Godunov S.K., Ryabenkii V.S. Difference schemes. An introduction to the underlying theory (811440), страница 10
Текст из файла (страница 10)
Во»вбв оп сЬе РВВВ ооеЕЕ1е1епгв. Неге ие вЬои сЬас, 1п саприг1пя СЬе РВВВ ооеЕЕ1п1епсв, опе печег 1в 1ед со 61»16е Ьу сего, апд ие агг1»е ас Ьо»пав оп СЬе РЕВЗ со»ЕЕ(с1епсв, Ьо»пав ча116 Еог сЬе ог161па1 ргоЫеа (1), вв иеН ае сЬе рагс»гЬе6 ргоЬ1ев (3). Рог сЫв ригрове 1с 1в виЕЕ1с1епс со со»в(бег оп1у сЬе рагс»гЬед ргоЫеа, в1псе сме ог161па1 ргоЫеа 1в а врес1а1 свае оЕ сЬе рагс»гЬед рг»Ыеа (Еог с О). СЬарсег 3 ВавЫ оЕ Сье РККК МеСЬод Сопвядег сье Ео11он1пК сгопсасед вувсеа вп 1+Ьп +си+1 и и-1 и и и п+1 — О<и<Я, п' "я и = Ф, о Я "1 пя 1 " Ьф + я АЯЕЕ+ А Ф Ьия + К, (5) 1=1 нЬеге Ь апд ЛЕ дерепд оп1у оп а , Ь апд с .
Ав а сопвефиепсе оЕ Ьоипд (4) и' п п (нв11д Еог впУ Ф, ф апд !Еа), апд СьегеЕоге Еог Ф О, ЕЕ а О, ф = 1) 1С ЕоПоаа сьас !ь! - !и ~ < гм, впд сас1пК и = ф = О яс Ео11онв СЬас Я !К! = !пя ~ < 2М авх ( !Ф !, аах ! Е ! ) . 1 1с 1в сопнеп1епс со авв1Кп со Ь апд К СЬе 1пдех Я вЂ” — апд со нг1ге сЬе 2 аЬоне ге1аг1опв апд япеапа11С1ев 1п СЬе Еога "1-1 "я-1(г"я + кя-1)г* !Ъя 1(г! < гм, !к Е ! < гм * (!ф!, !е !).
(6) А ге1ас1оп оЕ сЬ1в Еога нав оьяа1пед 1п сЬе дене1ораепс оЕ РКВК 1п 55. Ргоп Кгааег'в ги1е (5) 1с н111 Ъе вееп СЬас Ья д/г св ипяфпе1у дегега1пед ЪУ а, Ь апд с, нь11е Кя 112 1в ппяиие1У деСега1пед ЪУ ф, Еп* п' и и' а, ь апд с (О < и < 1). непсе 1с ео11она сьас сье соеее1с1епсв ья 1Ег п' п п апд Кя 1)2 со1исяде н1ЕЬ ЕЬе РКВК соеЕЕ1с1епсв оЬса1пед 1п 55 нЬеге не нгосе оис, Еог сьеве соеЕЕясяепсв, сЬе гепигв1оп ге1ас1апв к1(г = Ф -с я Я+1/2 ЬЯ вс Ья 1/2 с ."...е.хс Я+1/2 ья + аяья- (г ОЕ соигве Смяв 1авс аввегс1оп 1в на11д оп1у 1Е сЬе гесиггепсе Еогап1ае аге аеап1пКЕп1, 1.е. оп1у 1Е попе аЕ сЬе депопяпвсогв 1п сЬеве ехргевв1опв нап1аЬев. 1с 1в во1неассе. Ргоа 1с не дедипе и .
