Godunov S.K., Ryabenkii V.S. Difference schemes. An introduction to the underlying theory (811440), страница 5
Текст из файла (страница 5)
З,Ь) 1п саве Ь) СЬив Ьав сЬе Еогв С п Тп саве с), Ьу яия1ову п! сЬ саве в) сЬе Ьо««идей Еппдяеепся1 во1п«1ап Ьая сЬе Вага Еог п ( О, С и Еог п> О. )ч " - ч,'~ > е. Ргоп сЬеяе ге1вс1опв опе Реса сЬе Ьоипд ! -1 ( ВВ аЧ +Ь+ сЧ 2 1) 4 1 и г- — -г 1!1 (2 1 п п с(Ч Ч ) ~Ч1 2) 1 2 1 и ч, вЧ + Ь + сЧ 1 2 1 п -1 ч 2 аЧ + Ь + сЧ 1 Еог п ( О, Еог п > О. П1ЕЕегепсе КОиас1оп оЕ яесопд Огдег 25 Саве О) 1в апа1оСоив со саве Ы. 11 сЬе гоосв аге ли11191е, 91 92, сЬеп, Еп сЬе оопвсгисс1оп оЕ сЬе Ьоипйед Еипдалепсв1 во1иссоп, 1пвсеас) оЕ сЬе е9иас1оп п п - о91 + 092 п опе ивев сЬе е9иас1оп п п и аС + Вп9 и 1п сЬе саве !9 ! < 1 ие Кос, Еог Сп, ОЕогп<0, 1 п-1 п9 Еог п>О, с 1 апд 1п сье саве !9 ! > 1 че Вес 1 п+1 - —, «91 Еог п < О, С п Еог п > О.
ТЬив ие Ьвче сгеагл) а11 СЬе чаг1апСв опе пиу епооипСег 1п СЬе саве !9 ! в 1, !9 ! в 1, а Ф О, о в О, апд ьаче еоипс) сьас а ьоипйей 1 ' 2 Еипдалепгв1 во1ис1оп ех1всв. угол сЬе ехргевв1оп ехЫЫСесс аЬоче опе веев сьас сыв во1ис1оп ссесгеавев ехропепыв11у еог п 1 с (12) иЬеге С > 0 апд 0 < р < 1 аге сопвсапСв. ТЬе сопвСвпс р лау Ье авв1Спей апу чв1ие ваг1в(у1пв СЬе 1периа11гу.
Уе Ьаче ехал1пед сЬе циевс1оп оЕ сЬе ех1всепсе апй Еогл оЕ сЬе Еипдалепса1 во1иг1оп, 1,е., сЬе во1ис1оп оЕ СЬе 1пЬолодепеоив е9иас1оп (9). Рог ап агЫсгагу г1СЬс-Ьапд в1де (Е ! в рагс1си1аг во1ис1оп и лау Ье и п иг1ссеп вв сье влп ое а вег1ев, и* с С ЕЬ, Ь во 1опх ав сЬе вег1ев сопчегдев. ТЫв сап Ье чег111еЕ ехаос1у 1п сЬе вале ипу ав СЬе апа1оСаив Еасг Еог Есгвс-огОег й1ЕЕегепсе еоиас1опв 1п $2. Ргол Ьоил) (12) 1С Ео11оив сЬас вег1ев (15) сегса1п1у оопчегдев 1Е сЬе г1ОЬсЬапд в1йе (ЕЬ! 1в Ьоипс)ед, !ЕЬ! < Р.
1п сЫв саве О1ЕЕегепсе ВЧиас1опв оЕ Р1гвс апй яесопд Огбег СЬарсег 1 2б 1: и и ~ ) С Е < )„ )С Е ! + ) (С Е ! < Ь Ь п+1 п и-Ь Ь-и 2С <СР 2 р + ~ р < — Р ° — 1- р ~Ь-- В и+1 Рог Вч. (9), иьеге )ч ~ и 1 ап4 )ч ~ и 1, сье ва1ис1оп ~и„], В1иеи ьу Вч.
