sem_11 (817235), страница 20
Текст из файла (страница 20)
Поэтому касательные напряжения описываются уравнением параболы.Поперечная сила во всех сечениях балки отрицательна (см. рис. П1.3, б);она определяет знак касательных напряжений (рис. П1.4, в).На основе приведенной формулы для некоторых часто применяемыхсечений найдены выражения, по которым вычисляют максимальные касательные напряжения и выполняют проверку прочности, сопоставляя их сдопускаемыми касательными напряжениями. Для стали Ст3 согласно рекомендациям, приведенным в табл.
П3, [τ] = 75 МПаσ maxФормаМаксимальные касательные напряженияτ maxсеченияДвутаврτ max′Q ⋅ S max14,4 ⋅ 10 3 ⋅ 46,8 ⋅ 10 −6== 24,0 МПа;=d ⋅ Iz0,0049 ⋅ 572 ⋅ 10 -8150= 6,25243 Q 3 14,4 ⋅ 10 3=== 4,8 МПа;2 A 2 45 ⋅ 10 -44 Q 4 14,4 ⋅ 10 3=== 2,63 МПа;3 A 3 70,9 ⋅ 10 -4150= 31,24,8Прямоугольникτ maxКругτ maxКольцоτ max =2Q2 ⋅ 14,4 ⋅ 103== 7,70 МПаπd 0t π ⋅ 0,1035 ⋅ 0,0115150= 572,63150= 19,57,70Прочность по касательным напряжениям обеспечена с большим запасом.
Тем самым подтверждается положение о том, что при расчете напрочность длинных балок (ℓ ≈ 10 h) влиянием поперечных сил можно пренебречь.Выводы Из условия прочности найдены размеры поперечных сеченийбалок различных вариантов исполнения. Размеры округлены достандартных значений. Сопоставлены металлоемкости балок различных вариантов исполнения. По сравнению с двутавровым сечением самым неэкономичнымявляется круг.
пряжений по высоте поперечного сечения балки.129Задача №4q2aaaM0I2aqДля бруса из стали Ст5 определить внутренниеусилия на каждом участке. Построить эпюры внутренних усилий (значения усилий в буквенном выражении),определить положения опас- M0= 5 кН·м q = 4 кН/мных сечений. Выполнить подd/D = 0,7h /b = 2бор размеров поперечных сечеа = 0,5 мСт4ний; найденные размеры сечений округлить согласно ГОСТ 6636–69.РешениеI. ОпределениеIqвнутренних усилийаа2aВ общем случаенагружения пространaaaaственного бруса в заIIIIIIIIIIщемлении возникаетM0M0шесть опорных реакций: три силы и триqqxд момента.
Если опребy2xq2aделятьвнутренниеq2a2zусилия со свободного–Mzx–х/2конца бруса, то нетнеобходимости в нахожденииопорныхqреакций. Пронумеруq·2aе ем участки римскимив2q2aa/2цифрами I, II и III (рис.y–MyП1.5, а). В произволь2ном сечении каждогоxzq2axучастка рассечем брусна две части.
Отбросив ту из частей, гдеqнаходитсязащемлеq·2aгж ние, поместим в сечеq2a2q2a2yниекоординатнуюTa/2систему x y z . Из услоxq2a–aвия равновесия най+zxM0дем внутренние усиNлия и результат запиРис. П1.5. Схема нагружения бруса (а); отсеченнаяшем в таблицу.часть бруса на I участке (б); то же на II участке (в); тоДля длинных баже на III участке (г); эпюры изгибающих моментов (д),(е); эпюра крутящих моментов и продольных усилий (ж)лок (ℓ > 5h) влияниемпоперечных сил Q130обычно пренебре- Внутренние усилия в рассчитываемом ломаном брусегают,посколькуI участокII участок III участоккасательныена0 ≤ x ≤ 2a0≤x≤a0 ≤ x ≤ 2aпряжения τ от Q на Внутренние от силового от силового от силовогоусилияпорядокменьшефакторафакторафакторанормальных σ от M.M0M0M0qqqЗнаки внутMx = T00 -q·2a·a 00-M0ренних усилий ус00 -q·2a·x 0 -q·2a·a 0Myтанавливаем со-qx (x/2) 000 -q·2a·a 0Mzгласно правиламтеоретической0000q·2a0Nмеханики: еслипри взгляде в торец отсеченной части бруса внутренний момент, уравновешивающий внешнюю нагрузку, вращает против хода часовой стрелки, тоего считают положительным.II.
