sem_11 (817235), страница 8
Текст из файла (страница 8)
Вал под действием скручивающих моментов. Плоское НСτM⎛ σ1 0 0 ⎞σ3σ1Tσ = ⎜ 0 0 0 ⎟σ3⎟⎜σσ1M00σ−3⎠⎝435. Растяжение образца с концентратором напряжений (надрезом)Объемное одноименное НСτσ2σ2⎛ σ1 0⎜σ1FFTσ = ⎜ 0 σ 2σσ3⎜0σ3σ10⎝0 ⎞⎟0 ⎟σ 3 ⎟⎠6. Измерение твердости НВ, закрытая ковка в штампах, прессованиеОбъемное одноименное НС, трехосное сжатиеFσ3σ2 τ0 ⎞⎛ − σ1 0σ3⎜⎟σ1=−σ00T⎜⎟σ2σ⎜σ10 − σ 3 ⎟⎠⎝ 0σ27. Волочение проволоки, труб. Объемное разноименное НСτσ3σ30 ⎞⎛ σ1 0⎟⎜σ1σ1FTσ = ⎜ 0 − σ 2 0 ⎟σ2σ⎜ 0 0 −σ ⎟σ23⎠⎝8. Быстрый нагрев шара. Трехосное растяжениеσ2τ σ1σ2Δtσ3σ3 σσ19. Гидростатическое сжатие. Трехосное сжатиеσ2рτσ1σ2σ3σ1σ3σ⎛ σ1⎜Tσ = ⎜ 0⎜0⎝0σ200 ⎞⎟0 ⎟σ 3 ⎟⎠0 ⎞⎛ − σ1 0⎜⎟Tσ = ⎜ 0 − σ 2 0 ⎟⎜ 00 − σ 3 ⎟⎠⎝3.12.
ПОНЯТИЯ О ТЕОРИЯХ ПРОЧНОСТИТеории прочности используются для оценки прочности конструкцийв случае плоского и объемного напряженных состояний. При двух- итрехосном напряженном состояниях соотношения между нормальными икасательными напряжениями настолько разнообразны (тензор напряженийсодержит девять компонентов, из которых шесть независимы), что экспе-44риментальная проверка опасного состояния для каждого из соотношенийпрактически исключается.Задача несколько упрощается, если вместо шести компонентов напряжений рассматривать эквивалентные им три главных напряжения инайти такую их комбинацию, которая была бы равноопасной линейномунапряженному состоянию, то есть простому растяжению или сжатию.
Характеристики прочности и пластичности, полученные при испытании нарастяжение, достаточно полно приведены в справочной литературе.Суть теорий (гипотез, критериев) прочности состоит в том, что, определив главную причину разрушения материала (преимущественноевлияние того или иного фактора), можно подобрать соответствующее эквивалентное напряжение при сложном напряженном состоянии, а затем сопоставить его с простым одноосным растяжением, как показано на схеме.σ2σ3Заменитьσ1Сравнитьσэкв[σ] или σпредЭквивалентное напряжение σэкв – напряжение, которое следуетсоздать в растянутом образце, чтобы его напряженное состояние сталоравноопасным с заданным.Создан ряд теорий (гипотез, критериев) прочности (более 20), позволяющих определить вид функциональных зависимостей, представляющихсложное напряженное состояние эквивалентным ему одноосным напряженным состоянием.В качестве причин наступления опасного состояния считают: а) нормальные напряжения – разрушение хрупкое, путем отрыва; б) линейныедеформации; в) касательные напряжения – разрушение пластичное, путемсдвига; г) энергия деформации и другие.Следует заметить, что опасное состояние как для пластичных материалов (момент появления больших остаточных деформаций), так и дляхрупких (момент появления трещин) лежит на границе области упругогодеформирования.
Это позволяет при всех дальнейших вычислениях, относящихся к проверкам прочности, пользоваться формулами, выведеннымипри условии применимости закона Гука.ГИПОТЕЗА НАИБОЛЬШИХ НОРМАЛЬНЫХ НАПРЯЖЕНИЙ(первая теория прочности)Прочность при любом напряженном состоянии будет обеспечена,если максимальное нормальное напряжение не превзойдет допускаемого,определенного при простом растяжении:σэкв(I) = σ1 ≤ [σ].45Здесь [σ] – допускаемое напряжение при растяжении. Эту гипотезу связывают с именем Г. Галилея (XVII). Гипотеза пренебрегает действием двухдругих главных напряжений и не учитывает появления пластических деформаций; дает удовлетворительные результаты для хрупких материалов:стекло, керамика, камень, кирпич, бетон, гипс.ГИПОТЕЗА НАИБОЛЬШИХ ЛИНЕЙНЫХ ДЕФОРМАЦИЙ(вторая теория прочности)Прочность при любом напряженном состоянии будет обеспечена,если наибольшее относительное удлинение не превзойдет допускаемого,определенного при простом растяжении:ε max ≤ [ε].Гипотеза предложена Э.
