Godunov S.K., Ryabenkii V.S. Difference schemes. An introduction to the underlying theory (811440), страница 17
Текст из файла (страница 17)
(11), сЬе соггевропд1п8 Епв. (8), сете Ьу Сете. пе деЕ1пе г — и ч п и п Сопнегдепсе, Арргох1аас1оп апй ВсаЬ111су 114 СЬарсег 5 апа попе СЬаС дС(х, 1 ) С(х,в) — С[х о)- " "е -МЬп п' п и п до п п п' нЬеге Е 1в вове поаЬег Ьесеееп в апй о . Ме сЬеп Вес сЬе Ео11ом1пд и и п вувсее ое еооас1опв йесеге1п1пд н = (ч, ч, ..., ч..., ч ) с (Ь) е е п+1 и (Ь) - М( >а с , и О, 1, ..., М-1, Ь п и и' (12) 0 Тас1их ассоопс оЕ сЬе Еасс сЬас М < М Ьу ч1гсое оЕ (10), апВ сЬас (Ь) и пЬ < МЬ 1, ме Вео )е ,! - )(1 + ЬМ " )а + Ьс ( < (1 + МЬ))н ) + Ь)с ) < < (1 + МЬ)2)е ! + Ь(1 + МЬ))с ! Е Ь)в ) < < (1 + МЬ)2)н ) + 2Ь(1 + МЬ)))с(Ь) И < < (1+МЬ) )е ) + ЗЬ(1+МЬ) ()с )( < «1+ МЬ>"+')ч ! + (и+1)Ь(1+ МЬ)") )с(")(! < < „„„>и+111 (Ь))) ( >и!) (Ь))) < 2(1+МЬ) ))в )( < 2е Ис И Рсоа СЬе ЛееопвсгасеВ 1пеооа11гу )ю ) < 2е Ис И Ео11оев а ЬоопА оЕ Еоге (б) ))е И < 2е )|в )(Р в1дп1Еу1их всаЬ111гу е1сЬ сопвсапг С 2 ехр(М).
Ву чсгсое оЕ сЬе адове сЬеогеи, 41ЕЕегепсе всЬеае (В) 1в сопчегдепс со Е1гвс огдег 1п Ь. Мон 1ег ов вгойу сЬе соичегдепсе оЕ 61ЕЕегепсе всЬеае (7) $10 112 ОеЕ1п1с1оп оЕ а БсаЫ!1су оЕ а О1ЕЕегеппе ЯсЬеее 115 и -2и +и п+! п п-! (1+ х !и Е1+х Ь2 п п п п=1,2,...,М1, (13) О и ! Я Еог СЬе 41ЕЕегепс1а! Ьоипйагу-ча1ие ргоЫее (4) 1!О. ТЬас ргоЫее (13) арргох1аагев (4) 110 со васоев огйег 1п Ь 1в оЬч1оив,* в1псе ) МЫ + .~.=~ ..
си и) 1„2 = и" (х) + — и (Е) !2 Мехс ее вег оиг со чег1Еу всаЫ11су. ТЬе ргоЫеа ипдег сопв14егас1оп 1в 11пеаг. ТЬеге(оге ргаоЕ оЕ всаЫ11су сопв1вгв 1п сЬас опе евсаЫ1вЬев ех1всепсе оЕ а ип13ие во1ис1оп оЕ сЬе ргоЫеа (! + хг)и О, п 1, 2, ..., М-1, Ьг п п п' (!4) и и, О Еог апу !д ), о апд О, апй йег1чев СЬе поппе ' п еах )и ) г. С(аах )д ~, ~и1, )6)) ° п п (15) А ргоЫее оЕ Еоге (14) иав сапв14егед 1п 14 (вее р. 34). ТЬеге, Еог СЬе ргоЫее во+пи+пир и п-1 п п п п+! п' и и, О и В М *с)е посв сьас, 1е ее веге деа11пО и1сь сье во1ис1оп ое сье еоиас1оп и - (!+хг)и Б, 41ЕЕег1па чету 11сс1е Егое сЬе опе сопв1оегей Ьеге, сЬеп юе иои1й пос Ье аЫе со йедиое арргох1аас1оп, в1псе !и (х)! пои!4, 1п сЬе 21чеп саве, Ье ипЬоипдей (ргоче, г1аогоив1у, сЬаг и (х) 1в ипЬоип6е6).
