Godunov S.K., Ryabenkii V.S. Difference schemes. An introduction to the underlying theory (811440), страница 4
Текст из файла (страница 4)
Р1п6 а РагС1пп1аг во1иг1оп ип оЕ СЬе еоиаг1ои п 2и -и 2 п п+1 * и н1пс. Воок еог а во1ис1оп ое сье еоги и сп 2 * п 3. Р1п6 рагС1сп1аг во1иС1опв пп оЕ СЬе еипаг1оп 2» — и Е п п+1 и 1п сЬе саве вЬеге сЬе г1ВЬс-Ьвпд в1де Ьав сЬе Ео11ое1пН вреп1а1 (огас а) Е 1, Ь) Е =и, с) Е и, д) Е 1+2п — п и ' п ' п ' п 4. Р1п6 рагс1сп1аг ва1ис1опв и* оЕ СЬе еопаг1оп и и — и Е и п+1 п 1Е сЬе гЕВЬС-Ьапд в16е Ьав сЬе Ео11ое1пВ врес1а1 Еогпс О1ЕЕегепсе гчивс1оп оЕ 5есопд Огрех а)Е1,Ь)Е»,с)Еп п и и 3 3. ОЕЕЕегепсе вЧ»ахЕоп оЕ веси»5 ог5ег. 1» сЫв весс1оп ие »111 йег1«е ехргевв1опв Еог сЬе гепега1 во1ис1оп оЕ сЬе 1пЬо»огепеоив еЧиас1оп »1сЬ сопвсапС соеЕЕЕс1епсв а» + Ь» + си Е п-1 п п+1 п 1п $1 1С иав вЬ»ип сЬас сЬе гепега1 во1»с1оп Ьав сЬе Еоги * и и +и, п п и' (2) »Ьеге и 1в вове рагс1с»1аг во1»с1оп оЕ сЬе 51чеп 1»Ь»иогепеоив еЧ»ас1оп, * апй -»У +52 п п п 1в сЬе гепега1 в»1ис1оп оЕ сЬе соггевро»51»5 Ьоаогепеоив еЧ»ас1оп аи + Ь» + си = О.
п-1 п п+1 (3) а+ ЬЧ+ сЧЕ О, (4) са11ед сЬе айагаарвтъврсс вЧ»аС(ап. ТЬе гоосв оЕ сЫв 41вс1»сс ог па1с1р1е. Ьес ив сопв1аег сЬеве сио савва сЬе го»се чс апй чг ое сье сьагассег1вс1с ечиас1оп аге 11»4, 1п СЬе Еопв оЕ а геоиесг1с ргоггевв1оп, пог опе, рвгс1с»1аг во1»с1опвс еЧ»вС1оп аау Ье сопвесигсче1у. 11 41ЕЕеге»С, ие свп Ь»С Счо 1»пере»«е»С (1) п п 1' (2) п ип - Чг. р1гвс ие »111 11»д ап ехргевв1оп Еог сЬе гепега1 во1ис1оп »Е сЬе Ьоп|огепеоов есиас1оп (3), апд сЬеп а Еипдаиепса1 апй рагс1с»1аг во1»с1оп »Е сье 1пьоиогепеоив ечиас1»п. 1. Сепега1 во1»с1о» оЕ сЬе Ьоиогепеопв еЧ»ас1»п. 5»са111»5 сЬас 1п сЬе саве оЕ сЬе Е1гвс-»сбег 41ЕЕегепсе ечиас1оп сЬеге ех1всв а во1»ссоп оЕ сЬе Еоги» = Ч», 1ес «в сгу Ьеге а1во со ЕЕ»й а рагс1с»1аг в«1»с1оп 1» сЬе п Еопп оЕ в гео|песг1с ргоггевв1оп.