Ргоа Кгааег'в ги1е Еог сЬе во1пг1оп оЕ а вувсеа оЕ 11пеаг а1КеЬга1с епиагяопв 1С Ео11онв сЬас и аау ье нг1ссеп яп сье Еога Ке11-Сопд1с1опе6 Воипйагу-Ра1ие ргоЬ1еа 65 Ке пач врои сЬас, 1п Еасг, попе оЕ сЬе Вепов1пасогв Воев чап1вЬ. 5иррове сЬас ие Ьвче вЬоип сЬас 1с 1в ровв1Ь1е, ч1а ККв. (7), со совриге 1/2' 3/2' " '' 11-1/2 КЕ/г КЗ/г "* Кс-1/г ие пои чегсЕУ СЬе чв1181СУ оЕ СЬеве е9иаг1опв а1во Еог Ь ап6 КС Рог сЬЕв ригрове 1с 1в виЕЕ1с1епг со вЬои сЬас й С 1-1/2~ — 2М (8) Сопв18ег сЬе вувееа оЕ е9иаг1опв и = О О а и + Ь и + с и = О, 1 1, 2, ..., 1 1 1 1-1 1 1 1 1+1 (9) аи +Ьи +си+1=1 1+1 Аа сопсегпв сЬе во1ис1оп оЕ сЬ1в вувсеа, ие Ьпои сЬас 1с ех1всв. Е1гвс К (Ьововепеоив) е9иас1опв 1с Ео11аив сЬас и = Ь /2и 1С Ео11оив СЬаС (» ( < 2М.
Ргов СЬе оп1у 1пЬовоКепеоив ециаг1оп 1п вувсеа (9) 1с Ео11оив сЬас Ргов сЬе Ргов (4) сопса1пе6 ~ассс ,/, + ьс) , - 1. Рог сЬЕв геавоп 1 Г 1~ < 2М, 1 1 1-1/2 иЬЕсЬ 1пдеед ргочев Ьоипд (8), соКесЬег иссЬ сЬе (асс сЬас гесиггепсе ге1вс1опв (8) ап6 Ьоипб (6) аге веап1пКЕи1. 2- Квссвасе оЕ сЬе ЕаЕ1иепсе оа соврисас1опа1 гееи1св оЕ гоиа81па еггогв соввсссе6 Еп сЬе соигве оЕ сЬе са1си1ас1ап. Ме и111 пои во1че ргаЬЬев (1) Ьу СЬе РКВВ весЬо6 ° 1п геа1 соарисас1опа ас еасЬ всер оЕ сЬе соврисас1опа1 ргосевв опе соав1св соврисвс1опа1 еггогв 1п8исей Ьу гоип6оЕЕ.
Рог СЬЕВ геавоп сЬе геа1 соврисас1опа1 ргосевв 1в Кочегпе8 Ьу СЬе ееиаг1опв Вав1в оЕ сЬе РЕВЯ Ме<Ьо6 СЬарсег 3 66 1/2 ' 1/2 1/2' -с 1 + Х , 1 = 1, 2, ° ° ° , М-1, 1+1/2 а Ь + Ь 1+1/2' (10) 1 1 1-1/2 $+1/2 а Ь + Ь 1+1/2' 11 — 1/2 1 и =фен = Ь и + К + н , 1 = М-1, М-г, ..., 1. 1 се1/2 1+1 1+1/2 1 ' япррове сЬас а11 еоарпсас1опа1 еггог* аге впЬ)есс со сЬе Ьоппбв (кс 1/2~ < 6, (11 1/2~ < 6, ~нс( < 6 ю1<Ь впЕЕ1п1епс1у ваа11 6 ва сЬвс 6 < ВМ2<ги + 1) Ме ю111 вЬоч СЬас 1п сЬЕв саве 1п СЬе РВВВ ецпасЕопв (10) попе оЕ сЬе йепоиспасогв е111 нап1вЬ, ап6 е111 евс1ааге Со еЬас ехсепс сЬеве еггогв ю111 61всогс сЬе ооарпсас1опа1 гевп1св.
