Godunov S.K., Ryabenkii V.S. Difference schemes. An introduction to the underlying theory (811440), страница 6
Текст из файла (страница 6)
п 1с'в 1пеегевС1пд со сопв16ег «Ьесдег опе свп ип19ие1у 6е(1пе а во1иг1оп 1Е 1св ч»1иев аге дсчеп ас счо, пос песевваг11у »6)асепс, ро1пгв ав 1п сЬе Ьоипдагу-ча1ие ргоЫеп (1), (2). ТЬе Ео11о«1пд ехапр1е вЬочв сьас ргоь1еп (1), (2) пау сигп онс со ье нпво1чеаые. Сопвадег СЬе Ьоипдагу-чв1ие ргоЫеп н — н + н О, п = 1, 2, ° ° ., 299, (3) п-1 п п+1 (4) н О, О 300 ТЬе денег»1 во1ис1оп оЕ Рд. (3), ав »Ьапп 1п %3, сап Ье чг1ссеп 1п сЬе Еогп и» пч н ? сов — Ф ч »1п— п 1 3 2 3 Во««двгу-Ув1«е РгоЫее Гог 2'пд Огдег Вс(иас1оп СЬаргег 2 Ргоа СЬе сапд1с1«п иО = 0 1с Го11оив сЬвс у1 = 0 То вас1вГу сЬе сопд1с1оп «300 = 1 опе вовс Г1х у2 ч1а сЬе ециаС1«п 300п и у в1п — 1.
300 2 3 Вис сЫв еоиас1оп 1в «пво1чеаЫе в1пое, Гог апу у2, сЬе 1еГс Ьвпд всде 1в ец«а1 са хего, по с опе. 1Г, 1пвсевд оГ СЬе сопд111оп «300 = 1 ие иеге са вес «300 0 (1еан1пВ, ав ЬеЕоге, «О 0), сЬеп аВа1п не ио«1д Ьвче со саКе у1 О, «Ы1е у2 1« сЫв саве иои1д Ье агЫсгагу3 300ч у в1« — у ' 0 0 ° 2 3 2 Ме вее сЬас сЬе Ьоипдагу-ча1ие ргоЫе«(1), (2) иау, 1п Вепега1, поС Ьаче впу во1«11оп, ог СЬе во1«С1оп иау Сигп о«С пос Со Ье «п1иие.
В«С, Ье СЬаг ав 1с ясву, Ьоипдагу-ча1ие ргоЫе«в вге оГсеп епооипсегед. 1с сигов оис сЬас сЬеге 1в а гасЬег «1де с1авв оГ д1ГГегепсе ес(иаС1опя Гог «ЫоЬ сЬе Ьоипдагу-ча1«е ргоЫее (1), (2), пос оп1у Ьав а1«аув опе апд оп1у опе во1ис1оп, Ьис 1в а1во оп1у иеаК1у вепв1С1че со гоипд1пВ еггогв Гог В1неп г1ВЬС-Ьапд вГдев ф, ф апд ~Г«), 1.е., СЬе РгоЫее 1в "не11- сопд1ссопед". 2. ВеГ1пГС1оп оГ а ие11-еопд1с1опед ргоЫеа. Огд1паг11у 1п всиду1пВ д1ГГегепсе всЬеаев Гог СЬе арргох1евсе во1«с1опв оГ ддГГегепс1а1 Ьоипдагучв1ие ргоЫеая опе сопв1дегв пос а в1п21е, 1во1асед ргоЫе«, Ьис а «Ьа1е Га«11у оГ висЬ ргоЫеив, аг1в1пВ Гог ваа11ег апд в«в11ег пеС всер-в1вев. ТЬе пи«Ьег, И, сап сЬеп Ье оопвГдегед а рагаеесег ироп «МсЬ сЫя Га«11у дерепдв.
Ве(1пеаепс оГ сЬе пеС соггевропдв со ап 1«сгеаве 1п И. Ие «111 вау сЬас сЬе дГГГегепсе Ьоипдагу"ча1ие ргоЫеа (1), (2) «1сЬ соеГГ1с1епсв ап, Ьп, сп, Ьоипдед 1п соса11су, )ап~, !Ьп), )сп) < К, 1в ие11-оопд1ссопед 1Г Еог а11 1агке епо«ВЬ И 1с Ьав опе впд о«1у опе во1«С1оп, (ип), Гог вгЫСгагУ г1ХЬС-Ьапд вЫев ф, ф впд (Гп], апд ГГ СЬе п««Ьегв «0, «1, ..., иИ, сопвс1сис1пВ сЬе яо1ис1оп, вассвГу сЬе Ьоипд !» ~ < И еах ~)ф~, )ф~, «ах )Г (5) «Ьеге И 1в а пи«Ьег пес дерепд1«В оп И.
