Godunov S.K., Ryabenkii V.S. Difference schemes. An introduction to the underlying theory (811440), страница 15
Текст из файла (страница 15)
Ехаар1е 2. Не ехаа1пе СЬе огдег оЕ арргох1»ас1оп оЕ сЬе 61ЕЕегепсе всЬеае » — и »+1 и- ! + А» = ! + хс, и 1, 2, ° ... Н-1, 2Ь п п' 1» (Ь) (!3) » = Ь, О » Ь ! оп СЬе во1»С1оп, », оЕ СЬе ргоЫе|а — + А» ! + х д» дх »(О) Ь. (!4) А вса11аг всЬеае аав сопв14егед 1п $В енеп ЬеЕоге сЬе 1»сход»сг1оп оЕ а г1Н»го»в1у-Ае(1»ед со»се»ЬС оЕ арргох1ааС1оп. Неге сЬе го1е оЕ Е 1в р1ауед Ьу ( ! + хс, и = 1, 2, . ° ., Н-1, п Ь, Ь.
У»гсЬег впд 1) 6Е ) 1 < С Ьс, »Неге С св воае сопвеапс поС Аере»41»Н оп Ь. ТЬе (Ь) р ! ! арргох1аас1оп йов Ьесоаев вес»од-огдег 1п Ь. Не вегевв сЬас, Еог СЬе сопвгг»сс1оп оЕ д1ЕЕегепсе Ьо»»двгу со»41С1»п (12), не »вед поС оп1у сЬе Ьо»идену со»41с1»п оЕ ргоЫеа (4), Ь»с а1во СЬе ЙЕЕЕегепс1а1 ер»ас1»п 1све1Е. Опе иау вау СЬас ае Ьане, 1п еЕЕесс, »вед СЬе Ьо»»двгу спид!С!оп Арргох1«аг1оп оЕ а 01ЕЕегепое ясЬепе 101 «(х + Ь1 — «(х — Ь] + А«[х ), и = 1, ° ° °, М-1, п 1(«] е о(0), «(Ь) ог Й«(х ) йх еА«(х)~+ — «* 'сс), п 1, ..., я-1, п ~ б п Ь («] а «(0), Ь Ь д«(с ) «(0) + Ь с]х 21«се сЬе во1«с1оп, «, веС1вЕ1ев сЬе ео«ас1«п с]«си ) дх +А«(х] 1+х п и' сЬе гев1д«а1 АЕ сасев СЬе Еога (Ь) Ьг — « 'Се ), «=1, ° ° °, Ь-1, (Ь) ТЬе арргох1«ас1оп «Е ргоЬЕеп (1А) Ьу всЬеае (13) 1в оЕ Е1гвг огдег 1п Ь. Опе 1пвпес]1асе1у пеев сЬаг СЬе сопропепсв оЕ сЬе гав(0«а1, ав 1п ехапр1е 1, аге оЕ д1ЕЕегепс огйег 1п Ь.
ТЬе с]1ЕЕегепсе ео«аг1«п « — « и+1 п-1 +А«1+хс, п 1, 2, ..., М-1, гЬ п п' (15) (16) « = Ь 0 оп в«Ьвс1с«с1«е («], 1в вас1вЕ1ед ехасс1у, апд СЬе весе«с] (17) « = Ь 1 — «1сЬ гев10«а1, Ь«(6 ) 1 врргох1швг1«п 1в евгспагед оЕ Е1гвг огйег 1п Ь. ТЬе еггог оЕ СЬе пах )« (х)), еах )« (х)~. 0<х<1 0<х<1 «роп в«Ьвг1с«ссоп оЕ [«] , 1в ваг1в(1ед «1СЬ гевИ«а1 Ьс«' '(Е )/б, а сепе и оЕ огдег Ь2.
