sem_11 (817235), страница 13
Текст из файла (страница 13)
На участках, где Q > 0, момент М возрастает, то есть положительные ординаты увеличиваются, отрицательные – уменьшаются. На участках,где поперечная сила Q отрицательна, момент М убывает.6. В том сечении, где эпюра Q, изменяясь, пересекает базисную линию (поперечная сила Q = 0), изгибающий момент достигает экстремума(максимума или минимума).
Касательная к линии, ограничивающей эпюруМ в этом сечении, параллельна оси эпюры.7. На концевой шарнирной опоре поперечная сила равна реакцииэтой опоры, а изгибающий момент равен нулю, если в опорном сечении неприложена пара сил.8. В защемленном конце балки (заделке) значения Q и M равныопорной реакции и опорному моменту.7.4. НОРМАЛЬНЫЕ НАПРЯЖЕНИЯ ПРИ ИЗГИБЕРассмотрим простейший случай изгиба – чистый изгиб, при которомв поперечных сечениях бруса действует только одно внутреннее усилие –изгибающий момент. Например, в условиях чистого изгиба работают участки балки, на которых изгибающий момент постоянен, а поперечная силаотсутствует (dM/dx = 0).При расчете балки на изгиб будем считать справедливыми принятыеранее гипотезы, из которых выделим следующие:78гипотеза плоских сечений (Бернулли): поперечные сечения брусаплоские до деформации, остаются плоскими и в деформированном состоянии;гипотеза постоянства напряжений по ширине бруса;гипотеза отсутствия боковых давлений: боковые волокна брусане давят друг на друга.FМ0FQQMMчистыйизгибFaaaFFQFMFaFaчистыйизгибqFчистыйизгибQqℓ/2Mчистыйизгибqℓ2/8Рис.
7.4. Схемы нагружения, при которых в сечениях возникает чистый изгибГеометрический анализДвумя сечениями ad и bc на расстоянии dx выделим малый элемент(рис. 7.5, а, б) и рассмотрим его деформацию (рис. 7.5, в). Длина отрезканейтрального слоя dx = ρ·dφ. Волокно нейтрального слоя не деформируетсяε = 0, σ = 0. Любое другое волокно, находящееся на расстоянии у изменитсвою длину и станет равным (ρ+y)dφ. Его относительное удлинениеΔ (d x ) (ρ + y ) d ϕ − ρ⋅d ϕεx ==.dxρ⋅d ϕyПосле преобразования получим ε x = .(7.4)ρДеформация волокон пропорциональна их расстоянию до нейтрального слоя.Физический анализВ общем случае нагружения продольная деформация по закону Гука1εx = σx − μ σ y + σz ,Eоднако в силу гипотезы отсутствия боковых давлений σ z = 0 и σ y = 0, тоесть волокна бруса испытывают только деформацию растяжения.
Имеетместо линейное напряженное состояниеσεx = x(7.5)E[(79)]cxаdxMdφρdbMadbcaбbгzσxxdcyMвya–+σx·dAydAРис. 7.5. Схемы к определению связи внутренних усилий с напряжениями:а – брус до деформации; б – брус в деформированном состоянии; в – элементa b c d в деформированном состоянии; г – внутренние усилия в сеченииСтатический анализ (рис. 7.5, г)σх·dA – элементарное усилие; y(σх·dA) – элементарный момент.Момент во всем сеченииM z = ∫ σ х ⋅ y⋅dA .(7.6)AСинтез установленных зависимостейПриравниваем правые части уравнений (7.4) и (7.5):y σxE=, откуда σ x = y .ρ EρЗависимость (7.7) подставляем в (7.6)EEM z = ∫ y2d A = I z ,ρρA(7.7)где I z = ∫ y 2 d A – момент инерции, геометрическая характеристика попеAречного сечения. Из последнего равенства найдем отношениеE Mz=(7.8)ρIzи подставим его в (7.7).