вваеее Воаес1«ев опе аддо1пв со сЬе с1авв оГ ие11-сопд1с1опед ргоЫешв а1во сЬ«ве ргоЬ1еив Гог «Ь1оЬ И саппос Ье саКеп со Ье сопвсвпс, Ьис 1в а11оиед со 1псгеаве по Гввсег сЬап вове 21чеп роиег оГ И, е .В., И СИ аг И СИГ . Оиг де(1п1с1оп оГ Аоод сопд111оп1«В 1в ео«1«а1е«С со опе «ЫсЬ 1в оивгоаагу 1п сЬе СЬеогу оГ вувгеив оГ 11певг ес(иас1опв, «Ьеге сЬе авва«ге оГ сопд1 с1оп1пВ оГ а вувсе« оГ ейиаС1опв Ах В «1СЬ «асг1х А 1в саКеп со 33 аоод-СопдсС1оп1пВ ОгсСег1а ъе сье ниапс1су ]]А]] ° ]]А ]], сье ргодисс оГ сье погвпс оГ сье аасг1сев А впд А 1. Р»1ЕНйаепс оГ 1»епиа11су (5) 1пд1свсев сЬас сЬе вепв1с1ч1су оГ сЬе во1иС1оп ]ип) Со еггогв (Еог еха»Р1е иеавигеиепС ог гоипд1пВ еггогв) оссигг1пв 1п СЬе В1»еп г1ВЬС-Ьвпд в1дев ф, ф ог ]Еп], доев поС Вгоч и1СЬ 1псгеав1пВ Н, 1п Хасс 1Е, 1пвееад оЕ ф, ф апд ]Еп), опе веге Всчеп, гевРесг1че1У, ф + Ьф, ф + Аф апд ]Гп + ЬЕ ], СЬеп СЬе во1»С1оп ио»1д сЬапве Ьу ]А»и].
ТЫв еЬвпре, Ьесаиве оЕ сЬе 11пеаг1су оЕ ргоЫеа (1), (2), 1в сЬе во1ис1оп оЕ сЬе ргоЫеа ади +Ьдц +спи АЕ, 0 <п<М, п п-1 п п п п+1 п' Ац Аф, Аи Аф 0 ' Н апд Ьу ч1гсие аЕ (5) вас1вЕ1ев сЬе Ьоипд ]А» ] '. М»ах]]дф], ]Аф], вах]ЬЕ Ву Гаг пас ечегу Ьоипдвгу-ча1ие ргоЫеп (1) роввевв1пВ а »ЫН»е во1ис1оп св ие11-сопдсс1опед. Гог ехвпр1е 1Г, со сье г1Вьс-ьвпд-в1де ое сье еииас1опв и -5» +6» =Е, 0<п<Н п и-1 п' и =ф.и =ф 0 ' Н опе аддв СЬе 1псгеаепгв АГ - =О, Аф О, Аф в, п сЬе во1ис1оп ]и ] и111 сЬапре Ъу сЬе 1псгеаепс п Н-п д Тп1-(2(3) дф »-0,1, ..., Н, 1 - (2/3) Непсе Н-1 1 1 3 Н-1— ТЬе регсигЪас1ап с Гог В(чеп ф Ьав 1пдисед, 1п СЬе во1»с1оп, а регсигЬас1оп чЬ1сЬ Вгоив гвр1д1у »1сЬ 1псгеав1пВ М.