Построение эпюр внутренних усилийКаждую из эпюр изгибающих моментов My и Mz построим в отдельности на растянутой части бруса (рис. П1.5, д, е). Эпюры крутящего момента Т и осевого усилия N целесообразно совместить.Сопоставив эпюры внутренних усилий, можно заключить, что опасными являются следующие сечения:участок I – при x = 2a, плоский изгиб;участок II – при x = a, совместное действие изгиба и кручения;участок III – имеет место изгиб в двух плоскостях, кручение и растяжение;огибающие всех эпюр параллельны базисной линии – все сечения равноопасны;III.
Проектный расчетДля использования условия прочности на первом участке потребуетсядопускаемое напряжение на изгиб. На двух других участках ломаного бруса имеет место совместное действие изгиба и кручения. В этом случае эквивалентное напряжение, найденное по теориям прочности, сопоставляютс допускаемым, определенным при растяжении. Поэтому, воспользовавшись табл. П3.4, выпишем и будем использовать рекомендуемые значениядопускаемых напряжений для стали Ст5 как при изгибе, так и при растяжении.
Допускаемое напряжение при растяжении [σр] = 165 МПа, при изгибе [σиз] = 200 МПа.Участок IИз условия прочности при плоском изгибе определяем требуемое значение момента сопротивления131M maxM max 2qa 2 2 ⋅ 4 ⋅ 10 3 ⋅ 0,52σ max =≤ [σ из ] ⇒ W z ≥=== 1 ⋅ 10 − 5 м 3 .6[σ из ] [σ из ]Wz200 ⋅ 10C учетом отношения высоты прямоугольника к его ширине h/b = 2момент сопротивления прямоугольного сеченияbh 2 b(2b )2 2 333Wz === b , откуда b ≥ 3 Wz = 3 1 ⋅ 10− 5 = 0,0247 м .22663Округлив размер ширины до стандартного значения b = 25 мм, найдемвысоту прямоугольного сечения h = 2·25 = 50 мм.Участок IIИз условия прочности при изгибе с кручением находим требуемоезначение момента сопротивления круглого сплошного сеченияM привM привπσ экв =≤ σ р , откуда Wос == d3.Wос[σ р ]32[ ]При использовании III гипотезы прочности приведенный моментМ прив = M z2 + M 2y + T 2 =(2qa 2 )2 + (2qa 2 )2 =2 ⋅ 2 qa 2 .Требуемый диаметр поперечного сечения круга32 M прив32 ⋅ 2 2 ⋅ 4 ⋅ 103 ⋅ 0,523d ≥3== 0,0559 м .π σрπ ⋅ 165 ⋅ 106В соответствии с ГОСТ 6636–69 принимаем диаметр d = 56 мм.[ ]Участок IIIНа участке действуют четыре внутренних усилия.
Подбор сечениявыполним из условия прочности при изгибе с кручением, то есть, учитываядва изгибающих Mz, My и крутящий T моменты, а при поверочном расчетеучтем еще и продольное усилие N. Требуемый момент сопротивления4M привπ 3⎡ ⎛ d ⎞ ⎤Wос =D ⎢1 − ⎜ ⎟ ⎥ ,=[σ ]32 ⎣⎢ ⎝ D ⎠ ⎦⎥где D – наружный диаметр трубчатого сечения; d – диаметр полости.М прив = M z2 + M 2y + T 2 = ( 2qa 2 ) 2 + ( 2qa 2 ) 2 + M 02 = 8( qa 2 ) 2 + M 20 ;()2M прив= 8 4000 ⋅ 0,52 + 50002 = 5745 Н⋅м .Для трубчатого сечения момент сопротивления4π 3⎡ ⎛ d ⎞ ⎤Wос =D ⎢1 − ⎜ ⎟ ⎥ .32⎢⎣ ⎝ D ⎠ ⎥⎦Требуемый наружный диаметр полого поперечного сечения круга132D≥332 M прив[ ][π σ р ⋅ 1 − (d / D )4]=332 ⋅ 57456(π ⋅ 165 ⋅ 10 1 − 0,74)= 0,0776 м .Округлив до стандартного значения, принимаем D = 80 мм.Поверочный расчетМомент сопротивления и площадь поперечного сечения бруса4π 3⎡ ⎛ d ⎞ ⎤ πWос =D ⎢1 − ⎜ ⎟ ⎥ = 0,083 1 − 0,7 4 = 38,2 ⋅ 10− 6 м 3 .32 ⎢⎣ ⎝ D ⎠ ⎥⎦ 322π 2⎡ ⎛ d ⎞ ⎤ πA = D ⎢1 − ⎜ ⎟ ⎥ = 0,082 1 − 0,7 2 = 2,56 ⋅ 10− 3 м 2 .4⎢⎣ ⎝ D ⎠ ⎥⎦ 4Напряжение от изгиба в двух плоскостях и от крученияM прив5745σ экв === 150,4 МПа ≤ [σ ]Wос38,2 ⋅ 10− 6Напряжение от действия продольной силы NN 2qa 2 ⋅ 4000 ⋅ 0,5σ= === 1,56 МПа .AA2,56 ⋅ 10− 3Суммарное нормальное напряжение 150,4+1,56 ≈ 152 МПа, чтоменьше допускаемого [σ] = 165 МПа.Как видно из поверочного расчета, доля нормального напряжения,вызванная осевой силой N, незначительна.