Сопчегрепсе, Арргох1шаг1оп апб ясаЬ(11гу СЬарсег 5 116 оп сЬе аввишрс1оп сЬас (Ь ~ ) (а ( + (с ~ + б, б ) О 1с иав вЬоии сЬаг а ип1вие во1ис1оп ех1вгв, аиб ссас (и„~ ( шах ~(п(, )В) ч шах (6 1п сЬе саве оЕ ргоЫеш (14) (16) а " — „ с — , (Ь ~ — + 1 + х2 ) )а ~ + (с ) + 1. 1 1 2 и Ь2" и Ь2' п Ь2 п и и ТЬеге(ого Ьоипб (16) 1шр11ев Ьоипб (15) и1СЬ С 1. ВсаЫ11Су Ьав Ьееп (О) (Ь) (Ь) Ь О (1) (Ь) (Ь) Ь 1 (17) (17 ) во СЬаг 2( ) 26 1 и Е Е 61 (Ь) Е (Ь) О (Ь) 6 1 Аввише, ЕигсЬег, сЬас 61ЕЕегепсе всЬеше (2) арргох1шасев ргоЫеш (1) со огбег Ь, 1.е. ЕП.
(3) 1в вас1вЕ1еб. Виррове сЬас, 1п а661с1оп, виЬвувсеш Ь (17 ) абгеев и1сЬ ргоЫеш (1), оп СЬе во1иг1оп и, ехасс1у, 1.е. 6Е О, (Ь) и(СЬ О 1и рЬ (1) 6Е( 61( 1 О. (1В) 1п висЬ в саве, Еог соичегсепсе оЕ сЬе во1иС1оп, и, оЕ ргоЫеш (2) со (Ь) сЬе геии1геб пес Еипсс1оп [и) (1.е. Еог СЬе ча1161гу оЕ Ьоипб (7)), 1с 1в Ь (Ь) виЕЕ1с1епс сЬас ~5) Ье вас1вЕ1еб, пос Еог а11 агЫсгагу с 1п РЬ, Ьис ои1у Еог а11 с оЕ сЬе Еогш (Ь (Ь) ,(Ь) ~ 'О 1 О, ргочеп.
(бе посв опе беса11 иЫсЬ сап Ье ивеЕи1 1и ргоч1пВ сопчегхепсе сЬгоиВЬ нег111сас1оп оЕ арргох1шас1оп апб всаЫ11су. Виррове 61ЕЕегепсе всЬеше (2) 1в вр11с 1исо сЬе сио виьвувсешв чЬеге О 1в 1п р '. А ргооЕ оЕ сЫв сопс1ив1оп со1пс14ев чегЬас1ш ш1сЬ СЬе (Ь) 1 ргооЕ оЕ сЬе аЬоче сопчегаепсе сЬеогеш. ТЬе геадег сап еав11у чег(ру СЬас, Еог а 11пеаг, оаЬегасаг, Ь , сЬе геци1гешепс сЬаС Ьоипд (5) Ье вас1а(1ей оп1у Еог а11 я оЕ Еогш ~19) 1в еци1ча1епс со сЬе гес(и1гешепг СЬас Ьоипд ( ) (6) Ье вас1я(1ед Еаг а11 Е оЕ сЬе ваше ярес1а1 Еогш Ь) (Ь) (Ь) ~ О (О, чЕСЬ О 1п р( Ь Рог ехашр1е, 1п ргоч1пд сопчегаепсе оЕ 61ЕЕегепсе всЬеше (13), 1С шеи)А Ьаче Ьееп роввЕЫе со шаСе иве оЕ сЬе Еасг СЬас ЬаСЬ Ьоипдагу сопд1с1опв, „(1) (Ь) ) "О 'Е (1) Ь 'л сс прап виЬвс1сис1оп оЕ сЬе саЬи1асед ча1иев, (и[, оЕ сЬе яо1ис1оп оЕ ргоЬ1еш (4) $10, аге яас1в(1ед ехасс1у: и(О) 2, и(1) 1.