Че 1псго6псе сЬе поСаС1оп "1/г "1/2' 1+1/2 + '1 "1+1/2 ' С1еаг1у сЬе со11есС1оп оЕ еВпас1опв (10) аау Ье геегсссеп ЕЬпвс СЬарсег 3 бааса оЕ сье 5885 Мегьоб 68 — с ) - )Елальл/2 + ь )лз/г) = )) ал ° 0 + ьл)лз/2) < иб < 1 < И(2И+ 1)6 < †. бм 5иррове сЬас Еог Ь 1, 2, ..., 1-1 1пебиа11су (12) Ьав а1геабу Ьееп ргочеп. 1п сЬе соарисас1оп оЕ ЬЬ/г, ьз/2, ..., Ьс 1/2 опе ивев оп1у а = а, Ь = Ь , впб с Еог 1 1, 2, ..., 1-1. ТЬегеЕоге ие сап аЕЕ1га, 1 1' 1 1' 1 ьу ч1гсие ое (6), сьас )ь ) < 2и апб сьас, сопвесиепс1у, ° + 6 )сс — сс) )-СадЬЕ Ь/2 + ЬЕ)ЛЕ 1/2) < (М ' 2М + И) < бм ю Тьсв соар1еСев СЬе 1пбисС1оп. тьив 1с ьвв Ьееп вЬовп сЬас, ЕЕ 6 < 1/[би (2М+1)], сЬеп сЬе 1пебиа11С1ев )с -с) <— п п бм 1 )Ь -Ь ) =О< —, и п 6И 1 )а "а) О< —, и п 6И аге вас1вЕ1еб апб, сЬив, Ьоипбв (6) апб (8), (13) аге ча1Ы.
Ме вес сЬас, Еп ехесис1пб сЬе соерисас1опа1 ргосевв 1ар11ей Ьу (10), ие аге печег са11еб ирои Со 61чЫе Ьу сего. Иои Егоа 85. (11) Еог ф, Е, ф, аиб Егое Ьоипб (13), 1с Ео11оив сЬас )ф-ф) <6, )ф-ф) <6, )ЕŠ— Е ) < Мб + (М * 2М + М)26 М(4М + З)6. И* пах[2, (4И + 3)м) берепйв оп1у оп М иь11е, 1п а661с1оп, сЬе регсигЬас1опв 1п Сье соеЕЕ1ссепсв боп'С ехсееб 1/(бм). зисЬ реггигЬвссопв оЕ сЬе соеЕЕ1с1епсв апб г18Ьс-Ьапб вЫев 1еаб, ав 1в вЬовп ЬУ Ьоииб (10) оЕ 66, Со еггогв 1п ии пог ехсее61пб Ив*6. Иеге М"* опсе аба1п берепбв оп1у оп И (1Е И Мг, сьеп И* Мгг, Мв* МЗг, во сьас сье еггог 1п сье во1ис1оп и111 ье мзгб.) тьив, соею1сс1пб ас вась всер оЕ сЬе соарисас1опв1 ргосевв ап еггог по 1агбег сЬвп 6, 6 < 1/[бм (2И + 1)], ие сап, Ьу сЬе ргосевв бевсг1Ьеб, во1че СЬе ргаблев в1сь регсигЬеб соеЕЕ1с1епсв апб г18ЬС-Ьапб вЫев.
ТЬеве регсигЬаг1опв бо пос ехсееб Мвб, иьеге Ве11-СопдЕС1опед Воипдагу-Ча1ие РгоЬсеа 69 ЕЕ М, апд сЬив а1во М**, 1в 1пдерепдепс оЕ Я сЬеп пассив, 1п сЬе соигве оЕ сЬе РВВВ соерисас1опв, ап еггог оЕ огдег 6 ас еасЬ всер (сЬе пиеЬег оЕ висЬ всерв Ье1пВ ргорогс1опв1 со м) ие Вес 1п сЬе Е1па1 во1ис1оп ап еггог по Вгеасег сЬап сопвс ' 6. ТЬиа сЬе 1пЕ1иепсе, оп сЬе геви1с, оЕ ап еггог соеа1ссед 1п впу в1пВ1е всер оЕ сЬе еа1си1ас1оп доев пос Вгои чдсЬ 1пегеав1пВ М. РигсЬес ечеп сЬе сиаи1агсче 1пЕ1иепсе оЕ а11 еггогв соее1ССед диг1пВ а11 егере оЕ СЬе соерисассоп а1во доев пос Вгое.