5иЬвС1сиг1пг сЬе е:сргевв1оп и = Чп 1псо п сЬе 41ЕЕегепсе еЧ»аС1оп, ие сопч1псе оигве1«ев сЬас 1с геа11у »111 Ье а во1ис1оп 1Е ч 1в а гоос оЕ сЬе чиа4гас1» П1ЕЕегепсе Евпас1опв оЕ р1гвс аиО яееопО Огбег СЬаргег 1 !8 ТЬе 11пеаг соиЫпаг1оп (1) (2) и и и = ап + Вп оЧ + ВЧ и п и 1 2 « + В и О' «Ч! + ОЧ2 - и,.
1.е., со вес иОЧ2 п! и Ч2 Ч1 1 ОЧ1 В Ч2 Ч1 !п рагг1оп1аг, Тп апй 2и, йе(1пед 1п в! ав СЬе яо1пС1опя оЕ СЬе Ьвпоиепеопв евпас1оп яаг1вЕу1пр СЬе попс(111опв Т 1, Т О О ' 1 2 О, О 2 1, 1 Ьаче сЬе Еопв Ч2 п ! п Х - Ч и Ч2 — Ч! Ч! Ч вЂ” Ч Ч2' (6) 1 и 1 и Ч + Ч Ч Ч ! Ч Ч 2 1 2 ! Ргое ЕЧя.
(б) ее вес СЬаС СЬеве еЧпаС1опв аге 1парр11саЫе 1п СЬе саве оЕ еп1с1р1е гоосв Ч Ч . 1ег пв пое сопвЫег сЫв саве. (ЕЬеп Ч = Ч опе рагЫоп1аг во1пС1оп сап яраса Ье ег1сгеп 1п сЬе Еоге г и Ч . То Е1пд а весоп4, 1ес и* еаЬе, 1п ЕЧ ° (3), сЬе впЬвс1гпгсоп и и п1' У ЧЕ, аЕСег еЫоЬ ее Кег Еог Уп СЬе евпаг1оп п 1' ау +ЬЧ у +сЧсу О. и-1 ! п 1 и+1 оЕ сЬеве сео во1пс1опя е1СЬ агЫсгагу ооеЕЕ1е1епсв а апй В а1во м111 Ье а во1пс1оп оЕ сЬе Ьоиорепеопв еЧоас1оп. Ьес пв вЬое сЬвс 1с 1в СЬе вепега! ва1пг1оп. 1п Евое впУ агЫСгагУ РагС1сп1аг Яа1пС1ап, и, оЕ СЬе Ьоеовепеопв и' еЧпаС1оп, СаЫпа оп аС п О ап4 п 1 апу ргеяег1Ьед ча1оев и апй и, еау О 1' Ье юг1ссеп Еп сЫв Еога. Та ассоер11вЬ сЫв 1с 1в япЕЕ1с1епс Со йеЕ1ие е апЕ В ч1а сЬе еЧпаг1опв 91ЕЕегепее БЧиаг1ап оу Яееопй Огдег 19 Ав 1в че11 епоеп, а/с 1в ечпа1 со сье ргодиес, апй ь/с сье впш ч1сь гечегве4 испи, оЕ сЬе гоосв ос сЬе еЬагаесег1вс1с еЧиас1ои (4).
31ппе ЬосЬ оЕ сЬеве гоосв аге еЧиа1 со а 2 Ь вЂ” -- -гЧ, е 1' и 1' ав а сопвеппепсе о1 чЫеЬ сЬе 4111егепсе еЧиас1оп пау Ье гечг1ссеп сЬпвс еЧ у - 2еЧсу + еЧ2у О, 2 1 п-1 1 и 1 пе1 ог иоге в1пр1ус и-1 п п>1 — 2 + О. йечг1С1пп СЬ1в еЧпаС1оп 1п СЬе Еоги ) п-1 1п 1п 1 и+1' че вее сЬас сЬе 41ЕЕегепсе уп 1 - уп доев поС еЬапае ч1сЬ п. ТЬив апу агЫсгагу аг1сЬпес1е ргопгевв1оп 1в а во1пс1оп, Рог пв 1С 1в виШе1епс Со 11пй апу в1пк1е во1пс1оп, ап4 че сесе, ав сЫв во1пс1оп, сЬе аг1сЬаес1е Ргоагевв1оп Уп п. Нееа111пр СЬвС че весе веес1пв а ип 1п СЬе Топи ип у Чи) че 11пй сЬас, аиопк сЬе во1ис1опв оЕ сЬе еЧиас1оп аип 1 + Ьои + еи,ес и О, сЬеге 1в а во1пг1оп (2) п и пЧ и 1' ТЬпв, 1п сЬе саве оЕ еи111р1е гоосв Ч1 = 92, впрр1еиепс1пв сЬе рагс1еп1аг во1пс1оп и~ ) Чи че Ьаче Копий апосЬег, 1поерепоепс, рагс1еЫаг во1пг1оп и~ ~) п91.