1 2 (13), 1в СЬе оп1У Ьоипдед во1иг1оп Еаг СЬе В1иеп г1ВЬС-баит всбе. ЕЕ СЫв веге пос СЬе саве апу весопс( Ьоиидед во1ис1оп иои1д Ье обгаспед Ьу сЬе абб111оп оЕ вове Ьоипйед во1ис1оп, (и ~, оЕ сЬе ЬоиоВепеоив вЧивс1оп (3). и Виг, Егои СЬе ехргевв1оп Еог ХЬе Вепега1 во1ис1оп оЕ сбсе еЧиаг1оп, опе веев сьас еог )чс! а 1, (чг) в 1, сье ип1чие во1ис1оп басидж еог < п < 1в й и О. 1п Рагг1си1аг, СЬе Ьоипдед Еипйаиепга1 во1иг1оп Си Еог (911 а 1, (Чг а 1 1в а1во ип1Чие ° уе пасе сЬас, 1Е сопд111оп (10) 1в ваг1в(1ед сЬеп, ив1пр Ьоипс( (11), Егои (13) 1с 1в ваву со йег1ие )и*~ < — вир (Е (13) 3. Ввссиасе оЕ ХЬе Еисисваепса1 во1ис1оп 1п Сесивв оЕ СЬе соеЕЕ1с1еигв оЕ ХЬе ЙЕЕЕегеисе ечиас1аи. 1п Бесс. 2 ие Ьаие веси сбас сЬе сьагассег оЕ СЬе Ьебаи1ог оЕ СЬе Еипдаиепга1 во1иС1оп Сп оЕ ВЧ. (9) деРепдв сгис1а11У оп сЬе 1осас1оп, 1п сбе соир1ех р1апе, оЕ сЬе гоосв, Ч ап4 Ч , оЕ сЬе 1 2' сЬагассег1вс1с ечиас1оп Р(Ч) и а+ЬЧ+сЧ О Вврес1а11у 1ирагсапс 1п ргасс1се 1в СЬе саве ибеге а, Ь аид с аге геа1 иЬ11е опе оЕ сЬе гоосв, Ч ог Ч , 1в Вгевсег спвп, апй ХЬе осЬег 1евв СЬвп 1 2' Оие 1п Фади1ив с !91!<р, ~чг ~<р, О<р<1.
(1б) )+тт-+- ~)Ь вЂ” )а + с > В >О Ь + а е с Неге ие и111 ро1пг оис и сопиеп1епс песеввагу впд виЕЕ1с1епс сг1сег1ап Еог висЬ а 41врав1ссоп оЕ сЬе гоосв, арр11сабге иссЬоис сЬе1г ехр11с1С саирисаС1оп ° ТЬеогеи. ОГ Хбе Хыа»аасв,ЧЕ апс( Чг, ау ГЧ. (4) и(ХЬ тва1 аавгуса(впсв, аие св д»васа» ХЬаи, аис( Хбв асув» 1ввв ХЬаи аив би иа(и1ив х| аис( сигу су' О1ЕЕегепсе Еииас1оп оЕ бесится Огйег Тог вите 67 апс[ 7игсьяг 7ог апр 6 яись сьас (77) бя яа*ъя7сас[ 6 ! -1! 6 <1- †, ~ц ]<1 1 2']2]2 (18) Ргоое. )се поте сьас Р( 1) . Р(-1) (а + с + Ь)(а + с " Ь) " [а + с[2 - Ь2 [[а + с! — [Ъ!)[!а + с! + [Ь!).