ТЬе оиа»С1СУ М 1п 1пефиа11СУ (5) с1еаг1У свппог Ье саЬеп Со вгои воге в1о»1у сЬап сЬе ехропепс1а1 (1/3) 2 Воипдвгу-Ра1ие РгоЫеп Еог 2'пй Огдег Вбиас1оп СЬаргег 2 3. ВиЕЕЕе1епс попВЕс1оп Еог а ви11-поп41с1опей ргоЫеа. Тпеогев. ТЕ' ЕЬе оов77ъоъвпфв а„, Ьп сов( оп вафъв)"У ЕЬе попс(ъфъол ]Ь ] > ]ап] + ]оп] + 6, 6 > О (6) СЬв ртоЫвл (7), (2) ъа ив11-аопйъфъопвй алН, погвовег, ЕЬв во1ифъоп ]и ] васъвЯев ЕЬе Ьоипс( ]и ] ( иах ]]ф], ]ф], 6 иах ]Е (7) РгооЕ. Ве Е1гвг аваиве СЬаг, Еог 61чеп ф, ф апй ]Еп], РгоЫеи (1), (2) ьав а во1ис1оп ]ип], апф евсаы1вь сьас сыв во1ис1оп вас1ве1ев (7). ЯиРРове сьас сье 1агпевс ое сье пиапс111ев ]ип], п О, 1, ° .
° , м 1в ]иЬ]. 1Е Ь 0 ог Ь Я 1пеаиа11гу (7) 1в оЬч1оия, вспсе иО ф, ип ф. ТС геаа1па Со сопв16ег СЬе свае 0 < Ь ъ В, ]иЬ] > ]ип] ° 1п СЫв свае, саыпВ ассоипс ое (6), ие иау иг1се ]Ь ] . ]и ] = ]-а„и — сЬи + Е ] < С ]а ] ' ]и ] + ]с„] ' ]» ] + ]Е~ ] ( (]в ] + ]с ])]и ] + ]Е„] ]Ьп] - ]ап] — ]с ] — — — > 6 > О, аах ]]а ], ]Ь ], ]с ]] > В > О, (В) ап6 Ьеге а1во (7) 1в ввг1вЕ1ед. 1С геиа1пв со вЬои ЕЬаг ргоЫеа (1), (2) Ьав опе апф оп1у опе во1ис1оп ]ип] Еог апу 61чеп г1ПЬС-Ьапф в1йев ф, ф ап4 ]Ее] ° РгоЫеа (1), (2) пау Ье гевагаев ав а вувсеи оЕ я + 1 11пеаг ес(иас1опв Еог ргес1ве1у сЬе ввае пииЬег аЕ ипЬпоип Виапс111ев иО, и1, ..., «В.
ТЬегеЕоге 1с 1в песеввагу со евсаЬ11вЬ сЬас сЬе фесегп1пвпс оЕ сЫв вувсеп 1в 61ЕЕегепс Егов сего. Ав ие Ьпои Егои а1пеЬга, СЬе десегиспапс оЕ а в- сеа 1в 61ЕЕегепс Егои сего 1Е ап6 оп1у 1Е сЬе соггевроп61пВ Ьсхвовепеоив вувсев Ьав оп1у ап 16епс1са117 чап1яЫпх во1иссоп. Вис Еог сЬе вувсеа (1), (2) сЬе Ьопоаепеоив вувсев 1в оЬса1пеф Ьу весс1пВ ф ф = Е я О. Ргои а Ьоипа (7), иЬ1оЬ Ьвв Ьоеп ргочоп Еаг ечогу во1ис1ап ]ип], 1С и111 Ье вее» сЬас 1п сЫя саве сЬеге ех1всв оп1у сЬе сг1ча1 во1ис1оп и я О. п ТЬе Ео11ои1пв сап61с1оп, а1во, 1в ви661с1епс со Виагапсее сЬас ргоЫеи (1), (2) 1в ие11-соп61с1опедс Соод-Сопд101оп1пу Сг1сег1а мЬеге 0 апд В аге сопвсапсв пос дерепд1па оп К ог п.
1п Евсс Етом (8) ме Вес (6) м1сЬ сЬе сопвсвпс 0 0()Ь ! + )а 1 + )с )) > 00 > О. Рог сьсв геавоп (7) са)сев ХЬе Еога )и ~ < аах()Ф), )Ф~, †, вих )Е ~1. (9) 4. Сг1сег1оп Еог а ме11-сопд1СЕопед Ъоиидагу-ча1пе ргоь1ем м1ХЬ соштсапс соеЕЕ1с1епсв ° Тьеогем. Ел огдеп Хьас Хье Ьоилдагу-иаЕие ргоЫем аи + Ьи + си Е , О < п < М, п-1 п п+1 п' (10) и Ф, п = Ф О ' Л а + ьп + с92 = о вьоиЫ Ье угеа*ег Хьал, атг( Хье о*уел вчп12ег Хьал олв ъл мос(и1ив, ъ .в ., Ноас Хьеу вьоиЫ васъв7у оп ъледиардсу оЕ Хье Еопм 1~,! < 0 1,'! < -$ (12) еьетм 0 ъв воле ровъсъие сопвсапс.