Мариоттом (1682), развита Б. Сен-Венаном (XIX).Из первой строки обобщенного закона Гука для объемного напряженногосостояния (3.12)ε1 =1[σ1 − μ(σ 2 + σ3 )] = ε max .EДля линейного напряженного состояния, когда σ2 = σ3 = 0, ε2 = ε3 = 0ε=σ,E[ε] = [σ] .EРешая совместно последние три равенства, получим:σ экв(II) = σ1 − μ (σ 2 + σ 3 ) ≤ [σ ].Экспериментально гипотеза подтверждается слабо, в расчетной практикеприменялась в начале прошлого века.ГИПОТЕЗА НАИБОЛЬШИХ КАСАТЕЛЬНЫХ НАПРЯЖЕНИЙ(третья теория прочности)Прочность при любом напряженном состоянии будет обеспечена,если наибольшее касательное напряжение не превзойдет допускаемого,определенного при простом растяженииτ max ≤ [ τ].Гипотеза предложена Ш.
Кулоном (1773 г.), развита Б. Сен-Венаном(1871). Для объемного напряженного состоянияσ − σ3τ max = 1.(3.17)2При простом растяжении (линейном напряженном состоянии, σ2 = σ3 = 0)46τ max =[σ]σ; [ τ] =.22Решая совместно последние два равенства, получим:σ экв (III ) = σ1 − σ 3 ≤ [σ ] .(3.17)Гипотеза не учитывает действие второго главного напряжения σ2. Хорошосогласуется с опытом для пластичных материалов.ГИПОТЕЗА УДЕЛЬНОЙ ПОТЕНЦИАЛЬНОЙ ЭНЕРГИИФОРМОИЗМЕНЕНИЯ – ЭНЕРГЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ПРОЧНОСТИ(четвертая теория прочности)Прочность при любом напряженном состоянии будет обеспечена,если удельная потенциальная энергия деформации, идущая на изменениеформы, не превзойдет допускаемого значения, определенного при простомрастяженииu ф ≤ [u ].Согласно гипотезе, высказанной Д.
Максвеллом в 1856 г. и разработаннойМ. Хубером в 1930 г., удельную потенциальную энергию деформации следует разложить на две компоненты, одна из которых отвечает за изменениеобъема, а другая – формы. В расчетах учитывать лишь одну из них – последнюю. Напряжения σ1, σ2 и σ3, действующие по граням параллелепипеда, тоже можно разложить на две компоненты, как показано на схеме:σ2σ3σ2-σmσmσ1=σmσm+σ3-σmШаровойтензорσ1-σmДевиаторσ1 = (σ1 − σ m ) + σ m ;σ 2 = (σ 2 − σ m ) + σ m ;σ 3 = (σ 3 − σ m ) + σ m ,σ1 + σ 2 + σ 3– среднее напряжение.3Первая компонента – шаровой тензор, по граням которого действуетсреднее напряжение σm, отвечает только за изменение объема (одинаковоеудлинение всех ребер).
Вторая компонента – девиатор (от лат. deviatio –отклонение) отвечает за изменение формы элементарного параллелепипеда.где σ m =47Энергия формоизменения для объемного напряженного состояния(вывод опускается):1+ μ(σ1 − σ 2 )2 + (σ 2 − σ 3 )2 + (σ 3 − σ1 )2 .uф =6EПри одноосном растяжении, когда σ2 = σ3 = 0, приняв σэкв = σ1, получим:1+ μ 2uф =σ1 .3EТогда условие прочности по четвертой теории можно записать так:1(σ1 − σ 2 )2 + (σ 2 − σ 3 )2 + (σ 3 − σ1 )2 ≤ [σ ].σ экв(IV) =(3.18)2Четвертая теория более точно, чем третья, описывает появление вматериале малых пластических деформаций.