ТЬе 11пеаг соиЫиас1оп и п и а91 ч ВпЧ1 п ч1сЬ агЫсгвгу еопвсапс сое111е1епсв 1в а1во а во1пг1оп ос сЬе Ьапорепеопв епиас1оп, ап4 1п Тасс апу агЬссгагу рагс1пп1аг во1пссоп еау Ье оЬса1пед Кгое сЫв еЧиас1оп, врргорг1асе1у ве1есс1пи п апй В. 1п рагс1еи1аг, сЬе ВО1ИС1аие Тп «Ий Еп, 1П СЬО ЕВВЕ ОЕ ао1С1Р1Е ГООСВ, СВЬЕ СЬП ЕОГЕ и п Т Ч -пЧ и 1 1' 1 и п 1 Š— пч пч и Ч1 1 1 0111егеасе Еч«ас1опв оЕ Р1гвс апд Бесо«Е ОгЕег СЬарсег ! 20 1с 1а 1псегевсспе со посв сьас ечв. (7) сап Ье еоссеп Егов ечв.
(Е), СЬе ехРгевв1опв Еог Т апд 2« «Ьеп СЬе сЬагасгегсвгсс еЧ«аСЕоп Ьав «иеч«а1 и гооСв. 1п СЬаг саве че Ьай, Еог Ти апд Еп, СЬе еЧ«аС1опв и-1 и-1 Ч2 Ч, „ Ч! — Ч2 и Ч - Ч Ч! Ч - Ч Ч2 Ч!Ч2 Ч 2 ! 2 ! 2 1 п п ! и ! п Ч2 Ч1 2 = - ч + п Ч2 — Ч! 1 Ч2 - Ч! 2 Ч2 Ч! Ъес «в поч пиМе Ч! аррговсЬ Ч . ТЬеп сЬе ехргевв1опв п-! п-1 и п Ч2 — Ч, Ч2 - Ч, апй Ч2 - Ч, Ч2 - Ч, п п «Т (Ь~-) сов пф + Т Я-) в1п пр, (8) «Ьеге р 1в йесегв1«еп) Ьу СЬе еЧ«ас1оа Ь сов ф 27всс апп! Т! апй 72 аге вгЫсгагу Ее Еес, Еог Ч! впй Ч2, соивгалгв ° сЬе ехр!Ес1С ехргевв1опв а Ь Ъ , Т1 2ггасс 2пгас и-2 и-! сепп) со сегсасп !1«1св, 1.е., гевресг1че!у, Со (и - !)Ч! апд пЧ! .
ТЬ«в че вес СЬаС, 1п СЬе саве оЕ ппп!С1Р!е гоогв, Т апп) 2« СаМе СЬе Еогв (7). п Ее Ьаче, сЬеп, сопвсг«ссай СЬе во!«11опв, Т аий 2 , 1« а1! свеев п и' «ЫсЬ пву аг1ве «Ьеп а апп) с 41ЕЕег Егов сего. 1« сЬе ргосеав ве Ьаче вЬочи СЬас 1с 1в а1«аув ровв1Ые со вг1се о«с, 1п ехр!Ес1с Еогв, апу во!«с1оп оЕ сЬе ЬовоЕепео«в весопд-огЕег ЙЕЕЕегепсе еЧ«ас1оп 1п Ч«евс1оп. 1с'в 1псегевг1пЕ Со соп«1Еег 1п воге Иесас! сЬе саве юЬеге, Еог геа1 соеее1с1епсв а, ъ, але с, сье еч«ас1оп а + ьч + счг 0 ьав совр!ех соп)«васе гоосв Ч! апп! Ч2. Ее «111 вЬоч СЬас, 1п сЫв саве, сЬе Еепега! во!«11оп оЕ сЬе ЬовоЕепео«в п)1ЕЕегепсе еЧ«ас1оп (3) вау Ье чг)ссеп 1« СЬе Ео!1о«1аЕ Еогв 21 О1ЕЕегепсе 29иас1оп оЕ Яесопф Огбег 1п оиг саве оЕ соер1ех гоосв, а/с > О, )Ы(2(ап)! < 1.
