sem_11 (817235), страница 10
Текст из файла (страница 10)
Схема нагружения вала и эпюра крутящих моментов (а); определениевнутреннего усилия на участке I (б); то же на участке III (в)На рис. 5.1, б: ∑ M x = 0; TI + M 1 = 0; TI = − M 1.На рис. 5.1, в: ∑ M x = 0; TIII − M 4 = 0; TIII = M 4 .Эпюра крутящих моментов – график изменения крутящих моментов по длине бруса.56Во всех случаях эпюры внутренних усилий строят на осевой линии бруса.Величину силового фактора откладывают по нормали к оси.5.2.
НАПРЯЖЕНИЯ ПРИ КРУЧЕНИИТеория брусьев, имеющих круглое сплошное или кольцевое поперечное сечение, основана на следующих положениях.Поперечные сечения бруса плоские до деформации остаются плоскими и в деформированном состоянии – гипотеза твердых дисков (Бернулли).Радиусы поперечных сечений не искривляются и сохраняют своюдлину. Поперечные сечения остаются круглыми.Расстояния между поперечными сечениями вдоль оси бруса не изменяются.Для установления связи напряжений с внутренними усилиями рассмотрим несколько этапов решения задачи.I. Условие равновесия – статическая сторона задачи (рис. 5.2, в).τ·dA – элементарное усилие;ρ·(τ·dA) – элементарный крутящий момент;Т – равнодействующий момент касательных напряженийT = ∫ρ⋅τ⋅d A.(5.1)AρφdφаMxγmaxбrdxdSdxρTгвdAτmaxτ·dAРис. 5.2.
Брус под действием внешнего скручивающего момента М (а); деформацияэлементарного участка dx (б); внутреннее усилие Т и напряжения τ в поперечномсечении (в); распределение касательных напряжений τ в поперечном сечении (г)57Для нахождения сдвигающих напряжений τ рассмотрим физическуюсторону задачи.II. Физическая сторона задачи – закон Гука при сдвигеτ = G⋅γ ,(5.2)связывающий касательные напряжения τ с деформацией сдвига γ.
Деформацию сдвига γ найдем, рассмотрев геометрическую сторону задачи.III. Деформационная (геометрическая) сторона задачиЛевый торец бруса длиной х (рис. 5.2, а) под действием внешнегоскручивающего момента М повернется на угол φ. В элементе длиной dxаналогичный угол dφ (рис.
5.2, б). Образующая цилиндра отклоняется отисходного положения на угол γ. На поверхности элемента радиусом r уголγ принимает максимальное значениеd S r ⋅dϕγ max ≈ tg γ max ==.dxdxВ цилиндре произвольного радиуса ρ внутри элемента угол γ:dϕγ =ρ.(5.3)dxРассмотренные ранее этапы объединяет математическая сторона задачи.IV. Математическая сторона задачиУравнение (5.1) подставляем в уравнение (5.3),dϕτ = G ⋅ρdxа уравнение (5.4) – в уравнение (5.2):dϕdϕ 2T = ∫ ρ 2GdA=G∫ ρ d A.dxdxAA(5.4)2Обозначая ∫ ρ d A = I p как полярный момент инерции (геометрическаяAхарактеристика поперечного сечения), получим:TdϕdϕT = I pG=, откуда.dx G ⋅ I pdx(5.5)Относительный угол закручивания элементарного участка dφ/dx (5.5) подставим в (5.4):Tτ = G ⋅ρG⋅Ipи получим напряжение в произвольной точке сеченияT ⋅ρτ=.Ip58(5.6)Закон распределения касательных напряжений – линейный.
