА. Удлинения каждого из участков− 45 ⋅ 103 ⋅ 0,3NI ⋅ aΔA I === −263 мкм.E ⋅ AI 2 ⋅ 1011 ⋅ 2,57 ⋅ 10− 435 ⋅ 103 ⋅ 0,2N II ⋅ bΔA II === 130 мкм.E ⋅ AII 2 ⋅ 1011 ⋅ 2,7 ⋅ 10− 465 ⋅ 103 ⋅ 0,4N III ⋅ cΔA III === 350 мкм.E ⋅ AIII 2 ⋅ 1011 ⋅ 3,71 ⋅ 10− 4Б. Перемещения сечений. За начало отсчета принимаем сечение d.Оно защемлено, его перемещение равно нулю δd = 0.δ e = ΔA III = 350 мкм;δ f = ΔA III + ΔA II = 350 + 130 = 480 мкм;δ g = ΔA III + ΔA II + ΔA I = 350 + 130 − 263 = 217 мкм.Строим эпюру перемещений.Выводы1. Выполнен поверочный расчет ступенчатого бруса. Прочность одного из элементов обеспечена; другого – избыточна; третьего – недостаточна.2.
Из условия прочности при растяжении подобраны площади поперечных сечений двух элементов конструкции.3. По результатам проектного расчета вычислены деформации каждого элемента конструкции. Крайнее сечение переместится относительно защемления на 217 мкм в сторону от защемления.Пример 2.2. К стальному брусу постоянного сечения вдоль его оси приложены две силы. По условиям эксплуатации введено ограничение на величину перемещения [δ] концевого сечения С. Из условий прочности и жесткости подобрать размер поперечного сечения.F1 = 40 кН;F2 = 60 кН;a = 0,5 м;[σ] = 180 МПа;[δ] = 1 мм.Решение1. Определение внутренних усилийПокажем возникающую в опоре реакцию R; определение внутреннихусилий методом сечений начнем вести со свободного конца.
Ось х – продольная ось бруса (на рисунке не показана).I участок: ∑ x = 0; − N I + F1 = 0; ⇒ N I = F1 = 40 кН .II участок: ∑ x = 0; − N II + F1 − F2 = 0; ⇒ N II = F1 − F2 = 40 − 60 = −20 кН .26Строим эпюру внутренних усилий. Опасным является участок I, накотором действует Nmax = – 40 кН (пластичные материалы одинаково сопротивляются деформации растяжения и сжатия).F1CИз условия прочности при растяженииNσ = max ≤ [σ ]Aнаходим требуемую площадь поперечного сечениястержня–2аI2.
Проектный расчет из условия прочностиN, кНF2аII403N I − 40 ⋅ 10A≥== 2,22 ⋅ 10− 4 м 2 .6[σ] 180 ⋅ 10+20R3. Проектный расчет из условия жесткостиПеремещение сечения С является суммой двух слагаемых:N ⋅ 2a N II ⋅ aa(N I ⋅ 2 + N II ) ≤ [δ],δС = ΔA I + ΔA II = I+=E⋅AE⋅A E⋅Aоткуда требуемая площадь поперечного сечения стержняa0,5(N I ⋅ 2 + N II ) =A≥− 40 ⋅103 ⋅ 2 + 20⋅103 = − 1,5 ⋅ 10− 4 м 2 .11E ⋅ [δ]2 ⋅ 10 ⋅ 0,001()Сравнивая результаты проектных расчетов из условия прочности ижесткости, назначаем большее из двух значений площади поперечного сечения: 2,22 и 1,5 см2, удовлетворяющее обоим условиям: А ≥ 2,22 см2.2аFаαа2аFаαRyB RxNDδFCαD′бBC′Δℓ CαC′Пример 2.3.
Жесткая балка (еедеформацией пренебречь) подпертастальным стержнем (подкосом). Проверить прочность стержня. Определитьдопускаемую нагрузку F для заданногоразмера поперечного сечения стержня.Выполнить проектный F = 80 кН;расчет из условия проч- А = 15 см2;ности и жесткости ([δF]a = 1 м;– допускаемая величинаперемещения балки в α = 30°;точке приложения си- σт = 340 МПа;[δF] = 10 мм.лы).в27Решение1. Поверочный расчетА. Определение внутреннего усилия в стержнеРассекаем стержень на две части (рис.
а). Отбрасываем одну из частей и показываем внешнюю нагрузку F, внутреннее усилие N и две составляющих опорной реакции R (рис. б). Составляем такое уравнение равновесия, в которое не вошли бы опорные реакции:∑ M B = 0; F ⋅ 3a + N ⋅ a ⋅ sin α = 0;F ⋅3a80 ⋅3 ⋅1N =−=−= −480 кН.a⋅ sin α1 ⋅ 0,5Усилие в стержне сжимающее.Б. Определение напряженияN − 480 ⋅ 10 3σ= == −320 МПа.A15 ⋅ 10 − 4В. Коэффициент запаса прочностиσ340Фактический коэффициент запаса n т = т == 1,06 не входит вσ− 320рекомендуемый (нормативный) диапазон значений [nт ] = 1,3−2,3. Вывод:прочность недостаточна.2. Определение допускаемой нагрузки на конструкциюдля заданного размера поперечного сечения стержняN≤ [σ ] находим допусAкаемую нагрузку на стержень [N ] ≤ A ⋅ [σ ] = 15 ⋅ 10 − 4 ⋅ 170 ⋅ 10 6 = 255 кН.σ340Здесь допускаемое напряжение [σ ] = т == 170 МПа.
Нормативный[n т ] 2коэффициент запаса по текучести назначили из рекомендуемого диапазона[n т ] = 1,3 − 2,3.Из условия равновесия (см. этап 1) находим связь между допускаемой внешней нагрузкой [F] на конструкцию и внутренним усилием [N] встержне:− 255 ⋅ 0,5[F ] = − [N ]⋅ a ⋅ sin α == 42,5 кН .3a3Из условия прочности при растяжении σ =3. Проектный расчет из условия прочностиТребуемое значение площади поперечного сечения из условия прочности при растяжении:28− 480 ⋅ 10 3NA≥== 2,82 ⋅ 10 −3 м 2 = 28,2 см 2 .6[σ] 170 ⋅104.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