ТЬЕв посеаЬЕе ргареггу оЕ РВВВ Ьав, 1пдеед, Ьееп а еа1п геавоп Еог 1св е1де иве. Е1еае«Сагу Ехвер1ев оЕ 01ЕЕегепсе ЯсЬеаев СЬврсег 4 « (1 — АЬ)« п п-1' егое высь юе 11пб сье во1«11оп ое Вп. (2) в«ь)есс со сье 1п111в1 сопб1ссоп «0- Ь! (хп/Ь) « = (1 — АЬ) Ъ (1 - АЬ) Ь. (3) и тье вхасс во1«с1оп ое ргоыее (1) ьав сье еоге «(х) ъ ехр (-Ах). 1с Евсее оп, вс ро1пс х, сье чв1«е п' -Ах «(х ) Ье (4) уе пою евс1пасе сье еггог 1п сье арргох1еасе во1«с1оп (3).
Ас ро1пс х СЫв еггог 1в (х /Ь) -Ах б(х) = ((1 — АЬ) - е ) Ь. (5) яе аге 1«сегевсеб 1« сЬе гасе ас «ЫсЬ б(х ) бесгеавев ав сЬе п«еЬег оЕ п в«Ь41ч1в1оп ро1«са 1псгеввев ог, е3«1ча1епс1у, ав опе бесгеавев сЬе всер- «1бсЬ, Ь,= вф)<, оЕ сЬе 41ЕЕегепсе пег ° То Ьг1пб сЫв о«с че гергевепс (х / (1 — АЬ) 1п СЬе Еогп х п и х х п А2 Ь2 — ~- 1п(1 - АЬ) — (-АЬ + — + 0(Ь') ] (- ) Ь Ь е Ь 2 -Ах А — х 0(12) -Ах А Ьх 2 Ь 2 = '(е ]') е ] е е ~1 .ю. — и и+ 0(Ь2)] (1 + 0(Ь2)) "Ах Ахх -Ах 0(Ь2) 2 ТЬ«в ВЕ. (3) сесе« сЬе Еоге -Ах А2х -Ах «Ъе + ЬЬ вЂ” е + 0[Ь2) п 2 <3-) во сЬас А2хи -Ахп б(х ] = ЬЪ вЂ” е + 0(ЬЕ) 0(Ь), (6) в«Ь41ч1в1оп ч111 Ъе и«еЬегеб Егое 1ебс Со Е. ТЬе ча1«е оЕ «оЬса1пеб, ч1в сЬе «111 Ье бепогеб ав «п.
Уе 11х ап 1п1с1а1 Ргое 41ЕЕегепсе ео«ас1«п (2) опе Весе сЬе г1ВЬС, во СЬаг хи = «Ь, п О, 1, 41ЕЕегепсе всЬеее, ас ро1пс хи ча1«е, «0. 3«ррове сЬас «0 Ь. ге1ас1оп Огдег оЕ Асоигасу апд Арргох1вис1оп 73 1.е. ЕЬе еггог (5) сепдв со яего ав Ь О, апд сЬе иврп1сиде оЕ сЬе еггог 1в оЕ сЬе огдег оЕ сЬе Е1гвс роиег оЕ сЬе всер-в1ве.
