Godunov S.K., Ryabenkii V.S. Difference schemes. An introduction to the underlying theory (811440), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Бо ав со свКе айчапгаре оЕ сЬе оараЫ1111ев оЕ сЬеве шаеЫпев сЬе сошрисас1опа1 шесЬой шаКев а сгапв111оп, Егош сЬе гери1гед во1ис1оп, со а сегса1п пиаег1са1 саЫе опе пеева со сопвсгиос, апд со а вециепсе ое аг1сЬшес1с орегас1опв Еог сЬе сошрисас1оп оЕ сЬе пишЬегв 1п сЫв СаЫе. Опе ш1НЬс, Еог ехашр1е, вес оис со 11пд аоше оЕ сЬе 1еай1пд соеЕЕ1о1епсв 1п ап ехрапв1оп оЕ сЬе во1иг1оп 1п а рошег вег1ев, ог а сг1Нопошесг1с вег1ев. Неге ые дече1ор сЬе сЬеогу оЕ 41ЕЕегепс1а1 епиас1оп во1ис1опшесЬойв Ьввед ап Е1п1се 41ЕЕегепсев. ТЬе еввепсе оЕ сЫв шовс чегвас11е пшпег1са1 шесЬшЕ сопв1асв 1п сЬас опе риса, 1п сЬе го1е оЕ сЬе дев1гед вес оЕ пишЬегв, а саЫе оЕ ча1иев оЕ сЬе во1ис1ап ас сЬе ро1псв оЕ а сегса1п вес, огд1паг11у оа11ед а "пеС". Уог сошриСаС1оп оЕ сЬе геои1гед саЫе опе швКев иае оЕ а1НеЬга1о еоиаг1апв чЫоЬ арргох1шаСе, апд саКе сЬе р1аое оЕ, сЬе д1ЕЕегепс1а1 еииас1оп.
1«ггой«сг1«п Уог СЬе васе оЕ с1аг1Су, попа(Аег СЬе в1«р1евг ехаер1е «Е а 41ЕЕегепсе всЬеае Еог сЬе п«аег1«а1 во1«с1оп оЕ сЬе ео«ас1ап «(х) + А«(х) О, «1сЬ сЬе 1п111а1 сопй1с1«п «(О) = 1. Еве сЬ«ове ап Ь > О, а«А вес а«с со оЬса1п, 1п р1асе оЕ СЬе Е«псс1оп «(х), в свЫе оЕ 1св ч«1«ев «(О), «(Ь), «(2Ь), ..., «(пЬ), уе по« гер1асе сЬе Аег1«ас1«е Ьу сЬе АЕЕЕегепсе арргохспас1«п «(х + Ь) — «(х «Ы«Ь 1в рог«1вв1Ые 1Е сЬе всер — «1ВСЬ 1п СЬе с«Ые 1в сасеп в«ЕЕ1«1епс ваа11. АЕСег 1«ссор«сС1«п оЕ СЫв й1ЕЕегепсе арргох1«ас1«п «е Вег, 1п р1«се «Е сЬе А1ЕЕегепс1«1 ео«ас1«п, СЬе 61ЕЕегепсе ео«ас1«п «(х + Ь) - «( х) + А«(х) О, «ЫсЬ арргохспагев 1с, а«А «ЫсЬ сап Ье «вой Еог вп арргохспасе совр«сас1оп оЕ СЬе гео«1гей саЫе.
То 1вр1еаепс сЫв совр«сас1оп ме гевг1се сЬе 41ЕЕегепсе ец««С1«п 1« СЬе Еога оЕ а гес«гв1оп ге1«с1оп «(х + Ь) (1 — АЬ)«(х). Вев«епг1а11У С«Ы«В х О, Ь, 2Ь, ..., ме 11«й СЬвС «(ВЬ) = (1 - АЬ) ВЕСС1ПВ Ь 1/М «Е ВЕС А «(1) = [1 — а) 1п р1асе оЕ сЬе ехасс во1«с1оп -А «(1) = е В«с, ав 1в «е11 Ьпо«п Его« а всапйагй со«гве 1п аасЬеааС1«в1 апа1ув1в, Еог Ь в«ЕЕ1«1епг1у ава11 ог, соггевропй1«В1у, Еог И 1агре епо«ВЬ, (1 — А/М) д1ЕЕегв «егу 11СС1е Его« е . ЕЬ«в «е вее сЬас сЬе арргох1«асе во1«С1оп «(Ы «(2Ь) (1-АЫ, (1 — АЬ) 1«спой««С1«п Воссеп н1а сЫв 61ЕЕ«пеппе в«Ьеае апй йерепй1«В оп сЬе веер-в1яе, Ь, сопчегрев, ав СМв всер-в1яе йесгеавев, со сЬе ехвсс во1«с1оп оЕ ЕЬе 41ЕЕегепс1в1 ес(ивС1«п.