[Ь! — [а + с! > В[!Ь! + [а! + !с!) > — [Ь! + О * [а! + ] — ! †) ] ° [с! ° 6 6 2 ТьегеЕоге [Ь! ° [1 - †) > [а + с! + [Š— ! †) ] ° [с! > 62! ! 6 г! > ]а+ с]1- В+ [-) )~ - ]а+с[1--) ТЬия 1с 1я с1еаг сЬас сЬе ехргеяя1опя Р[1 — ) - а + с[1 — ) + Ь[1 — ) 8 8 2 О ТЕ (17) 1я пог яас1яЕ1ей Еог апу О > О, сЬеп сЬе питегасог оЕ сЬе Егасс1оп (17) 1я е1сьег еииа1 Со сего ог пеавс1че. 1п СЬе Е1гяг саяе Р(1)Р("1) О, 1.е., е1СЬег ! ог -1 1я а гооС оЕ Ео. (4), апб (16) 1я пег явг1яЕ1еб. 1п сье яесопб саяе Р(1)Р("1) > О, 1.е., аг сЬе ро1пся ц -1 апд с[ ! сЬе ро1упот1а1 Р(с) сасея оп ча1иея о( сЬе вате я18п.
ТЬия сЬе ро1упот1а1 Р(п) саппос ьаче, оп сье 1псегча1 -1 < с( < 1, )ияс опе гоос; сьеге вовс ье е1СЬег Счо ог попе. 1Е сЬеге аге сяо, сЬеп ЬосЬ аге 1еяя сЬап опе 1п тоди1ия, апб (16) 1я пос яассяе1ед. 1е, оп сье 1псегча1 [-1, 1), сьеге аге по гоося, сьеп ессЬег сЬеге аге по геа1 гоося ас а11, Ьис оп1у сотр1ех соп)и8асе гоося оЕ епиа1 тоби1ия, ог е1яе ЬосЬ геа1 гооСя Ьаче тоди1ия Огеасег сЬап опе, апй (1б) Ея ааа1п пос Еи16111ед. 1Е, Еог вове 6 > О, сопбсс1оп (17) 1я яас1яЕ1ей, сЬеп Р(-1)Р(1) < О, впй сЬе часиея оЕ Р(П) ас сЬе епдя оЕ сЬе 1псегча1 [-1, 1! паче 81ЕЕегепг я18пя яо сЬас, оп сься 1псегча1, СЬеге Ея ргес1яе1у опе гоос.
Тьеп сЬе осЬег гоос, а1яо геа1, 11ея оисясбе сься 1псегча1, яо сЬас Еог вове р < ! (!6) 1я яаг1яЕ1еб. ССе я111 поя яЬагреп СЬ1я 1аяг геяи1С апд, 1п Еасг, ч111 Оес )ияс сЬе с1себ Ьоипд (18). Ргот (17) 1с ео11очя сьас 01ЕЕегепсе КЧиаС1опв оЕ Р1гвг апй Яесопй Огйег СЬарсег 1 28 е В 2 В Р[-(1 — — )] в + с(1 - — ] — Ь(1 — — ) 2 2 2 Ьа»е й1ЕЕегепс в18пв во сЬас сЬе ро1упов1а1 Р(Ч), оп сЬе 1псег»а1 -(1 — В/2) < Ч < 1 — В/2, Ьав а гоос Ч, ]Ч [ < 1 - В/2 ° С1еаг1у сЬе Чиапс1с1ев 1 Ч Ч 1 Ч 92 1п»егвев оЕ сЬе гооСв оЕ КЧ.
(4), аЬеу сЬе еЧ»ас1оп а'+ Ь Ч +с (Ч")2 0 в1сЬ соеЕЕ1с1епгв а" с, Ь Ь, с' а, вассе(у1пК сЬе ваае сопй1с1ап (17)с ТЬеге(оге опе оЕ СЬе гаага Ч„, Ч вас1вЕ1ев СЬе 1пеЧ»а11су [Ч ] < 1 — 8/2. ТЫв гоос свп оп1у Ье Ч' = 1/Ч2, »ЫсЬ соар1есев сЬе ргооЕ оЕ Ьоипй (18). 2 Рог есиас1опв »1сЬ геа1 соеЕЕ1с1епсв в»Ь)есс со сопй1С1оп (17), сопй111оп (10) апй сЬ»в а1ва Ьоипй (15) вге аисоиаС1са11у ваС1вЕ1ей Еог СЬе Ьоипйей рагссс»1аг во1»ссоп,и , оЕ СЬе 1пЬоаайепеоив й1ЕЕегепсе еЧ»ас1оп п' (9).
