sem_11 (817235), страница 19
Текст из файла (страница 19)
Построить эпюру угловe = 1,2 м.закручивания.РешениеI. Определение внутренних усилий и напряжений . В защемлении возникает опорный момент М (рис. П.1.2, а), вычислять который нет необходимости, поскольку внутренние усилия станем определять,рассматривая брус со свободного конца. Методом сечений находим внутренние усилия на каждом из участков, составляя сумму моментов относительно продольной оси бруса (см. пример 1.3). Строим эпюру внутреннихусилий (рис. П1.2, б).IIIIIIIVМ1М2ММ3DdTI = –M1 = –15 кН·м;TII = –M1 = –15 кН·м;аTIII = –M1 – M2 = –15 – 22 = –37 кН·м;TIV = –M1 – M2 + M3 = –15 –22 + 28 == –9 кН·м;bfceб91537τ, +0МПа –в9,315,538,412431,64г7,84β·10-3+09,67T− 37 ⋅ 16кН ⋅ мτ III = III == −74;3WIII π( 2d )πd 3TкН ⋅ м− 9 ⋅ 16τ IV = IV == −18.3WIV π( 2d )πd 3Проверка. Сечениям, к которым приложена пара сила, наэпюре Т соответствуют скачки навеличину приложенного моментаи в направлении его действия.aghkТ, +0кН·м –31,64TкН ⋅ м− 15 ⋅ 16τI = I =;= −2403WIπ⋅dπd 3TкН ⋅ м− 15 ⋅ 16τ II = II =30;=−WII π (2d )3πd 3mРис.
П1.2. Схема нагружения ступенчатоговала (а), эпюра внутренних усилий (б),эпюра напряжений (в), эпюра угловзакручивания сечений (г)Сечение m: ΔTm = (TI – 0) = (–15 – 0) = –15 кН = M1(скачок в минус)Сечение h: ΔTh = (TII – TI) = (–37 – (–15)) = –22 кН = M2 (скачок в минус)Сечение g: ΔTg = (TIII – TII) = (–37– (–9)) = –28 кН = M3123(скачок в плюс)Определив касательные напряжения, приходим к выводу, что опасным является участок I. Знак напряжения в расчетах на прочность элементов из пластичных материалов роли не играет.II. Проектный расчет . Из условия прочности при кручении находим требуемое значение полярного момента сопротивления сеченияTT15 ⋅ 103τ=≤ [τ ]; ⇒ W p ≥== 1,2 ⋅ 10− 4 м3 .6[τ] 125 ⋅ 10Wp16 ⋅ W pπ⋅d316 ⋅ 1,2 ⋅ 10− 433Поскольку W p =, то d ≥== 0,0849 м .16ππПринимаем полученное значение диаметра вала, округлив до стандартногозначения: d = 85 мм, D = 170 мм.
Допускаемое напряжение для стали Ст5при кручении назначено согласно рекомендациям таблицы П1.Вычислив фактические напряжения на каждом из участков, строимэпюру напряжений (рис. П2.2, в).TI− 15000π ⋅ 85333=== −124,4 МПа ;τIW pI == 120,6 ⋅ 10 мм ;−6WpI 120,6 ⋅ 1016W pIIπ ⋅ 1703== 964,7 ⋅ 103 мм3 ;16W pIIIπ ⋅ 1703== 964,7 ⋅ 103 мм3 ; τ III16W pIV =− 15000TII== −15,5 МПа ;W pII 964,7 ⋅ 10−6− 37000T= III == −38,4 МПа.W pIII 964,7 ⋅ 10− 6τ II =TIV− 9000π ⋅ 1703== −9,3 МПа .= 964,7 ⋅ 103 мм3 ; τ IV = W−6964,7⋅10pIV16III.
Деформации вала. Угол закручивания каждого из участковопределим, используя закон Гука при кручении, вычислив предварительнополярные моменты инерции. Для участков II, III и IV они одинаковы.I pI =π⋅d 4 π⋅0,0854π⋅( 2d ) 4 π⋅0,17 4== 5,12⋅10− 6 м 4 ; I pII === 82,0⋅10− 6 м 4 .323232323T ⋅a− 15 ⋅ 10 ⋅ 0,6φI = I== −0,02197;G ⋅ I pI 8 ⋅ 1010 ⋅ 5,12 ⋅ 10− 6TII ⋅ b− 15 ⋅ 103 ⋅ 0,8φ II === −0,00183;G ⋅ I pII 8 ⋅ 1010 ⋅ 82,0 ⋅ 10− 6TIII ⋅ c− 37 ⋅ 103 ⋅ 1,1φ III === −0,00620;G ⋅ I pIII 8 ⋅ 1010 ⋅ 82,0 ⋅ 10− 6φ IVTIV ⋅ e− 9 ⋅ 103 ⋅ 1,2=== −0,00164.G ⋅ I pIV 8 ⋅ 1010 ⋅ 82,0 ⋅ 10− 6Здесь G = 80 ГПа – модуль касательной упругости.124Для построения эпюры перемещения сечений начало отсчета выберем в сечении f, поскольку оно неподвижно (защемлено):β f = 0;β g = φ IV = −1,64 ⋅ 10− 3 ;β h = φ IV + φ III = ( −1,64 − 6,20) ⋅ 10−3 = −7,84 ⋅ 10−3 ;β k = φ IV + φ III + φ II = (− 1,64 − 6,20 − 1,83) ⋅ 10− 3 = −9,67 ⋅ 10− 3 ;β m = φ IV + φ III + φ II + φ I = (− 1,64 − 6,20 − 1,83 − 21,97 ) ⋅ 10 − 3 = −31,64 ⋅ 10 − 3 .Строим эпюру углов закручивания сечений (рис.