В рассматриваемом примереона составляет около 1 % от общего напряжения σ. Поэтому при подбореразмеров поперечного сечения осевой составляющей нагрузки в первомприближении часто пренебрегают.(())ВыводИз условий прочности подобраны размеры поперечных сечений ломаного бруса при различных сочетаниях внутренних усилий. Размеры округлены в соответствие со стандартом.133ydthxbb−d4ПРИЛОЖЕНИЕ 2Таблица П2.1Двутавры стальные горячекатаные (ГОСТ 8239–89)A – площадь поперечногоS – статический моментсечения;полусечения;I – момент инерции;i – радиус инерции;W – момент сопротивления;Ix,см4Wx,см3ix ,см12,0 9,4619839,74,06 23,017,9 6,49 1,227,314,7 11,535058,44,88 33,727,9 8,72 1,384,97,517,4 13,757281,75,73 46,841,9 11,5 1,55815,07,820,2 15,98731096,57 62,358,6 14,5 1,70180905,18,123,4 18,412901437,42 81,482,6 18,4 1,8818а1801005,18,325,4 19,314301597,51 89,811422,8 2,12202001005,28,426,8 21,018401848,2810411523,1 2,0720а2001105,28,628,9 22,720302038,3711415528,2 2,32222201105,48,730,6 24,025502329,1313115728,6 2,2722а2201205,48,932,8 25,827902549,2214320634,3 2,50242401155,69,534,8 27,334602899,9716319834,5 2,3724а2401255,69,837,5 29,4380031710,117826041,6 2,63272701256,09,840,2 31,5501037111,221026041,5 2,5427а2701356,010,2 43,2 33,9550040711,322933750,0 2,80303001356,5102 46,5 33,5708047212,326833749,9 2,6930а3001456,510,7 49,5 39,2778051812,529243660,1 2,95333301407,011,2 53,8 42,2984059713,533941959,9 2,79363601457,512,3 61,9 48,6 1338074314,742351671,1 2,89404001558,313,0 72,6 57,0 1906295316,254566786,1 3,03454501609,014,2 84,7 66,5 27696123118,1708808101 3,09505001701015,2 100 78,5 39727158919,99191043 123 3,23555501801116,5 118 92,6 55962203521,8 1181 1356 151 3,39606001901217,8 138256023,6 1491 1725 182 3,54№h, b, d,t, A,мм мм мм мм см210100554,57,212120644,814140731616018m,кг108 76806134Sx,см3Iy, Wy,см4 см3iy ,смТаблица П2.2Нормальные линейные размеры (выписка из ГОСТ 6636–69)РядыRa5Ra10Ra20Ra40Ra5Ra10Ra20Ra401,01,01,01,04,04,04,04,01,051,14,21,14,51,151,21,24,81,25,05,01,31,41,61,61,45,61,66,36,36,32,01,87,12,08,08,02,52,52,82,29,03,22,5Примечания:2,61.Размеры,кратныеприведеннымвтаблице,получаются умножением на0,01; 0,1; 10; 100.2,82.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