ТЬе Е1гвг Ьо««двгу сапе]1С1«п Арргох1аас1ои оЕ а П1ЕЕегепсе ЯсЬеае 102 О (Ь) па1 и — 1 1 (Ь) 'Ь" = и» 2 (Ь) Е 1 +х2, О п' Е Ь, 1 (Ь) 2 Рог сапчеп1епсе, а1во 1п ГЬе Кепега1 саве 41ЕЕегепсе всЬеае (2) 1в оЕгеп вр11Г 1псо Гмо ог вечега1 впЬвувсевв О (Ь) (Ь) Ь О г (Ь) (Ь) Еп=1 <21) (Ь) (Ь) Ь К во ЕЬаг О (Ь) 1 и (Ь) О (Ь) г Ег (Ь) Ь (Ь) ЬЬп (Ь) Р (Ь) Ь Е(Ь) К 1с 1в сопчеп1епс го сопв1дег СЬе гЕКЬГ-Ьапй в1де, Е<, оЕ еасЬ впЬ- (Ь) г вувсеа ЕЬп( ' Е, ав ап е1еаепс оЕ гЬе погвед врвсе Р . Апй 1г 1в г <Ь) <Ь) (г) а1во сопчеп1епс ЕЬаг ГЬе погвв 1п врасе Р впв< 1п врасев Р , Р (1) (2) Р вЬоп1й Ье соогд1пагед во гЬас (К) Ь ~)Е )! = еах ~~Е Ь (22) Яр11сс<пК (2) 1пга впЬвувсевв (21), ве в<11 а1ваув аввппе СЬас (22) 1в вас1в((ед.
(Ь) (Ь) ТЬе сопчеп1епсе оЕ вр11сг1пр 1 и Е 1пго апЬвувсеяв сопв1всв 1п ЕЬе Еасс ГЬас опе сап ГЬеп сопв1йег верагасе1у ГЬе огдег Го вЬ<сЬ еасЬ Сап»етдепсе, Арргох1иас1оп апд ЯсаЫ11су СЬарсег 5 104 в»Ьвувсеш врргох1иагев сЬе во1»с1оп оЕ ргоЫеп ~1), 1» = Е. ТЫв огдег 1в евсеи Со Ье сЬе огдег «1сЬ »ЫсЬ сЬе поти, ) )61 ) ), оЕ СЬе гев1диа1 Ь) (Ь) Р г 1 [и =Е +БЕ десгеавев ав Ь О. ТЬапсв Со сЬе соогд1пасед сЬо1се аЕ попив (22) сЬе огдег оЕ врргох1«ас1оп оЕ сЬе «Ьо1е д1ЕЕегепсе всЬеие, 1 и = Е , оп (л) (л) СЬе во1»с1аи и оЕ сЬе ргоЫеп С» = Е, 1в есиа1 Со СЬе огдет аЕ десгеаве аЕ сЬе папи !!.Е О)!! (0) (Ь) (Ь) Ь 0 авгиев «1сЬ гоЫеп (14), оп СЬе во1»с1оп и, со весопд огдег, сЬе евиаг1оп 1 и = Е соггевропдв ехасс1у со (14) «Ы1е сЬе есиаг1оп (1) (Ц Ь 1( )и( ' = Е 1в соггесс со 11гве огдег.
То га1ве сЬе ответ оЕ Ь 2 арргох1ааС1оп оЕ д1ЕЕегепсе всЬеае (13) Егоп Е1гвг со весопд огдег 1п Ь, 1с виЕЕ1сев со "1пргоне" оп1у СЬе Ьоипдагу сопд1с1оп 1 и = Ь. Уе поте (2) (Ь) Ь сЬас Я [и[ «(Ь) и(0) + Ьи (0)  — и' (6). (2) Ь Ь Ь 2 сее паи саье 1псо ассоипс сьас и(О) = ь апд сьвс, ьу «1гсие ое (14), и (0) Аи(0) + 1 -АЬ + 1. Яеггсид Е.е. Е = Ь вЂ” ЬАЬ + Ь, (Ь) 2 1 и и =Ь-ЬАЬ+Ь, 2 (Ь) Ь 1 че всЫе«е ваг1в(асс1оп оЕ СЬе Ьоипдагу сопд1с1оп оЕ СЬе гевЕдиа1 АЕ, «Ьеге г 1в сЬас г Еог «ЫсЬ сЬе поти десгеавев иовЕ (Ь) г в10«1у 0 1п ехаар1е 2, «Ьеп вувгеа (13) 1в вр11с 1псо в»Ьвувгеив (15)-(17), ог (18)-(20) сЬе врвсе Р сопв1вгв оЕ сЬе пес Еипсг1оп Е ' = )Е ) »ЕСЬ (0) (Ь) 1 Ь 0 п поти ))Е )) = иах )Е ), деЕ1пед ас СЬе ро1пгв х = пЬ, п = 1, 2, (Ь) 0 и п п (1) (2) 0-1, «М1е врасев Р апд Р аге опе д1пепв1опа1 апд сапв1вс оЕ пи«Ьегв Ь Ь «1СЬ пота ))а)) = )а).