Оп сыв ьвв1в опе ваув сьас пьв Йь/7впвпсв воьев!в ьав /дпвс-оса(оп аооигаор (иЫсЬ 1в пос со Ье сопЕивед и1сЬ сЬе огдег оЕ сЬе д111егепсе есиас1оп, деЕ1пед 1п %!). Ьег «в пои во1ие ргаЫеи (1) и11Ь СЬе а1д оЕ сЬе д1ЕЕегепсе евиас1оп и(х + Ь) — и(х — Ь) + Аи(х) = О. (7) и =иО 9 91 9 — 9 92~+"1~ ч -ч ~! 9 ч 2 1 2 ! ~ ~ 2 ! 2 ! 92 О ! и 9! О ! и (8) иЬеге А2Ь2 Г+ А2Ь2 АЬ = 1 — АЬ + — + 0(Ь4) 1 2 АЗЛ21 и = (-!) ! + АЬ Е вЂ” !+ 0(Ь"). 2 2 (9) ТЬе Тау1ог ехрапв1опв, (9), оЕ сЬе гоосв оЕ СЬе сЬагассег1вссс е9иас1оп п п а11ои опе со деие1ор ап арргох1иасе гергевепсас1оп оЕ П! апд 9 . 77е саггу !и оис а деса11ед дег1иас1оп оЕ висЬ а гергевепсас1оп Еог П вЂ” 1. (! — АЬ + — + О(Ьв)! и А2Ь2 Ь 2 (х /") АЗЬ2 (х /Ь) п Оп = и " - "! — АЬ + — Ь+ о(Ь")~ 1 ! 2 О!псе сп(! + а) - я - я2/г + яЗ/3 + О(ва), А202 Еп~! - АЬ + + 0(Ь" )~ -АЬ 2 + — + 0(ЬЬ]. АЗЬЗ б ТЬегеЕоге ТЫв 1в пос ав в1ир1е ав 11 пеу веее Со Ье ас 11гвг 2!васе. ТЬе ргоЫеи 1в сЬаг сЬе аЬоие всЬеие 1в а д1ЕЕегепсе евиас1оп оЕ весопд-огдег, 1.е.
1с ге9и1гев СЬе авв1дпиепг оЕ Сио 1п111а1 сопдЕс1опв (и(х ) 0 апд и(х ) 0 1 «(Ы); иы1е сье е9иас1оп са ье 1псехгасед, еп. (1), 1в ап е9иас1оп ое Е1гвс огдег, апд Еог 11 ие пеед оп1у сЬе сопд111оп и(0) Ь. 11 1в пасига1, а1во 1п сЬе д1ЕЕегепсе всЬеие, со вес и = Ь. 0 1С 1вп'С с1еаг, Ьоиеуег, Ьои опе вЬои1д оЬоове и . То вЬед воие 11ОЬс оп СЫв Оиевг1оп ие иве СЬе ехр11с11 Тась оЕ СЬе во1игсоп оЕ 29. (7) (вее 13 29 (б)) СЬвргег 4 21«ее«сагу Ехаар1ев оЕ ОЕЕЕегепсе ЯсЬеаев — (-АЬ + б + 0(Ь" )] -Ах Г А х хп АЗЬ3 3 Ч е 1 д Е Ь2 и Е О~ЬЗ) (10) б Ах ",. 0(Ь2) 2 рисс1пб сЬе арргох1«все ехргевв1опв Еог Ч апд Ч 1«со ЕЧ. (В) ие бес и п Ч20 1п10 1п «п Ч -Ч Ч1 Ч -Ч Чг 2 1 2 1 Ч « — « Г -Ах А х -Ах , Ь2 е + 0(ЬЗ)~ 2 0 1 п 2 п п Чг Ч1 б 1 0 1 1)п п + 0(~2]~ Чг - Ч1 (Ег) А11 ЕигСЬег сопс1ив1опв «111 Ье оЬсв1пед СЬгоиАЬ всиду оЕ сЫв ехргевв1оп.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