В центре τ = 0,так как ρ = 0, на периферии τ = τmax, так как ρmax = r (рис. 5.2, г).5.3. РАСЧЕТ НА ПРОЧНОСТЬ ПРИ КРУЧЕНИИIp=Ip= W p , условие прочности при круρmaxrчении можно представить какT(5.7)τ max =≤ [τ ] ,Wpгде Wp – полярный момент сопротивления поперечного сечения.πD 4πD 3Ip =Wp =,.Для круглого сечения3216πD 4πD 341 − c , Wp =1 − c4 ,Для кольцевого сечения I p =3216dгде c =– коэффициент пустотелости.DЕсли сечение некруглое (прямоугольное, треугольное, эллиптическое…), используют Iк, Wк, которые вычисляют по специальным формулам.Допускаемое напряжение при кручении [τ] = (0,5–0,6)[σ].Виды расчетов на прочность:а) поверочный – вычисляют τmax и сравнивают его с [τ], определяя недогрузку или перегрузку в процентах, либо находят коэффициент запасапрочности и сравнивают его с нормативными значениями;б) проектный – вычисляют диаметр вала D при известных значениях Tи [τ];в) определяют допускаемый крутящий момент при известных диаметре вала D и допускаемом касательном напряжении [τ].Принимая отношение()()5.4.
ДЕФОРМАЦИЯ ВАЛА ПРИ КРУЧЕНИИИз уравнения (5.5)dϕT=dx G ⋅ I pнаходим угол закручивания элементарного участкаTdϕ =d x.G⋅IpУгол закручивания всего валаTdx.GI⋅pAϕ=∫59(5.5)Для вала постоянной жесткости сечения (произведение G·Ip) на длинеℓ и постоянного крутящего момента Т угол закручивания валаT ⋅Aϕ=.(5.8)G⋅IpПолученную зависимость называют законом Гука при кручении.Произведение GIp называют жесткостью сечения при кручении.5.5. РАСЧЕТ ВАЛОВ НА ЖЕСТКОСТЬЗа меру жесткости принимают относительный угол закручивания, тоесть угол, приходящийся на единицу длины валаϕT.θ= =A G⋅IpУсловие жесткости: θ =T≤ [θ] ,G⋅Ipгде [θ] имеет размерность рад/м.
Чаще пользуются условиемT 180Dθ=≤ θD .G⋅Ip π[ ](5.9)Допускаемое значение угла [θ°] закручивания зависит от назначениявала. Принимают [θ°] = (0,3–1,0) град/м.При расчете валов на прочность и жесткость часто задают мощностьN, передаваемую валом и частоту его вращения n. Для вычисления крутящего момента по этим данным удобно воспользоваться таблицейNωN 30=n πN30=n π ⋅ 9,807N 30 ⋅ 0,736=nπN 30 ⋅ 0,736=n π ⋅ 9,807ВтM=MMMMNnN= 973,8nN= 7028nN= 71620n= 954960= Н⋅мс −1кВт= Н ⋅моб/минкВт= кГ ⋅ моб/минл.с.= Н⋅моб/минл.с.= кГ ⋅ смоб/минПример 5.1. Расчета вала на прочность и жесткостьM3MведИз условия прочности и жесткоM1 M2eIаT, +0кН⋅м –+βс⋅10–3 0–βп⋅10–3+0–gfсти выполнить проектный расчет: определить диаметры валов в двух вариантах исполнения – сплошного и полого скоэффициентом пустотелости с = d/D =0,8.
Результаты округлить согласноГОСТу. Построить эпюры углов закручивания вала. Валы сопоставить по металлоемкости и жесткости.hIIbхаIIc6бДано:М1 = 5 кН·м;a = 0,6 м;М2 = 7 кН·м;b = 0,8 м;М3 = 6 кН·м;с = 0,7 м;[σ] = 160 МПа; [θ] = 0,8 град/м.512в3,1413,198,79гI.Определение внутреннихусилий8,7Значение ведущего момента13,11определимизусловияМведРис. 5.3. Схема нагружения вала (а),эпюра крутящих моментов (б), эпюры равновесия вала: Σ Мх = 0;углов закручивания сплошного (в) иМвед – М1 – М2 – М3 = 0, откудаполого (г) валовМвед = М1 + М2 + М3 = 5 + 7 + 6 == 18 кН·м.Для расчетов на прочность и жесткость необходимо найтиположение опасных сеченийи величины крутящих моментов,действующих в этих сечениях вала (рис. 5.3, а).