Опыты хорошо подтверждают четвертую теорию для пластичных материалов, одинаково работающихна растяжение и сжатие.[][]ГИПОТЕЗА КУЛОНА-МОРА (ТЕОРИЯ ПРОЧНОСТИ МОРА, 1900)Прочность при любом напряженномсостоянии будет обеспечена, если кругМора не выходит за пределы огибающихкругов, построенных на допускаемых напряжениях при простом растяжении исжатии.[σ ]σ экв(V) = σ1 − + σ 3 ≤ [σ + ].[σ − ][τ]234[σ]1Гипотеза (ее иногда называют пятой Рис. 3.12. Круги Мора: для осевого растяжения (1); осевогои обозначают римской цифрой V) приме- сжатия (2); опасного напряженняется для материалов, обладающих раз- ного состояния (3); безопасногоным сопротивлением растяжению и сжа- напряженного состояния (4)тию (чугун, бетон…). В случае, если допускаемые напряжения при растяжении [σ+] и сжатии [σ-] одинаковы, теория Мора совпадает с третьей теорией прочности.Таким образом, для практических расчетов следует рекомендоватьчетвертую или третью теории прочности (строго говоря – теории переходалокального объема в пластическое состояние) для материалов, одинаковосопротивляющихся растяжению и сжатию, то есть пластичных, и теориюМора – для материалов, различно сопротивляющихся растяжению и сжатию.48703050Пример 3.3.
В опасном сечении детали, выполненной из серого чугуна СЧ25, выделен элемент, по граням которого действуют напряжения(в МПа), как показано на рисунке. Проверитьпрочность элемента.Решение20Напряжениям, показанным на рисунке, дадим обозначение согласно координатной системе xyz:σx = –30 МПа; σy = 50 МПа; σz = –70 МПа; τxy = 20 МПа; τyx = –20 МПа.DFσyτyxПлощадка, нормаль к которойzпараллельна оси z – главная, поскольxyку касательные напряжения на ней от0сутствуют.
Покажем напряженное состояние на двух других площадках в плоскости x0z.σxτxyВеличина главных напряжений:22⎛ σx − σ y ⎞− 30 + 50− 30 − 50 ⎞⎛22⎟⎟ + τ xy =σ max, min =± ⎜± ⎜⎜⎟ + 20 ;222⎝⎠⎝ 2 ⎠σ max = 10 + 44,7 = 54,7 МПа;σ min = 10 − 44,7 = −34,7 МПа.σx + σ yНазначаем индексы при главных напряжениях:σ1 = 54,7 МПа; σ 2 = −34,7 МПа; σ3 = −70 МПа .Проверка результатов расчета с использованием свойства суммы нормальных напряжений:σ x + σ y + σ z = σ1 + σ 2 + σ 3 = const;− 30 + 50 − 70 = 54,7 − 34,7 − 70 = −50.Положение главных площадок− 2τ xy− 2 ⋅ 20tg 2α === 0,5; 2α = 26,6D ; α = 13,3D.σ x − σ y − 30 − 50Угол α (положительный) откладывается против хода часовой стрелки от направления большего из заданных напряжений в плоскости x0z, то есть от σy.ασ1σ3Проверка прочностиНазначим допускаемые напряжения, выбрав коэффициент запасапрочности [nв] = 3, рекомендуемый для хрупких материалов, по-разномусопротивляющихся растяжению и сжатию49[σ р ] = [σnвр] = 250= 83 МПа;3[σ с ] = σ вс = 980 = 327 МПа .[nв ] 3вСогласно первой гипотезы прочностиσ экв,I = σ1 = 54,7 МПа < σ р = 83 МПа;σ экв,I = σ 3 = 70 МПа < σ р = 327 МПа.[ ][ ]Прочность обеспечена.Согласно второй гипотезы прочностиσ экв, II = σ1 − μ (σ 2 + σ 3 ) = 54,7 − 0,25(− 34,7 − 70) = 80,9 МПа < σ р = 83 МПа;[ ]σ экв, II = σ 3 − μ (σ1 + σ 2 ) = −70 − 0,25(54,7 − 34,7 ) = −75 МПа < [σ с ] = 327 МПа.Прочность обеспеченаСогласно третьей гипотезы прочностиσ экв, III = σ1 − σ 3 = 54,7 − (− 70) = 124,7 МПа > σ р = 83 МПа.[ ]Прочность недостаточна.Согласно четвертой гипотезы прочностиσ экв, IV =[[]1(σ1 − σ 2 )2 + (σ 2 − σ 3 )2 + (σ 3 − σ1 )2 =2][ ]1(54,7 + 34,7 )2 + (− 34,7 + 70)2 + (− 70 − 54,7 )2 = 111 МПа > σ р = 83 МПа .2Прочность недостаточна.=Согласно теории прочности Кулона-Мораσ вр250(− 70) = 72,6 МПа < σ р = 83 МПа .σ экв, V = σ1 −σ 3 = 54,7 −σ вс980[ ]Прочность обеспеченаВывод.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