Рог сЫв геавоп ие еау иг1се Ь ! ь12 — сов Ф, 1 - — в1п Ф. 2чаг 2чвс аЕсег иЫеЬ 9 ап6 9 сесе сЬе Еогис г 9 ~ — (сов Ф+1 в1п ф), 1 5(с г с — (пов ф - 1 в1п ф). 2 Ъ(с )Се паи виЬвс1сиге сЬеве чв1иев оЕ 91 ап6 92 1п Е9. (5). Рог и В 1/2 ие пес сЬе рагс1си1аг во1ис1оп п и ~9~ — ) сов пф, ап6, еог о = 1/(21), 6 = -1/(21), сье рагс1еи1аг во1ис1оп п и (Ь~ — ) в1п пф.
А 11пеаг еоеЫпаг1оп оЕ сЬеве рагс1си1аг во1ис1опв, и1сЬ агЫсгагу сопвсапс сое(ЕЕс1епсв ус ап6 ч2, 91чев сЬе аепега1 во1ис1оп, (8), аЬоче. (тье (асс сьас 1с 1в ровв1Ые со иг(се, 1п сЫв еоге, сье рагс1си1аг во1ис1оп СаЫпс оп, Еог п О ап6 п 1, апу ргевег1Ье6 ча1иев сап еав11у Ье чегсЕсеа Ьу СЬе геабег 1пферепбепг1у.) 2. Сепега1 во1ис1оп оЕ сЬе 1пЬоео(Сепеоив е9иассоп.
Рипйаыепса1 ео1иссоп. Мои 1ес ив всибу сЬе 1пЬоиоаепеоив 61ЕЕегепсе епиас1оп (9) аи + Ьи + си " Е п-1 п п+1 п' 11и1с1пс оигве1чев Со сЬе саве (1ераггапс Ье1ои) иЬеге, аиопа сЬе гоосв оЕ сЬе пЬагассег1вс1с ефиас1оп (4), СЬеге аге попе ефиа1 со ип1су 1п иофи1ивс )Ч ! А 1, )92! г 1 ° Р1гвс ие и111 1оос Еог е во1ис1оп оЕ сЬе ЕпЬоеоаепеоив 1 е9иаг1оп (9) иссЬ г1РЬс-Ьап6 всфе Еп оЕ сЬе вресса1 Еоги пРО, п О. = 6 22 ТЫв во1иС1оп е111 Ье дев15пагед ав Сп апд са11ед "Еппйаеепга1".
Се е111 1ооЬ Еог а ЬоиисЕв<С Еппдаеепса1 во1ис1ап, 1.е., в Ъоипйед во1ис1оп оЕ сЬе Ео11ов1пв Бгопр оЕ евпас1опвс СопвЕБег, 11гвс сЬе саве оЕ поп-еп111р1е гоосв„ П1 в 52. Еи сМв саве сЬе Бепега1 во1пс1оп оЕ СЬе ЬоеоБепеопв еоиаг1оп (3) Ьав сЬе Еогт п п и = оч + 552. п 1 Бог сЫв геавоп еапЬ рвгс1еп1аг во1пссоп оЕ сЬе Ьопосепеопв еоивс1оп 1 сап Ъе ег1ссеп 1п СЬе Еоге и и С и ос + 6 Б Еог и < О, еЬеге а апй В аге арргорг1асе1у оЬовеп оопвсапсв.