Воспользовавшисьметодом сечений определим внутренние усилия и построим эпюрукрутящих моментов (рис. 5.3, б). Опасными являются все сечения научастке II, где действует Тmax = 12 кН·м.3,12II. Проектный расчет валов сплошного и полого сеченийПредварительно найдем допускаемое касательное напряжение,связанное с допускаемым нормальным напряжением. Принимаем потретьей теории прочности[τ] = 0,5 [σ] = 0,5·160 = 80 МПа.Из условия прочности и жесткости при кручении находим требуемыезначения полярных момента сопротивления и момента инерцииTT12000= 0,00015 м3 = 1,5 ⋅ 10− 4 м 3 .τ max = max ≤ [τ ], ⇒ W p ≥ max =6[τ] 80 ⋅10Wpθ=T 180D≤ [θ], ⇒G⋅Ip πIp ≥T 180D12 000 ⋅ 180== 1,074 ⋅ 10 −5 м 4 .9G ⋅ [θ] π80 ⋅ 10 ⋅ 0,8 ⋅ π61Результаты расчетовСплошноеФорма сеченияМоментсопротивленияДиаметриз условияпрочности62МоментинерциитребуемыйДиаметриз условияжесткостиДиаметрсогласно ГОСТПлощадьпоперечногосеченияW p,спл =Dспл ≥ 3DсплI сплπD 31616 W pπПолоеW p ,пол =Dпол ≥ 3;16 ⋅ 1,5 ⋅ 10 − 4== 0,0914 мπDпол ≥ 33πD 4=32Dспл32 ⋅ I спл≥;πDспл32⋅ 1,074⋅ 10 − 5≥= 0,1023 мπI полDспл = 105 мм16 ⋅ 1,5 ⋅ 10 − 4π ⋅ (1 − с 4 )(Dпол ≥ 44)= 0,1090 м)πD 4=1 − с4 ;32Dпол ≥ 44(πD 31 − c41616 W p;4π (1 − с )32 ⋅ I пол4π(1 − с );32 ⋅ 1,074 ⋅ 10 − 5π(1 − 0,84 )= 0,1167 мDпол = 120 мм2πDспл;4π= 0,1052 = 86,6 см 24Aпол =АсплAпол62()2πDпол1 − с2 ;4π= 0,120 2 1 − 0,82 = 40,7 см 24Aспл =()Углы закручивания характерных сечений вала сплошного и полого сеченийπ D4πD 4;1 − с4 ;I cпп =I пол =3232Момент инерции4принятыйπ ⋅ 0,105π 0,120 4−5 4I спл == 1,193 ⋅ 10 мI пол =1 − 0,84 = 1,202⋅ 10 − 5 м 43232()(ЖесткостьсеченияG·Ip = 80·109·1,19·10-5 = 0,955·106 Н·м2G·Ip = 80·109·1,20·10-5 = 0,961·106 Н·м2.TI a − 5 ⋅ 103 ⋅ 0,6== −0,00314;6G Ip0,955 ⋅ 10TII b − 12 ⋅ 103 ⋅ 0,8= −0,01005;φ II ==G Ip0,955 ⋅ 106φI =Углызакручиванияучастков валаTIII c 6 ⋅ 103 ⋅ 0,7== 0,00440G I p 0,955 ⋅ 106βспл,e = 0.TI a − 5 ⋅ 103 ⋅ 0,6== −0,00312;6G Ip0,961 ⋅ 10TII b − 12 ⋅ 103 ⋅ 0,8= −0,00999;φ II ==G Ip0,961 ⋅ 106φI =TIII c 6 ⋅ 103 ⋅ 0,7== 0,00437G I p 0,961 ⋅ 106βпол,e = 0.63φ III =Углызакручиванияхарактерныхсечений вала)φ III =βспл, f = φI = −3,14⋅10−3.βпол, f = φI = −3,12⋅10−3.= −13,19⋅10−3.βспл,h = φI + φII + φIII == −13,11⋅10−3.βпол,h = φI + φII + φIII =βпол, g = φI + φII = −(3,12+ 9,99) ⋅10−3 =βспл, g = φI + φII = −(3,14+10,05) ⋅10−3 == −(3,14+10,05− 4,40) ⋅10−3 = −8,79⋅10−3= − (3,12+ 9,99− 4,37) ⋅10−3 = −8,74⋅10−3.Строим эпюры углов закручивания сплошного и полого валов (рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