1( ) [и) ТЬегеЕоге сЬе ргооЕ оЕ 1пециа11гу (15), в1рп1(у1па сЬе всаЫ11су аЕ 61ЕЕегепсе всЬеше (13), сои14 Ьаче Ьееп сагг1ей оис, пос Еог ап агЫСгагу г1КЬС-Ьапа я1де Х , и 1 2, ..., М-1, и' Ф а, Е( Ъис оп1у Еог а г1аЬс-Ьапй в1йе оЕ Еогш а, и 1, 2, °, М-1, п' О, (Ь) О, шЬеге ше Ьаче Евсеи а О апй 5 = О. 1п ргаЫеш (13) че йеа1с ш1СЬ сЬе ргооЕ оЕ СЬе всаЫ11гу"1пециа11су ечеп ш1сЬоиг СаЫпа ассоипг оЕ сЫв в1шр11Е1сас1оп. 1п шаге сошр11сагед ргоЫешв (Еог е3иас1опя ч1сЬ рагс1а1 йег1час1чев) спе аЬоче сопвИегас1опв ч111 яошес1шев ргаче ивеЕи1. Вг Ое(1п1с1оп оЕ а 3саЫ11су оЕ а О1ЕЕегепсе всЬеше 117 СЬаргег 5 Сопчегхепсе, Арргох1шас1оп апд ЯсаЫ11су То еп4 СЫв веег1оп ие и«Аег1!пе СЬе ЕасС СЬаг СЬе очага!1 п1ап оЕ СЬе ргооЕ оЕ сопчегМепсе оЕ сЬе во1ис1оп оЕ сЬе ргоЫее 1 и Е , со сЬе (Ь) (Ь во1ис1оп оЕ 1« Е, ч1а чег1Е1пас1оп оЕ арргох1шас1оп апй всаЫ11су 1в чету Мепета1 1п ссагассег.
1п СЬе го1е оЕ СЬе еоиас1оп 1« = Е че сап рис апу Еипсс1опа1 еМ«ас1оп, пос оп1у а Ьоипдагу ча1«е ргоЫее Еот ап огд!«агу А!ЕЕегепс!а1 аспас!оп. 1п 1све1е 1с 1в пы 1шрогсапс «Ьас вогс оЕ ртоЫеа 1в в«1«ед Ьу сЬе ЕипсС1оп и. ТЬе еМ«ас!оп Ьи Е 1в ивед оп1у ав а Ьав1в Еог СЬв сопвсгисс1ап оЕ сЬе АЕЕЕегепсе еМ«ас1«п Ь и Е . ТЬеве (Ь) (Ь) Ь со«в!бегат!опв «111 Ье с1аг1Е!ед Ье1оч, 1п 3. 3. Сопчегхеаг ЙЕЕЕегепее веЬеше Еог ап 1псехга1 еМ«ах!оп.
Ме поч сопвсгисс апй вс«Ау а д!ЕЕвгепсе всЬеае Еог сошрис1пМ сЬе во1ис1оп оу сЬе 1псемга1 евиас1«п 1 Ьи а и(х) - ) К(х,у) «(у) ду Е(х). 0 Мв ч111 аввиее СЬаС )К(х,у) ~ < р < 1. рог а 01чеп м че вес ь 1/м апд веек са оьса1п а саые ое сье во1«- с1оп, (и), оп сЬе пес х = «Ь, п 0 1, ..., М. То агг1че ас а 41ЕЬ' п Еегепсе всЬеае ие арргох1аасе СЬе !пгесга1 1« сЬе еМ«ас1«п 1 и(х) -) К(х, у) и(у) ду Е(х), п О, 1, ..., М, п 0 п п Ьу а виш, ив!«м сЬе старого!Аа1 1псемгас1оп Еога«1а. Ме геоа11 сье вСг«ссиге оЕ сЫв Еогши1а: Еот апу Еипсс1оп, ф(у), с«1се 01ЕЕегепс!аЫе оп сЬе 1псегча1 0 < у < 1, че шау чг1се 1 ) р(у) ' Ь~~ +Ф +02+ "'+АМ1+~) 0 чЬеге сЬе еггог 1в 0(Ь2). АЕсег сЬе аЬоче гер1аоеаепс оЕ сЬе 1псехга1 ме яес т К(х , 0) и(Ь) - Ь ~ "* и'Ь' + К~х Ь~ и'Ь' + п ~, 2 0 п 1 (Ь) ~ ' 1) (Ь)1 +К~х, у ~м + и Е~х), п О, 1, ..., М.