Опуская индекс при σ, получим уравнение А. Навье (1826)Mσ= z y.(7.9)Iz80Следствия из формулы НавьеЦентр тяжести сечения является началом координат для анализанапряжений и приведения внешних сил.yσНапряжения изгиба зависят от значений изгибающего момента, моментаинерции сечения и координаты точки.maxНапряжения в любой точке, лежащейна одинаковом расстоянии от нейтральнойлинии, равны между собой.zyminymaxyσmin-Наибольшие по величине напряжения возникают в точках, наиболее удаленных от нейтрального слоя.Условие равновесияИз статического анализа (рис. 7.5, г) следует:∑ x = 0;N = ∫ σx d A = 0 .AВ полученное равенство подставляем (7.7): σ x =Ey.ρEEy⋅dA=Sz = 0 ,∫ρρAТогдагде S z = ∫ y ⋅ d A – статический момент площади, геометрическая характеAE≠ 0 , то Sz = 0, следовательно,ρнейтральный слой проходит через центр тяжести сечения. Радиус кривизны нейтрального слоя является и радиусом кривизны изогнутой оси бруса.Деформация балки при изгибе – кривизна ее геометрической оси.ристика.
Поскольку отношениеИз (7.8)E Mz=следуетρIz1 Mz=.ρ E ⋅I z(7.10)Это закон Гука при изгибе.Следствия из закона ГукаМомент инерции характеризует способность бруса сопротивлятьсяискривлению в зависимости от размеров и формы его поперечного сечения.Чем больше значение Iz при заданной величине М, тем большим окажется81радиус кривизны нейтрального слоя бруса, то есть брус искривляетсяменьше.Модуль упругости характеризует способность бруса сопротивляться искривлению в зависимости от его материала.Произведение E·Iz называют жесткостью сечения при изгибе .7.5.
РАСЧЕТЫ НА ПРОЧНОСТЬ ПРИ ИЗГИБЕПО НОРМАЛЬНЫМ НАПРЯЖЕНИЯММаксимальные напряжения в опасном (где действует Mmax) сеченииMσ max = max y max .IzIz= Wz , получим условие прочности при изгибеПринимая отношениеymaxMσ max = max ≤ [σ],(7.11)Wzгде Wz – осевой момент сопротивления сечения.b ⋅ h2Для прямоугольника Wz =.6πДля круга Wz = D 3 ≈ 0,1D 3 .32π 3D 1 − c 4 ≈ 0,1D 3 1 − c 4 , где с = d/D – коэффиДля кольца Wz =32циент пустотелости. Здесь d – внутренний диаметр полого сечения.Используя условие прочности (7.11), выполняют три вида расчетов. Поверочный. Вычисляют σmax, а затем вычисляют перегрузку илинедогрузку в процентах по отношению к допускаемому напряжению, либонаходят коэффициент запаса прочности по отношению к пределу текучести для пластичных материалов или пределу прочности для хрупких.()()Проектный.
Из условия прочности (7.11) находят необходимоезначение момента сопротивления. Размеры нестандартных сечений (круг,прямоугольник…) округляют в соответствие с ГОСТом. Стандартные прокатные профили выбирают из таблиц сортамента. Если размер сечения выбран меньше требуемого, то выполняют поверочный расчет. Перегрузкаболее 5 % не допускается.Определение допускаемой нагрузки. При известных характеристиках прочности материала и заданном размере поперечного сечения определяют допускаемое внутреннее усилие (изгибающий момент), а затем, исходя из схемы нагружения, находят допускаемые внешние силовые факторы.Если сечение несимметрично относительно оси z (трапецеидальное,треугольное, тавровое…), а также при использовании хрупкого материала82(чугун, керамика…), условие прочности проверяют отдельно по максимальным и минимальным напряжениям, используя формулу (7.9).7.6.
ПОПЕРЕЧНЫЙ ИЗГИБ. КАСАТЕЛЬНЫЕ НАПРЯЖЕНИЯ ПРИ ИЗГИБЕОт поперечной силы Qy в поперечном сечении возникают касательные напряжения τу. Для их определения приняты следующие гипотезы. Касательные напряженияτу параллельны поперечной силе Qy и соответственно оси 0у. Касательные напряжения равномерно распределены по ширине поперечного сечения на любом уровне их определения, задаваемом ординатой у. Для определения нормальных напряжений используют выражения,выведенные для случая чистого изгиба.Д. И.
