sem_11 (817235), страница 16
Текст из файла (страница 16)
= h/2 = 20/2 = 10 см;22i 2yiz8,07I-I2,2 2=−= −6,51 см ; z я = −yя = −1=−= 0;y н.л.10∞z н.л.yн.л. = ∞;IIIIIIIIII2yя = −i z28,07 2=−∞y н.л.yн.л. = –h/2 = –20/2= –10 см;i z28,07 2=−yя = −3− 10y н.л.yн.л. = ∞;IVIV4yя = −i z28,07 2=−∞y н.л.zн.л. = b – z0= 7,6–2,07 = 5,53 см;i 2y2,2 2= 0;=−= 0,845 см ;zя = −z н.л.5,53zн.л. = ∞;i 2y2,2 2= 6,51 см ; z я = −=−= 0;∞z н.л.zн.л. = – b = –2,07 см;i 2y2,2 2= 0;=−= 2,34 см ;zя = −− 2,07z н.л.Расчет на прочность при внецентренном нагруженииПоверочный расчет выполняют, используя условие прочностиMyN Mσ= ± z ±≤ [σ ] .A Wz W yПроектный расчет обладает особенностью, связанной с тем, что геометрические характеристики, входящие в условие прочности содержат искомый размер поперечного сечения в разной степени. Площадь А измеряется в м2, а моменты сопротивления W в м3. Попытка выразить искомый101размер из условия прочности приводит к трансцендентной функции, тоесть аналитической функции, не являющейся алгебраической.Проектный расчет выполняют методом итераций1 [от лат.
iteratio –повторение]. В первом приближении, пренебрегая одним из внутреннихусилий, – продольной силой N – подбирают размер сечения только из условия прочности при изгибе. Полученный размер подставляют в исходноеуравнение и выполняют следующую пробу. Процесс повторяют до тех пор,пока невязка – разность размеров последующей и предыдущей проб, недостигнет заданной наперед малости.Пример 8.7.
(Винокуров А. И. Сборник задач … 5.35).Подобрать диаметр стержня выпуДано:скного клапана. При расчете использовать p = 1,5 МПа; e = 12 мм;усилие F в момент открывания клапана в D = 35 мм; [σ] = 210 МПаконце рабочего хода поршня.Решение. Сила давления газов на таFFрелку клапанаππF = p ⋅ Aклап = p D 2 = 1,5 352 = 1443 Н .ee44Внутренние усилия в сечении 1-1 стер11Мжня клапана (по модулю):NN = F; M = F·e.Условие прочности:dσ max =pDN MF ⋅ 4 F ⋅ e ⋅ 32+≤ [σ ]; σ max =+≤ [σ ].23A Wπdπd4Fπd(d + 8e ) ≤ [σ ],3откуда d ≥ 34F(d + 8e ) .π[σ ]По обе стороны от знака неравенства искомый диаметр – имеемтрансцендентное уравнение, которое решаем методом приближений:d 0 = 0;d1 ≥ 34 ⋅ 1443(0 + 8 ⋅ 12 ) = 9,435 мм .π ⋅ 210d2 ≥ 34 ⋅ 1443(9,435 + 8 ⋅ 12 ) = 9,735 мм .π ⋅ 210d3 ≥ 34 ⋅ 1443(9,735 + 8 ⋅ 12 ) = 9,744 мм .π ⋅ 2101Метод последовательных приближений, при котором каждое новое приближение вычисляют исходя из предыдущего; начальное приближение выбирается в достаточной степени произвольно.102Разность между последним и предпоследним приближениями9,744 − 9,735100 = 0,0924 % .9,744Процесс подбора прекращаем, принимаем d = 10 мм.Проверка:F⋅ 4 F⋅ e ⋅ 32 1443 ⋅ 4 1443 ⋅ 12 ⋅ 32σ= 2 +=+= 18,4 + 176,4 = 194,8 МПа .π ⋅ 100π ⋅ 1000πdπd 3Напряжения изгиба больше напряжений растяжения вσ изг 176,4== 9,6 раза .σ раст 18,4bПример 8.8.
(Винокуров А. И. Сборник задач … 5.38.).Из расчета на прочность определить размерh скобы струбцины.Решение. Условие прочности при внецентренном растяжении плоской фигурыF Mσ= +≤ [σ],A Wгде A = b·h; W = b·h2/6; M = F(a+h/2).Условие прочности:F F (a + h / 2 )6 F 6 Fa 3Fhσ=+=++≤ [σ] ;bhbh bh 2 bh 2bh 2F ⎛hah⎞F ⎛ ha⎞+ 6 + 3 ⎟ ≤ [σ];⎜ 4 + 6 ⎟ ≤ [σ] .2 ⎜b2bb⎠b⎠h ⎝h ⎝ bahF⎛ ha⎞Требуемый размер скобы: h ≥⎜4 + 6 ⎟ .[σ] ⎝ b b ⎠Размер h в обеих части неравенства. Полученное уравнение – трансцендентное.