(20) ТЫв вувсеш оЕ воиас!опв сап Ье ит1ссеп 1п сЬе Еогш 1 и " е 1Е че (Ь) (Ь) деЕ!пе 512 Ое((п(с1оп оЕ а ЯсаЪ(11су оЕ а 01ЕЕегепсе усЬеее 119 Е(О) Е(Л), "о 01 (л) (Ь) Ъ и Е (1), иЬеге п п 2 О п О, 1, ° , М. ТЬ(в впЬеее 1 и " Е аРРгох1еагев СЬе РгоЪ)ее Ъи Е, оп СЬе во1иг1оп (Ь) (Ь) Ь и, со весопд агдас 1п сЬе егер-в1ае Ь, з1ппе СЬе Сгарево10а1 Тиадгагиге (Ь) Еагеи1а 1в аспигаге Со весопй огйег. Ие поз чег1Еу вгаЪ111су. пег и !и, и, . ° °, и ) Ъе апу во1иг1оп оЕ вувгее (20) апй 1ес и Ье опе оЕ М в СЬове соеропепсв ос СЬе во1ис1оп зЬове еойи1ив 1в по 1евв сЬап сЬас оЕ апу осЬег: !и ! еах !и Ргое сЬе е9иас1оп оЕ вувсее (20) пиеЪегед п в, 1с Ео11оиз сЬас > (и ~ - Ь(О + р + ... + р + )(и ~ = (1 - ЯЬр)~и ) (1 - р)~и ТЬеге(оге !!и !! = еах!и ( !и ) < — !Е(х )! < !!Е )|р .
(21) (Ь) ! (Ь)! ! (Ь)! 1 1 (Ь) О ~ е ~ ~ з ~ 1 р з ! р Ь ! !(и! — и ! ! еах !и(шЬ) - и ! < АЬ2, (Ь) (Ь)! пьесе А 1в вове сопвсапс. е е е угое сЬЕв 11 Ео11оив, сп сЬе вреп1а1 саве Е(х ) е О, сЬас вувсее (20) п Ьав по попсг1ч1а1 во1исгоп, апс( сЬегеЕоге Ьав опе апд оп1у опе во1ис1оп Еог (Ь) апу г1ОЬс-Ьапд вЕОе Е . 1пе9иа11су (21) в10п111ев всаЪ111гу, з1ппе 1с 1в (Ь) е9и1ча1епс со (б) ю1сь сопвсапс с 1/(1 - р). тье во1ис1оп, „ , ое сье (Ь) (Ь) ргоЪТее ъ и = г , ъу ч1гсие ое сье сопчегеепсе сьеогее, вас1»е1вв сье Ь 1пе9иа11СУ 121 513 Оп сЬе СЬа1се оЕ а йога и +Аи О, 0<х<1, и(0) а, с1сед 1п %9 ав ап ехашр1е оЕ ап ипивеас)е всЬеше, 1в поч сопчегсепг. 1п Еасо Ьу ч1ггие оЕ СЬе есиаСЕоп "Ах Г х /Ь и(пЬ) — и ае — и - ~- Асае + 0(Ь) ~ Ь22 + 0(Ь), п 3 п п п п ~2 чЬ(сЬ Еа11оив Егаш (7) 59, СЬе оиапг1СУ ] ! [и] " и [] 2 шах [и(шЬ) — и (Ь) -1/Ь (Ь) ! Ь О ш сепдв со сего ав сЬе пес 1в ге(1пед.