1Е ХЬе соеЕЕ1с1епсв а, Ь апд с аге геа1 ХЬе сг1сег1оп Еог Воод сопд101оп1тщ, Кп. (2), Ьу ч1гсие оЕ мьас Ьвв Ьееп вЬоип 1п 333, свп Ье рис 1псо сье сопчеп1епс Еогат ))))+-7)(- Ь - а+с > 0 > О. Ъ + а + с (13) ТЬе сопчеп1епсе оЕ сг1Сег1оп (13) сопи(все 1п сЬас Еи1Е111аепс оЕ сЬсв сг1сег1оп сап Ье сЬесьед м1сЬоис соарис1пу сЬе гоосв 9 апд 9 1 2 Сг1сег1ап (12) м111 Ье дег1чед 1п 446, Ье1ом.
5 Сг1сег1оа Еог а ее11-сопдсс1оавд ргоь1ем м1ХЬ чаг1аЬ1е соеЕЕЕс1еасв. Сг1сег1оп (12), мьссЬ ВиагапСеев а ме11-сопд1с1опед Ьоипдагу-ча1ие ргоЬТеа Еог 01ЕЕегепсе елиас1апв м1сЬ сапвсапС соеЕЕ1с1епгв, сЬе сг1 сег1ап Еогми1асед 1п сЬе ргеседспа весс1оп, сап Ье Пепега11вед со сочег сЬе ргоЬ1еа аи +Ьи +си Е, О<п<Л, оп-1 пп пп+1 п* иъсь солвсолс сое77ъсъелсв Ье ъж11-солдъсъолет( ъс ъв лесевват77 алт( ви77ъсъелс Хьас еле оч Хьв тоссе, о) алд ду, о7' Хье сьагассет-(вХъс вдиасъол Воипйвгу-Ча)ие РгоЫее Еог 2'пй ОгВег Квиат1оп СЬарсег 2 Зб (2) и Ф, О В = аах ~~в ), ~Ь ~, )с )~ > В > О.
ТЬе сопвтаптв М апд В , вЬоче, аге пот то Верепд оп И ог п. ТЬеогеа. Бирровв ЕЬаЕ ЕЬв сов//ЕсЕвпйв о/' ртоЫве /1), (2) ваЕ(в~у ФЬв сопя(11(опв )а„- а1! < В~ — '-,'), ~ъ„- ЬВ! < В~" -„'! 1 <В~ — ~, >О, >О. (Ь вЂ” 1~ ТЬеи, Ео диагапЕве ЕЬаЕ рэоЫве /1/, (д) Ев ывИ-сапйъЕЕопей, Ей Ев пвсвввагу спи ви//годви* ЕЬай ЕЬв гоосв, д ап( д, о/ ЕЬв диайаЕЕс 1 2' а +Ьч+сч =О, п п п О<п<И, вавка/у а оояпННоп о/' ЕЬе /о~а !В~<1 †~Ч ~<1-— 1 2 ' ~ 2 ~ 2 (16) ыЬвгв 8 я 0 Ев воев пшпЬвг пой йеретиНпд оп У ог п. Соп41т1апв (14) ехргевв тЬе геси1геаепс тЬас тЬе соеЕЕ1с1ептя Ье веоотЬ.
ТЬеу аге Еи11111ед, Еог ехвар1е, ЕЕ а = а(п/И), п = Ь(п/И), п с с(п/И), п иЬеге а(х), Ь(х) апд с(х) аге апу Еипст1опв йе(1пей оп тЬе 1птегча1 О < х < 1, апй ввт1вЕу1пв тЬе Но1пег сапй1т1опвю )а(х) — а(х )! < В)х — х )Ь(х) — Ь(х )! < В)х — х )с(х) - с(х )! < В)х - х и1тЬ чвт1вЬ)е саеЕЕ1с1ептв во 1опВ ав тЬеве соеЕЕ(с1ептв чету виЕЕ(с1епт1у "веоотЬ1у".