П1.2, г).Вывод. Найдено положение опасного участка в ступенчатом вале. Изусловия прочности подобран диаметр вала опасного сечения. Исходя иззаданного соотношения диаметров, вычислены размеры поперечных сечений остальных участков. Рассчитаны деформации каждого из участков,построена эпюра углов закручивания сечений; крайнее левое сечение валаповернулось относительно защемления на угол 0,03164 радиана.Задача № 3Для балки из стали Ст3, схема котоДано:рой представлена на рис. П1.3, а, подобратьпоперечное сечение в нескольких вариантах M0 =12 кН·м; q = 24 кН/м;с = 0,6 м.исполнения: двутавровое, прямоугольное с от- а = 0,9 м;ношением высоты к ширине h/b = 1,5,III qкруглое и трубчатое c отношениемM0RАRBd/D = 0,8.
Варианты исполнения соАВапоставить по металлоемкости. Выxxполнить проверку прочности по касаacтельным напряжениям.+Q,0кН –бРешениеI. Определение опорных реакций.8,533Шарнирно-подвижная опора А накла14,4дывает одну связь, имеет одну реак127,68цию RA. Шарнирно-неподвижная опо–ра В накладывает две связи, имеет двевM, 0составляющие реакции: горизонталь- кН·м +ную и вертикальную. Согласно услоРис. П1.3.
Схема нагружения балкивию задачи в горизонтальном направ- (а), эпюра поперечных сил (б), эпюралении нагрузки отсутствуют. Следоваизгибающих моментов (в)тельно, горизонтальная реакция равнанулю, поэтому нет необходимости в ее изображении.∑ M A = 0; − M 0 + q ⋅ c(a + c / 2 ) + RB ⋅ a = 0 ,125откуда RB =M 0 − qc(a + c / 2 ) 12 − 24 ⋅ 0,6(0,9 + 0,6 / 2 )== −5,867 кН .a0,9∑ M B = 0; − M 0 + q ⋅ c(c / 2) − R A ⋅ a = 0 ,− M 0 + qc 2 / 2 − 12 + 24 ⋅ 0,62 / 2откуда R A === −8,533 кН .a0,9Проверка найденных реакций:∑ y = 0; R A + RB + qc = 0;Реакции найдены верно.− 8,533 − 5,867 + 24 ⋅ 0,6 = 0.Фактическое направление опорных реакций обратно показанному нарис.
П1.3, а.II. Определение внутренних усилий .Удобно на первом участке рассматривать равновесие левой, а на втором – правой отсеченной части балки.I участок; 0 ≤ x ≤ a;Q(x)= RA = –8,533 кН;M(x)= RA·x – уравнение прямой линии;Mx=0 = 0;Mx=a = RA·a = –8,533·0,9 = –7,68 кН·м.II участок; 0 ≤ x ≤ c;Q(x)= –q·x – уравнение прямой линии.Q x = 0 = 0;Q x = c = − q ⋅ c = −24 ⋅ 0,6 = −14,4 кН.xM ( x ) = − M 0 + qx – уравнение параболы.2M x = 0 = − M 0 = −12 кН ⋅ м;q24M x = c = − M 0 + c 2 = −12 + 0,62 = −7,68 кН ⋅ м.22Приравняв первую производную функции момента по абсциссе, находим экстремум этой функции:d M ( x)d M ( x)= qx;= 0; qx = 0 ⇒ x экстр = 0.dxdxВ этом сечении находится вершина параболы.Строим эпюры Q и M (рис.