Журавским предложена формулаQ ⋅ S′τ= y z ,(7.12)b ⋅ Izгде Qy – поперечная сила в рассматриваемом сечении;S ′ z – статический момент площади отсеченной части сечения относительно центральной оси;b – ширина сечения на уровне исследуемой точки;Iz – момент инерции сечения относительно центральной оси.h/2y′cПример 7.3. Построить эпюру τ для прямоугольного сечения.Момент инерции сеченияτA′– +bh 3;Iz =c12Статический момент площади отсеченной части сеченияS z′ = A′⋅ yC′ .Q1⎛h⎞⎞⎛hτср =A′ = b⎜ − y ⎟; yC′ = ⎜ + y ⎟;bA2⎝2⎠⎠⎝2yh/2Знак касательных напряжений τу определяется знаком поперечной силы Qy.24 2⎞b ⎛⎜ h 22 ⎞⎟ bh ⎛−y =S z′ =⎜1 − 2 y ⎟⎜⎟2⎝ 48 ⎝ h⎠⎠S′z изменяется по параболической зависимости (координата у во второй степени) и определяет характер изменения напряжения τ:Q ⋅ S z* Q 12 bh 2 ⎛4 2⎞ 3 Q ⎛4 2⎞τ==⎜1 − 2 y ⎟ =⎜1 − 2 y ⎟ .3b⋅ Izb bh 8 ⎝ h⎠ 2 bh ⎝ h⎠83При у = 0 (на нейтральной оси) τ = τ max =При у = h/2 (на периферии) τ = 0.3Q.2AПример 7.4.
Построить эпюру τ для круглого сечения.byτ– +С2Rτ max = 1,33yC′yА′QA4 Q ⎛⎜y 2 ⎞⎟1−;τ=3 πR 2 ⎜⎝ R 2 ⎟⎠τ max = 1,333τср =QπR 2.QAО влиянии касательных напряженийКасательные напряжения переменны по высоте, вызывают искривление поперечного сечения, причем в тем большей степени, чем больше τ,то есть в центральной части сечения больше, на периферии – меньше. Следовательно, гипотеза плоских сечений , на которой основывался вывод формулы нормальных напряжений, неприменима .
Однако это искривление почти не отражается на продольных деформациях волокон, чтоMпозволяет пользоваться формулой σ = z y и при наличии поперечнойIzсилы.Пример 7.5. Оценить соотношение нормальных и касательных напряжений при поперечном изгибе.FДля консольной балки прямоугольного сечения максимальные нормальные напряженияMFA6 FAℓσ max = max = 2 = 2 ,Wzbh 6 bhFQ+а максимальные касательные–3Q 3 Fτ max=.M –+2 bh 2 bhFℓСопоставив эти напряжения, получимσ max 6 FA 2bhA= 2=4 .τ max bh 3FhАналогичное соотношение для круглого поперечного сечения:σ max 32 FA 3 πd 2A==6.τ maxdπd 3 4 F 484ty′CВывод : касательные напряжения в длинных (ℓ > 5h) балках существенно меньше нормальных.τσy–+Отметим, что σmax и τmax действуют в разτmaxных точках сечения: σmax на периферии, в точках наиболее удаленных от нейтральной оси,zгде τ = 0; τmax – в центре, на нейтральной оси,где σ = 0.
Для приведенного выше примера вσmaxопасном сечении (в защемлении) эпюры распределения нормальных и касательных напряжений показаны на рисунке.По мере укорочения длины пролета или участка балки роль момента,а, следовательно, и нормальных напряжений, снижается (в рассмотренномпримере М зависит от длины, а Q – постоянна). Превалирующими в этомслучае могут оказаться касательные напряжения. В сложившейся практикеподбор размеров поперечного сечения выполняют по максимальным нормальным напряжениям (как при чистом изгибе), а проверку прочностипроводят по максимальным касательным.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