24»аг1оп (18) Арргох1шас1оп оЕ в 01ЕЕегеппе БеЬеше 105 1 [и[ - «(Ь> - Е + О(Ь'), (г) (Ь) Л Ь г 1.е. ме агга1п ахгеешепс, Со весопд огдег 1п Ь, ч1сЬ сЬе Ьоипдагу сопд1с1оп 1(') 'Ь) — (Ь) Ь 2 (Е Ь -ЬАЬ+Ь) 2 (23) 1(0) (ь> (ь) ЕЬ и ЕО (1) (Ь) (Ь) Ь 1 «Ьеге месь сыв вр11сс1«8, ьомечег, ав орровед со сье вр11сс1пх (15)-(17>, (18)-(20), ме мои1д Ьече 1овг сЬе аЫ11су со геуег сопссве1у Со сЬе ЕасС СЬас СЬе Е1гвс Ьоипдагу еопд1с1оп, «роп в«Ьвг1с«С1оп оЕ [«[, 1в ехасс1у ваС1вЕ1ед, апд сье весопд — оп1у Со Е1гвс огдег 1п Ь. 6.
йер1асешешс оЕ дег1чаЫчев Ьу дЕЕЕегепсв ехргевв1опв. 1п сЬе аЬоче ехашр1ев ме сопасг«есед дЕЕЕегепсе всЬешев Ьу гер1ас1пх дегсчас1чев, 1п Сье дЕЕЕегепг1а1 еп«ас1«п, м1сЬ 81ЕЕегепсе ехргевв1опв. ТЫв 1в а регЕепг1у 8епега1 арргоасЬ мЫ«Ь е11омв опе со сопвсгисс, Еог апу д1ЕЕегепс1а1 Ьоипдвгу — ча1«е ргоЫеш МЕСЬ а вшоосЬ епоиоЬ во1«с1оп «(х), а 81ЕЕегепее ееЬеше МЕСЬ апу ргевсг1Ьед огдег оЕ арргох1вас1оп. **в е а е 1п Касс, 1ес ив вЬом СЬас СЬе дегсчас1че д /дх, оЕ апу агЫсгагу Ь огдег Ь, сап Ье гер1асед Ьу а 81ЕЕегепее ехргевв1оп в«пЬ сЬас сЬе еггог 1пд«сед Ьу сЫв гер1есешепс, Еог а вшоосо епои8Ь Е«пеС1оп и(х), м111 Ье оЕ епу ргеагг1Ьед огдег, р, !п СЬе егер-м!дсь, Ь, оЕ СЬе д!Еуегепге пес.