Решаем его методом последовательных приближений. В первом приближении принимаем h в скобках под корнем равным нулю: h0 = 0.Тогда16000 ⎛F ⎛ 0a⎞90 ⎞h1 =⎜4 + 6 ⎟ =⎜ 0 + 6 ⎟ = 77,46 мм;[σ] ⎝ b b ⎠90 ⎝16 ⎠16000 ⎛ 77,4690 ⎞+ 6 ⎟ = 97,17 мм.⎜490 ⎝ 1616 ⎠h2 − h197,17 − 77,46Невязка подбора100 =100 = 25,4 % .77,46h1h2 =Следующее приближениеh3 =10316000 ⎛ 97,1790 ⎞+ 6 ⎟ = 101,58 мм.⎜490 ⎝ 1616 ⎠Невязка подбораh3 − h2101,58 − 97,17100 =100 = 4,5 % .h397,1716000 ⎛ 101,5890 ⎞+ 6 ⎟ = 102,54 мм.⎜490 ⎝1616 ⎠h4 − h3102,54 − 101,58Невязка подбора100 =100 = 0,95 % .h4101,58Последняя невязка менее 1 %, поэтому выходим из цикла подбора.Принимаем h = 103 мм.Следующее приближениеh4 =Проверка:103 ⎞F M 16000 16000 ⋅ 6 ⎛σ= +=+90+⎜⎟; σ = 9,71 + 80,03 = 89,74 МПа < [σ ].A W 16 ⋅ 103 16 ⋅ 1032 ⎝2 ⎠Сопоставим вклады от изгиба и растяжения в общее напряжение:σ растσ изг 80,039,71== 0,892.== 0,108 .σ89,74σ89,74Линия действия силыНапряжения от изгиба в 8,24 раза превышают напряжения от растяжения.
Полученное соотношение можно сделать более благоприятнымснизив долю растягивающих напряжений от изгиба за счет уменьшенияплеча е изгибающего момента. На практике применяют тавровое и двутавровое сечения, смещая центр тяжести с ближе к линии действия силы ирасполагая больше материала в области растягивающих напряжений, к которым хрупкие материалы более чувствительны.ссесРис.
8.11. Примеры выполнения поперечного сечения бруса,подверженного действию внецентренного растяжения1048.3. ИЗГИБ С КРУЧЕНИЕМИзгиб с кручением – вид сложного сопротивления, при котором в поперечном сечении бруса возникают изгибающие и крутящий моменты.Рассмотрим случай, при которомвнешние силы располагаются в плоскости поперечного сечения, но не пересекают геометрическую ось х (рис. 8.12,а). Силу F разложим на ее составляющие Fz, Fy.
Методом сечений определимвнутренние усилия в произвольном сечении х (рис. 8.12, б).Спроецировав все силы на координатные оси и составив уравнениямоментов относительно координатныхосей, найдем внутренние усилия. Изшести внутренних усилий не равно нулю пять.хyFzаеFxFyzyMzMyxQzбВQyTzРис. 8.12.
Определение внутреннихусилий при изгибе с кручениемΣ x = 0; N = 0;Σ Mx = 0; T = F·e;Σ y = 0; Qy = Fy;Σ My = 0; My= Fz·x;Σ z = 0; Qz = Fz;Σ Mz = 0; Mz= Fy·x.τQyσ′σ″τQzτTаНа выделенном элементе В (рис. 8.12, б) показаныдействующие по его граням напряжения (рис. 8.13, а).От поперечных сил и крутящего момента возникают кабсательные напряжения τQy, τQz, τT.
От изгибающих мо- σ′ментов – нормальные напряжения σ′ и σ″. Для длинных σ″τTРис. 8.13. Анавалов и балок (ℓ > 10 d) влиянием поперечных сил частолиз напряженпренебрегают. Таким образом, учитывают только триного состояниямомента: крутящий и два изгибающих.
От них возникают три напряжения: одно касательное и два нормальных (рис. 8.13, б).Расчет на прочность при изгибе с кручениемИз рисунка 8.13, б следует, что в произвольном сечении возникаетплоское напряженное состояниеMyMσ x = σ M z +σ M y = z y +z;σ y = 0;σ z = 0;IzIyτ xz = τT =105Tρ.IpКак при изгибе, так и при кручении круглого сечения опасными являются точки на периферии. Для круга и кольцаWz = Wy = Woc;MyWp = 2Woc.MzT; τT ,max =.WocWoc2WocУсловие прочности для пластичных материалов по III теории прочности (наибольших касательных напряжений): σ экв = σ1 − σ3 ≤ [σ],σ M y ,max =σσ1 = x +2⎡σσ экв = ⎢ x⎣2гдеТогда;σ M z ,max =2σx⎛ σx ⎞2−⎜ ⎟ + τ xz ; σ3 =2⎝ 2 ⎠11⎤ ⎡σ+σ x 2 + 4τT2 ⎥ − ⎢ x −2⎦ ⎣2 22⎛ σx ⎞2⎜ ⎟ + τ xz .⎝ 2 ⎠⎤σ x 2 + 4 τT2 ⎥;⎦σ экв = σ x 2 + 4 τT2 ≤ [σ ].Поскольку для круглого и кольцевого сечений не существует точки,одинаково удаленной от обеих осей инерции z, y, то используют результирующий момент – геометрическую сумму векторов изгибающих моментовотносительно осей z, y:М рез = M 2y + M z2 .σx =ТогдаM 2y + M z2M резWoc(8.12).M 2y + M z2 + T 2T2+4≤ [σ], или σ экв =≤ [σ].2WocWoc(2Woc )2Условие прочности при совместном действии изгиба и кручения:M прив(8.13)σ экв =≤ [σ].WосМприв – приведенный момент, действие которого эквивалентно совместному действию My, Mz, T в соответствии с используемыми теориямипрочности.По III теории прочности (наибольших касательных напряжений)σ экв =М прив, III = M 2y + M z2 + T 2 .(14)По IV теории прочности (энергетической)М прив, IV = M 2y + M z2 + 0,75 ⋅ T 2 .(15)Приведенного момента в действительности не существует, изобразить его нельзя, вектора он не имеет.