РКОВЬКИВ 1. Уг1се сЬе Кепега1 во1ис1опв оЕ еииас1опв и — 5и + би = О, п"1 и и+1 и = О, +1, 5 и — — и + и О, и О, +1, п-1 2 и и+1 и = О, +1, 9» + Зи + и О, п-1 п п+1 2. Р1пй а во1»С1оп аЕ сЬе еЧ»ас1оп 5 и — — и + и +1 О, »МсЬ 1в Ьоипйей Еог п е й апй Са1сев оп СЬе »а1»е »0 1. 3. Вг1се оис сЬе сьоивапйсЬ сева оЕ сЬе вечиеисе и , » , и . ..,, ЕЬе 0' 1' Е1гвс гво Сегив аЕ »МсЬ аге еЧ»а1 со опе, и 1, и 1, »М1е СЬе 0 ' 1 Ео11о»1пК Сегвв аге йеЕ1пей Ьу СЬе гесиггепсе ге1аС1оп ОЕЕЕегепсе ВН»ас1»п оЕ Весопд Огдег 29 и 1, 2, и и +» п+1 и-1 и' 4. Р1пд СЬе песеввагу апд виЕЕ1с1епг сопд1с1опв »ЬссЬ опе аивс 1»раве оп СЬе гаосв аЕ сЬе сЬагвссег1вС1с е9»»С1»п во сЬас сЬе д1ЕЕегепсе еН»аг1»п и О, +1, +2, аи +Ь» +с» О, п-1 п и+1 »111 Ьаче ас 1еавс опе попсг1ч1»1 Ьоипдед во1»с1оп.
(ТЬе во1ис1оп» =- 0 и 1в са11ед "Сг1»1а1".) 5. Р1пд СЬе сопд111опв»ЬЕсЬ аивс Ье вас1вЕ1ед Ьу сЬе гоосв оЕ сЬе сЬвгассег1вс1с е9иас1оп, песеввагу апд виЕЕ1с1епс со Ниагвпсее сЬас »11 ва1»с1опв оЕ сЬе еН»ас1»п »111 Ье Ьо»пдед. б. НЬас а»вс Ье сг»е оЕ сЬе гоосв оЕ сЬе сЬагассегсвг1с ец»»С1»п ЕЕ »11 во1»С1»пв »Е СЬе еи»»С1»п вип 1 + Ь»и + сии+1 0 аге Со Сеид Со вега авп 7 7. Р1пд апу рагс1с»1вг во1»с1оп оЕ сЬе 1пЬоаовепеоив д1ЕЕегепсе »9»ас1оп 5 » 1 — 2ии+»+1=Е п = О, +1, 1Е сЬе г1НЬс Ьапд в1де Ьав сЬе Ео11о»1пН врес1а1 Еогаг Е = 1 и и +» +» Е п-1 и и+1 и Оо сьеге ех1вс»пьоипдед еипда»епса1 во1ис1опв ое сьсв »9»ас1»пс 9. Сопвсг»сс апу Еипдааепса1 во1ис1»п оЕ СЬе »9»ас1»и и -2» +» Е и-1 1» сЬеге апу Ьоипдед Еипдааепса1 во1ис1оп2 10.