Вис 11 1в с1еаг сьас сье арргоась оЕ СЬ(в Виаигсгу со сего доев пос, Ьч апу геавопаЬ(е 1псегргесас1оп, 1шр1у (Ь) (Я сЬас сЬе еггог, с [и] — и , сепдв со вега, 1пвоЕаг ав сЬе д(ЕЕегЬ епсе, и(пЬ) — и „ 1в а11оиед со 1псгеаве чегу гар1д1у (а1шовс 11се 1/Ь п" 2 ), ав 1С доев, 1п Еасг, Еп СЬЕВ ехашр1е. Яогшв (2) апд (3) а1во аге поС Со Ье гесошшепдед в1псе сЬеу а1во 1падесиасе1у сЬагассег1ве сЬе еггог [.] (Ь) Ь 11 Ев сивгояшгу со сЬоове а поги 1п сЬе врасе О 1п висЬ а иау сЬас, Ь ав Ь сепдв со сего, 1с и111 Во очег 1псо ваше поги Еог Еипсс1опв В1чеп оп сЬе иЬо1е 1псегча1, 1.е.
во сЬаг 11ш [][и]Ь[! - ][и]]О (А) ЬяО Ь иЬеге [ ! ° ! [ 1в а поги 1п сЬаС врасе оЕ Еипсс1опв, оп сЬе В1чеп 1псегча1„ со иЬ(сЬ и(х) Ье1опсв. ТЬе поги [[я [! шах]г Ь ваг1вЕ1ев сЬЕв геси1гешепс, 11 ие гасе ав О сЬе врасе оЕ сопс1пиоив Еипсс1опя 1п чЬ]сЬ ][и]! шах ]и(х)], 0<х<1 апд 1ес сье пес еипсс1оп [и] со1пссде и1сь и(х) ас сье ро1псв ое сье пес. ТЬе поги „.яс„я [~ ],Мр' Сопчегрепсе, Арргох1аас1оп апд ЯсаЫ11су 122 СЬарсег 5 1в в1во геавопвЫе. 1с яас1вЕ1ея сопд1с1оп (4) 1Е ае сесе, ав О, сЬе врасе оЕ сопс1пиоив Еипсс1опв ч1сЬ поги 1 ~ (и( ( ~ й(х) дх, О впд де(1пе сЬе пес Еипсс1оп (и), вв ЬеЕоге, Со со1пс1де и1сЬ и(х) ас песро1пгв.
1п сЬе саве оЕ в д1всопс1пиоив во1иг1оп и(х) аЫсЬ, Ьоаенег, 1в впияге-1псергаЫе, ае аау гасе ая О сЬе врасе оЕ яаиаге-1псергаЫе ЕипсС1опв и1СЬ СЬе «ога Ьис деЕ1пе сЬе чв1ие, и, оЕ сЬе пес Еипсс1оп (и)Ь, пос Ьу спе еаивс1оп п' и и(пЫ (чЫсЬ аау пес Ье аеап1пХЕи1), Ьис Ьу сЬе ехргеяв1оп п х +Ь/2 п и = — ) «(х)дх ° п Ь х -Ь/2 п ТЬеп а1во Еог сЬв 41всопс1пооив Еипсс1оп ае а111 Ьаче ( 1 11а )((и)„)(„- /~ и'дх. ЬчО Ь О 1с 1в с1евг сЬвс сопчегдепсе 11а ~)(и) - и ~~ - О (Ь) Ь О ОЬ 1п сЬе яепве оЕ поги (1), 1.е, ип1Еога сопчегдепсе, 1ар11ея сопчегрепсе 1п сЬе вепве оЕ поги (5), 1.е. сопчегрепсе 1п сЬе аеап, Ьиг ип1(ога сопчегдепсе доев пос Ео11оч Егоа сопчегдепсе 1п сЬе аевп.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