Ап«ЕЬег ехаир1е оЕ а АЕЕЕегепсе ео«вс1«п врргох1«ас1пВ сЬе ввие АЕЕЕегепс1в1 ериас1«п и (х) + Аи(х) О, 1в «ЬСа1«ей Ьу гер1а«1пВ СЬе Оег1чаС1че «1СЬ СЬе 41ЕЕегепсе ехргевв1оп и(х + Ь) — и(х — Ь) Пйв еоиаС1«п Евсея СЬе Еоги «(х + Ь) — и(х — Ь) — а — — ' (о Рог сЬе 41ЕЕегепс1а1 еО«ас1«п «''(х) + А» (х) + Ви(х) = Е(х) опе сап сопвсгисс а й1ЕЕегепсе апа1оа Ьу гер1ас1пВ и (х), Еог ехапр1е, «1сЬ сЬе Ео11о«1пВ арргох1«аге ехргевв1опс и(х + Ь) - и(х) и(х) - и(х - Ь) Ь (* )- Я)+ 1* — ) ТЬе Е1гвг Аег1ч«С1че иау Ье гер1асеб Ьу опе оЕ сЬе 61ЕЕегепсе ехргевя1опв а1геабу «веА.
АЕсег висЬ в«Ьвг1сис1«пв, апй ив1пВ ЕЬе се«сечей ехргевв1оп Еог сье Е1гвс йег1час1че, ие Вес сье 41ЕЕегепсе еоиас1«п и(х + Ь) — 2«(х) + и(х — Ь) и(х + Ь) — и(х — Ь) Ф А + Ви(х) = Е(х). Ь2 2Ь ТЬе сопвггисС1оп оЕ д1ЕЕегепсе «О«ас1«пя 1в по ипге 41ЕЕ1с«1с 1п сЬе саяе оЕ бЕЕ(его«С1а1 е«иаС1«пв «1СЬ чвг1аЫе соеЕЕЕс1епгв. 11, Еог ехапр1е, опе иапгв со со«рисе сЬе во1«с1оп оЕ СЬе евиаС1«п «(х) Е А(х)и(х) = О, «Ьеге СЬе соеЕЕ1с1епС, А, 1в а ЕипсС1оп «Е х, СЫв сап Ье депе «1СЬ СЬе аЕА оЕ сЬе 61ЕЕегепое е««ас1«п «(х + Ь) - «(х) + А(х)и(х) О 1псгойиес1оп О1ЕЕегепсе воЬееев свп сгеас поп-11пеаг епиас1опв )ивс ав еав11у.
Раг ехаир1е, сЬе евиас1оп и (х) + в1п(хи(х)) = О еап Ье во1чей арргох1пасе1у ч1а сЬе воЬеее «(х + Ь) - и(х) + Ь Ргое СЬе аЬоче ехаер1ея опе еау Еоге сЬе гаргевя1оп СЬас сЬе попясгиес1оп оЕ 41ЕЕегепсе веЬееея, апд сЬе во1ис1оп оЕ 61ЕЕегепс1а1 епиас1опв сЬгоиаЬ иве оЕ висЬ впЬеяев, аге аассегв ргевепс1па по ЙЕЕЕ1си1с1ев. ТЬЕв Ев в десерС1че 1иргевв1оп.
А1геаду 1п СЬе я1ир1евс свеев, ечеп 1п во1ч1па 11пеаг епиас1опя чсСЬ сопвсапс соеЕЕ1с1епсв, 1с Ьаррепв Егевиепс1у сЬас а веее1па1у р1аия1ь1е й1ЕЕегепсе веЬеие Ьав а во1иссоп чЬЕеЬ доев паг сопчегБе, вв СЬе пег 1в ге(1пе4, Со СЬе с)ев1гед ва1ис1ап оЕ сЬе ЙЕЕЕегепс1а1 еоиас1оп. ОЕ соигве, ч1сЬ яиеЬ а веЬеяе опе саппос соириге сЬе йев1гед Еипег1оп и1СЬ ип11е1сей ргес1в1оп. РигсЬег, аЕсег а сопчегхепс всЬеие 1в сопясгиесед, 1с 1в песеввагу со соерисе сЬе во1иг1оп оЕ сЬе геви1с1па вувсеи оЕ а1хеЬга1е евиас1опв Еог а 1агае пиеЪег оЕ ча1иев оЕ сЬе ипспочп Еипсс1оп вс сЬе Ьпогв оЕ сЬе пес. ТЬЕя, 1п папу 1арогсапс свеев, 1я поС аг а11 ваву.