П1.3, б и в) и выполняем проверку правильности их построения: на участках, свободных от распределенной нагрузки, эпюра Q параллельна базисной линии, а эпюра моментов – наклонная прямая; на участках, где равномерная распределенная нагрузка действует,эпюра Q – наклонная прямая, а эпюра моментов ограничена параболой,выпуклость которой совпадает с направлением распределенной нагрузки;126на участках, где Q отрицательна, значения М убывают; в сечениях, где приложены сосредоточенные силы (в конкретномслучае реакции в опорах), на эпюре Q скачки в направлении этих сил и наих величину, а на эпюре М – изломы в направлении действия этих сил; в том сечении, где приложен момент на эпюре М ему соответствуетскачок на величину приложенного момента и в направлении его действия.Из эпюры моментов следует, что опасным является крайнее правое сечение, где момент принимает значение Mmax = 12 кН·м.III.
Проектный расчетИз условия прочности при изгибе находим требуемое значение момента сопротивления, ориентируясь на рекомендуемые значения допускаемого напряжения [σиз] = 150 МПа, взятого из таблицы П3MM12 ⋅ 103= 8 ⋅ 10−5 м3.σ max = max ≤ [σ из ] ; ⇒ Wz ≥ max =6[σ из ] 150 ⋅ 10WzФорма сеченияМомент сопротивленияРазмер3ДвутаврWz ≥ 80 см по таблице сортаментаWzb ⋅ h 2 b(1,5b )2Прямоугольник сb≥3Wz === 0,375b3отношением h/b = 1,50,37566π 3WzWz =D = 0,0982 D 3D≥3Круг320,0982Кольцо c отношением d/D = 0,84π 3⎡ ⎛ d ⎞ ⎤Wz =D ⎢1 − ⎜ ⎟ ⎥ = 0,0579 D 332 ⎢⎣ ⎝ D ⎠ ⎥⎦D≥3Wz0,0579Найденному значению момента сопротивления соответствуют следующие размеры поперечных сечений:ФормасеченияДвутаврWz = 81,7 см3Прямоугольник−5⋅810b≥3= 0,0598 м;0,375КругКольцоТребуемые размерыD≥3−58 ⋅ 10= 0,0934 м;0,09828 ⋅ 10−5D≥3= 0,111 м0,0579127Принятыеразмеры, см№ 14Площадь А, см2b=6h=9b×h6×9 = 45D = 9,5π 2D4π 29,5 = 70,94D = 11,5;d = 9,2;t = 1,15π 2D 1 − 0,824π11,52 (0,36) = 37,4417,4()Требуемые размеры округлены в соответствии с ГОСТ 6636-69(табл.
П3) и занесены в третий столбец. Здесь d – внутренний диаметрполого сечения, а t – толщина его стенки. Металлоемкость балкиопределяется ее объемом, то есть произведением длины на площадьпоперечного сечения. Поскольку длины балок одинаковы, сопоставимплощади поперечных сечений различных форм с двутавровым:АкругаАдвут=70,9= 4,07;17,4АпрямАдвут=45= 2,59;17,4Акольц 37,4== 2,15.Адвут 17,4Самое неэкономичное сечение – круг.IV.
Распределение напряжений по высоте поперечного сеченияОпасным для заданной схемы нагружения является крайнее правоесечение с максимальным изгибающим моментом. Однако поперечная силав этом сечении равна нулю (см. рис. П1.3, б и в). На примере одного из рассматриваемых сечений (прямоугольного) на рис. П1.4 показаны эпюрыраспределения нормальных и касательных напряжений по высоте поперечного сечения в фактически разных по длине балки местах: эпюра σ вкрайнем правом сечении, а эпюра τ – в сечении над опорой В.h/2yh/21.
Нормальные напряжения в произвольной точке поперечного сечения определяют по формулеMσ = z y,Izгде Mz – изгибающий момент; Iz – момент инерции.Переменным параметром в формуле является у – ордината точки поперечного сечения. Зависимостьτσнапряжения от ординатыy– 0+– 0+точки – линейная, посколькупеременная у в первой степени. Максимальные напряжеzния σmax в точках, наиболее0τmaxудаленных от центральнойоси (рис. П1.4, б). В симметричных сечениях (круг, пряσmaxbмоугольник, двутавр и др.)абвРис. П1.4. Характер распределения нормальнапряжения равны по велиных (б) и касательных (в) напряжений в прячине, но противоположны помоугольномпоперечном сечении (а) бруса признаку.поперечном изгибеЗнак напряжения зависит как от знака изгибающего момента, так и от положения рассматриваемой точки относительно оси z. Изгибающий момент в опасномсечении отрицателен (см.
рис. П1.3, в), изогнутая ось балки выпукла вверх,128верхняя часть растянута (знак напряжения положительный), нижняя частьбалки сжата.2. Касательные напряжения в произвольной точке вычисляют поформулеQ y ⋅S z′τ=,b⋅ Izгде Qy – поперечная сила; b – ширина сечения на уровне той точки, вкоторой вычисляют напряжение; Iz – момент инерции.Переменным параметром в формуле является S z′ – статический момент отсеченной части площади; зависит от ординаты у во второй степени.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