Величина приведенного момента за-106висит от используемой теории прочности. Результаты расчетов по III иIV теориям прочности близки, отличаются примерно на 5–10 %.Пример 8.9. (Вольмир А. С. Сборник задач … 6.52). Вал с кривошипом подвергается действию силы F = 3,5 кН. Определить диаметр валапо третьей теории прочности при [σ] = 160 МПа; ℓ = 50 см, а = 10 см.Решение. Внутренние усилия определяем методом сечений.FР ассекаем вал на две части в произвольном сечении х,О тбрасываем одну из частей (поз. б рисунка),З аменяем действие отброшенной частивнутренними усилиями и в координатной системе xyz составляемУ равнения статики:аℓyTxaFMzzF·ℓбQx∑ x = 0;∑ y = 0;∑ z = 0;N = 0; ∑ M x = 0 ; T = -F·a;Qy = F; ∑ M y = 0 ; My = 0;Qz = 0; ∑ M z = 0 ; Mz = -F·x.Строим эпюры изгибающего икрутящего моментов, действующих впоперечных сечениях вала (поз.
в и грисунка). Находим приведенный момент в опасном сечении – в защемлении:aMzвF·aгTM прив = M z2 + T 2 =(− FA )2 + (− Fa )2== F A 2 + a 2 = 3500 0,52 + 0,12 = 1785 Н⋅м .Из условия прочности при изгибе с кручением σ экв =Wос =откудаd ≥332 M привπ[σ ]=3M прив[σ ]=32 ⋅ 1785π ⋅ 160 ⋅ 106M привWос= [σ ] находимπ 3d ,32= 0,0484 м .Округлив до большего значения, принимаем диаметр вала d = 50 мм.1079. ДИНАМИЧЕСКОЕ ДЕЙСТВИЕ СИЛНагрузка статическая – постоянная или изменяющаяся медленнотак, что силами инерции вследствие ускорения, можно пренебречь.Нагрузка динамическая – быстро меняющая свое значение или место приложения.Метод расчета на динамическую нагрузку основан на принципеДаламбера: всякое движущееся тело можно рассматривать как находящееся в состоянии мгновенного равновесия, если к действующим на неговнешним силам добавить силу инерции, равную произведению массы телана его ускорение (J = a⋅m), направленную в сторону, противоположнуюускорению.
Для определения динамических напряжений при ударе используют закон сохранения энергии.9.1. РАВНОУСКОРЕННОЕ ДВИЖЕНИЕ ТЕЛА.ДИНАМИЧЕСКИЙ КОЭФФИЦИЕНТПример. Груз Q поднимают с постоянным ускорением а тросом с площадью поперечного сечения A, изготовленным из материала с объемным весом γ. Определить напряжение в тросе.NдинxA, γaРешение. Методом сечений определяем внутреннееусилие в произвольном сечении тросаN дин = Q + J = Q +Q⎛a⎞Qa = Q ⎜1 + ⎟ ,g⎠g⎝где g – ускорение свободного падения.В покое статическое усилие Nст = Q. За счет движения с ускорениемусилие возрастает в отношенииNaК дин = дин = 1 + .(9.1)N стgОтношение динамического значения некоторого фактора (усилия,напряжения, перемещения) к соответствующему статическому значениюэтого фактора называют динамическим коэффициентом.Напряжение в тросеσ дин =Q⎛ a⎞⎜1 + ⎟ .A⎝ g ⎠(9.2)Если учитывать вес троса, то внутренние усилия в нем:N ст = Q + γ ⋅ A ⋅ x .Динамическое напряжение в тросеσ дин =N дин N ст K дин== σ ст K дин .AA108(9.3)Условие прочностиσ дин ≤ [σ] ⇒ σ ст К дин ≤ [σ].Для нашего примера⎛Q⎞⎛ a ⎞σ дин = ⎜ + γ⋅x ⎟⎜1 + ⎟ ≤ [σ].⎝A⎠⎝ g ⎠(9.4)9.2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