Боиес1еея 1с 1в ровв1Ые со с1геиичепС СЬЕВ 61111еи1СР Ьу сЬоов1пх а сопчегвепс 11ЕЕегеппе всЬеае оЕ 41ЕЕегепс сопвсгиос1оп, виеЬ сЬас сЬе геви1с1пп вувсеа оЕ 11певг ецивс1опв 1в евву со во1че ехвсс1у, "1п сегса1п осЬег савва аесЬойв Ьаче Ьееп Аече1ореА Еог сЬе арргох1пасе соирисас1оп оЕ сЬе ва1ис1оп оЕ 61ЕЕегепсе ргаЬ1епм со впу ргеясг1Ьей 1ече1 оЕ аееигасу.
Кчегуопе иЬо 1в епаваей 1п сЬе пиеег1са1 во1иС1оп оЕ 41ЕЕегепс1а1 евиас1опв яЬои1б Ье аиаге оЕ сЬе АЕЕЕЕси111ев 1пчо1чед 1п СЬе сопвсгисс(оп апд иве оЕ д1ЕЕегепсе всЬеаев, апй вЬои1д Ьпои Ьои со очегсоие сЬеве 61111си111ев. ОЕЕЕегепсе Еоиаг1«пв «Е Р1гвс е»С яесопд ОгСег ОЬ«рсег 1 ви(х) + Ъи(х + Ь) = Е(х), ви(х — Ь) + Ьи(х) + си(х + Ь) Е(х). (2') 1Е сЬе веО««псе оЕ ро1псв, д1«ЕС1«Х сЬе х ех1« 1псо 1псегч«1« оЕ 1е»ОСЬ Ь, 1« пи»Ь«гед Его» 1еЕС Со г1ОЬС во СЬаС хп хп 1 + Ь, а«С ие С«Е1«е и = «(хп), Еп = Е(хп), СЬеп оиг й1ЕЕ«ге«се всЬеие свп Ье геиг1ССеп 1п сЬе Еог» а» + Ь» = Е п п+1 п' (5) ви + Ьи + си п-1 п п+1 п 1п Я1-С ие «111 Ье в«Карей 1п СЬе «С«с(у оЕ С1ЕЕ«ге«се ецивс1»пв аЕ Еагив (с) впд (5), ьис «111 пос авк иьесьег сьеве епивс1»пв сопвс1сисе ссееегепсе в«Ьевев Еог впу 41ЕЕ«ге«С1е1 ес)и»С1«пв.
1» еци«СЕ«пв (С) в»С (5) СЬе «пКпоипв, «и, Еога в ве«ивисе (ип)с с(е «111 оесеп рис сьсв веце«псе 1псо опе-со-апе соггевропВепсе «1сь сье ее«и«псе оЕ ро1псв пи»Ьег«С Ьу сЬе 1«сереге -3, -2, -1, О, 1, 2, 3, в вес оЕ р«1псв во«ес1»ев геЕ«егер со вв а "пес", ТЬе вециепсе (» ) вву Ье геввгйед ав а Еипсс1«п, и, дсчеп вс СЬе ро1псв оЕ сЬе пеС. 1п СЬЕВ саве «К 1« сЬе ча1«е оЕ СЬе пес Еипсс1оп, и, вс сЬе ро1пс пи»Ь«геС К. 1п Р1Р. 1 ие Ьаче Сгввп сЬе ОгарЬ оЕ в пес Еипсс1«п, и. ТЬЕв ргарЬ сопв1в се оЕ сЬе и сос«11су ое ро1псв (хк, ик) оп сье р1«пе Ох».
51»се ие Ьаче «Ьовеп пос со соп«ЕСег сЬе соппесс1оп Ьесиееп СЕЕЕегепсе впй СЕЕЕегепс1а1 е«ивс1»пв, ие аге 1п по иву од11хед со х саКе сЬе 61«гипсе Ьесиееп пе1КЬЬ«г- РЕР. 1 1«Р ро1псв со Ье ееиа1 со Ь. Че иау сЬооае СЬЕВ 61«С«псе вв ие 11Ке впд, Еог ехвар1е, со«15 вес 1с ееи«1 Со Со ип1су, с«К1»д хО Со Ье вг СЬе ог1О1«. ТЬ«п сье пес Еипсс1оп, и, »111 Ье йе(1»ес вс сье ро1псв «1сь соогд1««Сев хК К. Есир1евг ЕЕЕЕегепсе Есиаг1опв С(е и111 авяиие Еог я1ир11с1су, сЬас сЬе соеЕЕ1с1епсв а, Ь апд с 1п Еав.