Опдег »Ьаг сопд1С1опв оп СЬе гаага оЕ СЬе сЬагасгег1вг1с »9»аг1»п доев сЬе дЬЕЕегепсе еН»ас1»п а) Ь) с) аи +Ьи +си О, п О,+1, п-1 п и+1 Н1пс. ЬооЬ Еог а во1»с1оп аЕ сЬе Роге » = А. 1пс. ЬооЬ Еог а во1»с1оп оЕ сЬе Е1г» » А + Вп. * Н1пс. 1.ооь Еог а во1ис1оп оЕ сЬе Еога и А ' 3". п Н1пс. ЬооЬ Еог а во1ис1оп оЕ сЬе Роги»„= А в1п п Е п. Н п Е Зи п Е сов п п + В сов и. сопвсг»сс апу Ъо»пдед Еипда»епса1 во1»с1оп оЕ сЬе е9»ас1»п ЗО О1ЕЕегепсе Ециас1«пв оЕ Р1гвг апй Бесо«С Огйег Сдарсег 1 аи + Ьи + си = Е п-1 поС даче до«плел Еиплааепга1 во1иг1«пв? 11. Пв1пл сЬе дои«Сей Еиплаиепса1 во1ис1оп, иг1се оис сЬас во1«с1оп («О, «1, ..., иМ), оЕ сЬе ециаслоп 5 и — — и +и Е, п 1, 2, ..., М-1, п-1 2 п п+1 п' ед1сЬ ваС1вЕ1ев СЬе сопб1С1оп «О ф, ип 9, «Ьеге ф апл Р аге М1чеп пиеЬегв.
12. Р1«С а11 СЬе е1аепча1иев, р, апй сЬе ооггевро«С1«М есаепчессогв Ч ]ча], п = О, 1, ..., м, ое сье орегасог л)(2, л ф-рф «Ьеге Л 1в Сде орегагог идлсд аарв еасЬ пег Еипсс1оп, и ]и ], 1псо сЬе пес Еипсс1оп ч = ]ч ], ч1а сЬе ге1вс1опв ч = Си -2« +и ) О<е<М, 1 Ь ч ч О, О М Апвчег: С 2 чЬ (Ь) Ьча Р = — — в1п —, ф = в1п —, Ь= 1, 2,,, М1. Ь Ьг 2М а М СЬарсег 2 Во«ада»у-Ча1«е рхоЫепв Сог дднас1опв оЕ дееоп6 Огдег Вонпбагу"ча1ие ргоЫепв оЕ сЬе Еоп» сопв16еге6 Ьеге аг1»е «Ьеп 61ЕЕегепсе всЬепев аге нве6 Еог СЬе пнпег1са1 во1иг1оп оЕ ог61пвгу ап6 рагЫа1 61ЕЕегепс1а1 еднас1опв. 54.
рогпи1ас1оп оЕ сЬе ргоЫеп. Сноб-еоп61с1оп1пд ег1сег1а, 1. Роги«3ас1оп оЕ СЬе ргоЫеп. ТЬе »1пр1евс Ьонпбагу-ча1«е рг«Ыеп сопЫ»С» 1п СЬе соп»СгнсС1оп оГ а пеС ЕипсС1оп (нп), п = О, 1, ° ° ° , Д, вас1в(у1пд сЬе 61ЕЕегепсе еднас1оп а«+Ьи+с«Е,п1,2,...,д-1, (1) п п-1 п п п п+1 п' ас сде 1псегп»1 ро1псв О < п < д ое сЬе пес 1псегча1 О < п < м, ап6 свьспд оп сде д1чеп ч»1иев (2) н М О оп 1св Ьонпбаг1ев. А Ьонпбагу-чв1ие ргоЫеп Еог вувсе»п оГ 61ЕЕегепсе епн»С1опв ч111 Ье Еопп«1аее6 1п Дес»1оп ?. дс«6у1пд сьееднас1опвн +ьн +си =е,а ЕО, с ГО, че п п-1 п п п п+1 н' п ' п гееаг)се6 сЬас, Еог апу агЫсгагу сЬо1се оЕ ча1«ев оЕ (н ~ ас апу счо п а6)все«с ро1псв, Еог ехапр1е Еог ап агЫсгагу сЬо1се оЕ н ап6 н, а во1«с1оп (н ] 1» 6есеп»1пе6 ап6, погеочег, а ««19«е во1«С1оп.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