Бо а1во сЬе рвгс1ои1аг во1пс1оп Сп, п > О, оЕ СЬе Ьоварепеопв еБпаг1оп 111 еау Ье чг1геп 1п СЬе Еоге С = и о + 6 и Еог п > 0 и ., и е1сь соггевроис)1пБ сопвсапсв а" апй В '. 1п сье вьем саве 51 р я . !51! и 1, !Б ! и 1 сье ео11оеепв наг1апсв аге ровв1Ыег Се пов сопвегпеС СЬе Ъоппдед Еипдаеепга1 во1пг1оп Си 1п саве а). Ргое СЬе Ъоппйедпевв сопд111оп оп С Еог п в 1с еШ Ье вееп сЬас о' = О, апд Егое СЬе ЪоппйеБиевв соп5111оп оп С Еог п е 1с Ео11оев сЬас 5' О. п ТЬегесоге С и а) Ь) с) д) 01ЕЕегепое Бцпас1опв оЕ Р1гвс апд Бесопд ОгСег СЬвргег 1 1.
аС +ЬС +пС 0 Еог и<-1. п-1 п и+1 И. аС +ЬС +сС -1 0 1 111. аС + ЬС Е сС О Еог п ) 1. п-1 п п+1 и Вч Еог и<0, п а' о Еог п>0. гз 01ЕЕегепсе ВЧиаг1оп оЕ Весопй Огйег Рог п 0 ЪоГЬ оЕ ГЬе 1ввс евиас1опв еивс 81не опе апй ГЬе ваее на1ие 00 ° Непсе В о . Юе сЬоове 6 во вв го ваг1вЕР 11'. -1 ай Ч2 +ЬВ +ой Ч1 1, 1 В -1 аЧ +Ь+сЧ Тье йепои1пагог оЕ гььв Егасг1оп 1в йЕЕЕегепг Егои вего: вч +ь+сч,-(ач +ь+сч2)+с(Ч1-Ч21 =с(Ч1-чг~ йо Рьив, 1 п -1 Ч2 п < О ач +Ь+сч 2 1 1 и -1 Ч, п>0.
аЧ + Ь + сЧ 2 1 уе ьане сопвггисгей ЕЬе Ьоипйей Еипйааепга1 во1иг1оп 1п саве а) ЕР18. З,а). а) Р18. 3. 1г вЬои18 Ье посей Еог Еисиге геуегепсе ЕЬаг, ипйег ЕЬе сопй1Г1опв сев( (а(, ( Ь|, (с() > В > О, 8 8 <1- —, ~ч ~ <1-— 1 2 ' ~ 2 ~ 2 110) иЬеге В > 0 апй 8 > 0 аге сегса1п ргевсг1Ьей пиаьегв, ие Ьане ГЬе Ьоипй !! ! ! < 8 ( т) ВЕЕЕегепсе БЧпаг1опя оЕ Р1гвс впй ВесопВ Огйег СЬврсег 1 е а е а а а то йег1пе ьопиВ (11) ве посв сьас, ьу у1гспе ое сье В!гас сопд1с1оп (10), 1с епвс ье сгие сьас е1сьег )а) > В/4, )с) > В/4 ог «ь — 4ас > -1 Г ач +ь+сч с«сч -ч) а«сч -ч ) «ь ь-4яс, 2 1 1 2 2 1 1 (2 - В/2) )Ч1 — Чг) > )Ч2) — )Ч1) > ( 1 — Е/2) В/2) В (2 - Е) впВ ВЧ ° (11) ° 1п саяе Ь) 1с Ео11овя Егоа сЬе ЬоппВейпевв соп41с1оп оп С , Еог п « п' СЬас а В' = О, во сЬвс О Еог п ( О, и' ч + В 'ч Еог п > О ° тье соий111оп с О 1вр11ев сьас а ' -В" ° Ре сьоове сье соееесс1епс О и во ав Со ваСЕвЕу еЧиаг1оп 111 ТЬе ЬоипйеВ Еппйвеепса1 во1иС1оп (Р15.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