Ие и111 Еопви1ате ГЬЕв Вепега11яас1оп ехаст1у аявие1пВ тЬат тье соеее1с1ептв ое (1) аге ьоипйей 1п гата111У, (ап! < м, )ьп~ < и. )сп! < И, ап4 тЬат 1тв соеЕЕ1с1ептв ап, Ьп апд сп 4о пос Ьесоие виа11, в1аи1тапеоив1у, Еог апу и: Ооой-Со»61с1»»1»8 Сг1сег1а 37 89»ас1»п (15) 1в сЬе »Ь»гвссег1вс1с е»ив»1»п сопвсгиссе9 Еог сЬе 91ЕЕ»галсе е»иас1»п аи + Ь» + си 0 в-1 в в+1 »1сЬ сопвсапс ооеЕЕ1»1епСв а, Ъ а»6 с, со1лс161па 1п чв1»е»1сЬ сЬе чвгсвЬ1е соеЕЕГ»1епгв ап, Ьп апд сп Еог лоте Е1»ед п, 1.е., а ап, Ь = Ьп, с с п' 1Е ап, Ьп апд сп аге гев1 соеЕЕ1»1епС» СЬеп, Ьу чсггие оЕ 343, со»41ссоп (16) тау Ье гер1»с»9 Ъу сЬе еав(1у чег181»Ые со»61с1»п )Ь)-)а+с ПЗГ ТГТ»ФТ вЂ” ' >>О, п п п (17) а» + Ъ» + си Г , 0 < п С М, п-1 п п+! п' (10) и = ф 0 ' М и 1.е., тоге врес161»в11у ие ргоче сЬе Ео11о»1п8 вввегс1»л.
1п »грег сЬас РгоЫет (10) Ье и»11-со»91С1»п»6 1С 1» песеввагУ апд виЕЕ1»1елг СЬаС СЬе гоосв оГ сЬе »Ь»гассег1вс1с ад»асс»» а + ЪМ + »92 0 ваг1вЕу 1п»9»»11С1ев оЕ СЬе Еога !и„!<1-2, 9 (12) »ьеге 9 1в вате ров1с1 е сопвсапс. МиЕГ1»1епсу. Че гергевепс сЬе во1»с1оп оЕ ргоЫет (1) ав сЬе вие оЕ с»о пес Еипсс1опв, »г1с1п8 и + и п п' (18) »Ьеге 9 9»ев лог йерепд оп М ог п. ТЬе ч»1161Су оЕ сг1Сег1оп (14), (16) ог (14), (17) »111 Ъе ргочеп 1п $6. ТЬеге а1»о 1с»111 Ье вЬ»ип сЬаг вто»СЬпевв со»61С1»пв (14) тиас пос Ье 18»оге9. Моее СЬаС 1Е )ап + сп) (ап! + )сп), сопМГС1оп (17) 1в 16епс1»а11У сЬе вате ав со»91с1»п (8) а»6 8»агапсеев 8»»9 со»41с1»»1»8 счел »1СЬоис сЬе авв»тед вто»СЬ»евв а»6 го»11су оЕ СЬе соеЕГ1ссепсв.
6. 3»ас111»ас1оп оЕ сЬе сг1сег1»п Еог а е»11-ео»61СГ»пед Ъои»йагуча1ие ргоЫет »1сЬ сопасапс соеЕЕ1с1епса. Ме »111 пои ргоче сЬе ч»1161су оЕ сЬе ег1гег1оп, де»1»»6 1п рагг 4, Еог 8»ой со»91с1»»1»8 оЕ сЬе Ъоипдагуча1ие рг»Ы»л Во»»Магу-уа1»е РгоЫее Еог 2'ий Огдег ЕЧ»ас1оп СЬаргег 2 38 а» + Ь» + с» Е, 0 < и < М, п-! п и+! и' "О ф' "М (19) апб )» ) СЬе во1Ы1оп оЕ и а» + Ь» е с» = Е и-! п и+! п 0<и<В (20) и и п АЧ1 ВЧ2' »Ьеге А а»Н В аге дегеге1»ед »1а СЬе со»8111»пв » ф, » 0 ' М М фЧ1 и-М -1 М 92 (9192 ) (21) и М вЂ” и 1» ! < 2 еах()ф), )9)). ! — р" ТЬегераге Еог а11 М > 2 апй и О, 1, ..., М, (22) )» ) < пах(!81, )91) еах()ф!, 1ф)) (23) 1Е п апй М вЂ” и аге саЬеп 1агВе епо»ВЬ сЬе соеЕЕ1с1епсв 1» 1пеЧ»а11су (22) сап Ье ваде агд1сгаг11у веа11.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