рог сЫв р«грове ме м111 иве сЬе шесЬад оЕ «пдегегш1пед соеЕЕЕе1епсв, Уе «111 мг1се ап ео«ас1«п оЕ сЬе Еогв — Ь гС а «(х + вь) + 0(Ь дх в — в 1 (24) оЕ ргоЫеш (14), оп сЬе во1«с1оп и. ТЬив сЬе дЕЕЕегепсе всЬеше (15), (18), (23), арргох1шасев ргоЫев (>А) со весапд огдег 1п Ь. ТЬе вр11сс1п8 оЕ 81ЕЕегепсе всЬеше (2) 1псо в«Ьвувсеша (21) 1в в1шр1у а сопчепс1оп, адорсед во1е1у со Еас111свсе д1всивв1«п. ТЬив, Еог ехашр1е, вувсеш (13) сои1д паче Ьееп вр11С 1пго счо а«Ьвуагешв «1сЬ д(ЕЕегепое ео«аг1«п (15) авв18пед, ав Ьеуоге, со сЬе Есгвг, апд ЬосЬ Ьо«пдагу сопд1с1опв (18) апд (17), со сЬ« весопд. Уе мои18 сЬеп мг1се, вушЬо11еа11у Сопчегсепое, Арргох1шас1оп апд ВСаЫ11гу СЬвргег 5 106 «(х + вЬ) = «(х) + вЬ вЂ” е — — + йи(х) (вЬ) д «(х) йх 2! йх (Ь+ р — 1)! Ь+р-1 (Ь+ р)! Ь+р + дх дх Вес ив я«Ьвс1С«се СЫв ехргевв1оп, 1п р1асе оЕ «(х + вЬ), 1пго (24) а«В со11е«С 11се сея«в.
)!е сЬеп Вес 4 и(х) -Ь~ ( ) с 4и(х) Ь 1 дх Ь+р-1 ( ) Ь+р-1 ссх Ь+р-1 (Ь + р — 1)! ~ в~ (с!.р Ьр „, О «((5) + в ра (!с + р)Т в !с+р Йх ВЕ«ас1пх соеЕЕ1о1епсв оЕ 11се рочегв Ь, я = -Ь, -\с+1, сЬе 1еЕс" апд г1ВЬс-Ьа«В вЫев оЕ сыв ееиас1«п, че Вес сье вувсеш оЕ еВ«ас1«пв Еог сЬе а в р-1, оп Ео11оч(пВ а = О, сва = О, в в а = О, Ь в а !с!, в !с+1 в (25) г )с+р — 1 в а О. в ТЕ в + в = Ь + р — 1, СЬеп сЬе аЬоче Ь + р ециаг1опв Еогш 1 2 оЕ СЫв ваше пишЬег оЕ «испо«пв а . ТЬе йегег«1пвпс оЕ СЫв в' а 11пеаг вувсеш вувСеш апд сгу Со сЬоове СЬе ипйесепя1«ед соеЕЕ1о1епев, а, в -в, -в + 1, в' 1' 1 в (1«Вере«с(е«С «Е Ь) 1п висЬ и чау сЬас сЬе еоиаг1«п «111 Ье ча11с!.
ТЬе Есш1гв оЕ в«шшвс1«п, в„> О апс! в > О, сап Ье «Ьовеп асЫСгаг11у ргоч1йед сЬас СЬе огс)ег, в + в, оЕ сЬе д1ЕЕегепсе ехргевв1«п -)с 1 2' Ь С а и(х + вЬ) ваг1вусев СЬе 1«ециа11су в + в > Ь + р — 1. Ву Тау1ог'в Еогши1а !07 Арргох1еас1оп оЕ а 01ЕЕегепсе ВсЬепе в + 1 1 ~Ь+р-1 1 [-в е 1) Ь+р-1 2 Ь (ади(х) + а и(х + Ь) [, арргох1иаг1пц ди/дх, ассигасе со Е1гвс огдег 1п Ь. 1с 1в Хсиеп Ьу сЬе ге1ас1оп '" ° ы дх Ь Ьссеи1ве ссеге 1в а ип1цие Есгвс-огдег д1ЕЕегепсе ехргевв1оп оЕ сЬе Еопп Ь [а и(х — Ь) + а и(х)[, арргох1паг1пп ди/дх со Е1гвС огдег 1п Ь: е ии= в=и, дх Ь Апопр весопд-огдег д111егепее ехргеввсопв оЕ СЬе Еагп Ь [а и(х — Ь) + а и(х) + а и(х + Ь)[ сЬеге аге 1п(1псге1у папу иЬЕсЬ арргох1еасе ди/дх Со Е(гвс огдег Еп Ь, Ьис оп1у опе 1в оЕ весопд огдег ассигасу.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