(4) ап4 (5) аге сопвсапс. 1п вау1пЕ сЬас сЬе есиассопв 1п ииевс1оп аге евиаг1опв и1сЬ сопясапс соеЕЕ1с1епгя ие веап сЬас сЬе соеЕЕЕссепсв аге 1пиерепаепс оЕ сЬе 1пдех, п; Еог ехввр1е, сЬе еаиас1оп и + 5 и и + » О и-1 и и+1 1в пас ап еииас1оп и1сЬ сопвсвпс соеЕЕ1с1епсв. Ссе и111 сопв14ег оп1у висЬ еаиас1опв (4) Еог иЫсЬ а впй Ь аге 41ЕЕегепс Егаи вега. Ти (5) а апй с и111 Ье аввиие4 со Ье 61ЕЕегепг Егов вега. ТЬе яес(ивисе (Еп) и111 Ье св11е4 СЬе "г1ЕЬс-Ьап4 в1йе" оЕ сЬеве есивг1опв. 1е ие роя си1все сьас сье яеииепсе [и„) 1в дее1пей ас а11 иьо1епивЬегей роспсв и, - С и С, апй рис по ЕигсЬег гевсг1сс1опв оп СЬ1я вециепсе, сЬеп 1с 1я ваву со яее СЬас Еся.
(4) апд (5) Ьаче вапу ва1иг1опв. ТЬиа, Еог ехаиР1е, СЬе еииаг1оп Вип — «п+1 О Ьав, ав а во1иесоп, ип и О, ав ие11 ав СЬе Яо1иг1оп ии = Цп. 1п агдас со я1пЕ1е оис а ип1цие во1ис1оп оЕ Ес. (4) аи + Ьи Е п и+1 и' 1с 1в виЕЕ1с1епс со Е1х сЬе ча1ие оЕ СЫв во1иг1оп вс апу в1пЕ1е иЬо1епииЬегей ро1пс а, сЬас 1в со Е1х и . 1п Еасс ЕО.
(4) свп Ье иг1ссеп ав а гесигв1оп ге1вЫоп и+ -Ь~Е аи), 1 Егои иЬЕсЬ, Еог п в, в + 1, ..., опе сап яес(иепс1а11у де(1пе и +1, ч +Т, 1.е., а11 и Еог п > и. Ссг1с1пх сЬе еяиас1оп 1п сЬе осЬег гесигя1не п Ео ге и -(Е -Ьи 1 ие сап, 1п 5ивс сЬе ваие иау, йеЕ1пе ип Еог и < в. То в1пЕ1е аис а «п1аие во1ис1оп оЕ ЕВ. (5) ви + Ьи + си Е п-1 и ив1 п 1с 1в виЕЕ1с1епс со авв1Еп, вгЬ1сгаг11у, чв1иев оЕ и ас апу сио аа)асепс иЬа1е-иивЬеге4 ра1пгв, 1.е., Еаг ехаир1е, Со Е1х сЬе чвсиев оЕ и 1 впд тьвс сЫв 1в сгие 1иве41асе1у Ео11очв егов сЬе еасс сЬас сЬе с1сед ес(иаг1оп свп Ье геиг1 ССеп 1п сЬе Ео11ои1пЕ сио гесигвсче Еагивс и -(Š— Ьи - ви ) 1 п+1 с п и п-1 П1ЕЕегепсе Впиас1»пв оЕ Р1гвс апд Яесопй Огдег СЬ»рсег 1 1 и -(Е - Ъ» - си ) п-1 а п и п+1 2.
ОгЬег оЕ НЕЕЕегепсе евивс1»ив. Че »111 гере»с опсе поге сЬе гев»1св »Ьс»1»»А вЬоче, апд сЬеп Рога»1асе сЬе сопсерс оЕ огдег Еог 41ЕЕ»пеппе еци»С1»пв (4) апд (5). 1п огрех со в1пВ1е оис а и»14»е во1ис1»п оЕ ВО. (4) аи + Ьи Е п п+1 п 1с 1в виЕЕЕ»1епс со Е1х сЬе ча1ие оЕ и ас опе ро1пг. Би»Ь вп ее»асс»» 1» са11»д ап "еоиас1»п оЕ Е1гвг огдег". То »1пВ1е оис а и»1цие во1ис1оп оЕ Вв. (5) аи 1 + Ьи + си = Е п-1 п п+1 п 1С виЕЕЕ»ев со авв1Вп ча1иев со сЬе во1ис1оп ас Сио ап)все»с ро1пгв ° Рог сЬЕ» геавоп ви»Ь вп ериас1»п 1в с»11»д ап "епи»С1»п оЕ вепо»4 огдег".
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
