Godunov S.K., Ryabenkii V.S. Difference schemes. An introduction to the underlying theory (811440), страница 13
Текст из файла (страница 13)
апд оЕ ап ипспочп пес Еипег1оп (ог чеесогЕипеС1оп) — а СаЫе оЕ ча1иев оЕ СЬе во1иг1оп [и]Ь. 1п аМ1С1оп ме похе оп1у сЬаг, 1п сЬе го1е оЕ сЬе с]ев1гед сеЫе, [и]Ь, оЕ во1иссоп-ча1иев 1с 1вп'с песеввагу со сопя(Вес а пег-ЕипсС1оп со1пс161пр ч1сЬ сЬе во1иссоп, и, ас сЬе пес — ро1пгв ° 1с 1в рояя1Ые Со евгаЫ1вЬ а поггевропдепее Ьееиееп сЬе Еипег1оп апд сЬе Еипес1оп-саЫе 1п осЬег иаув. Рог ехаар1е опе аау сасе, ав сЬе ге9и1геВ саЫе оЕ и(х), О < х < 1, сЬе пеС Еипеесоп [и]Ь йе(1пед ас сЬе ро1псв х Ь/2, ЗЬ/2, ..., 1 — Ь/2, Ьу сЬе е9иассоп СЬарсег 5 Сопче»Вепсе, Аррго»1шае1оп апд ВсаЫ11су 88 ВчегуиЬеге Ье1ои, Ьаг»1п8 всасешепсв со СЬе сои»гагу, че ч111 еввюее сЬас и 1в а сопс1пиоив Еипсс1ап апй св]се [и)Ь со Ье СЬе пег Еипсс1оп со1пс141пр ч1»Ь и ас сЬе пес-ро1псв.
уе аге сопсегпей ч1СЬ сЬе сошриеас1оп оЕ сЬе пес 1ипсс1оп [и]Ь Ьесаиве, ав СЬе пег 1в ге11пей, 1.е. ев Ь е О, 11 Ьесошев а шоге апд шаге 1' []х[] > О, х 1п В; 2' ()1»!! )1~ ~~х(), иЬеге х 1в 1п В апй 1 1в ап агЫ»гагу пишЬег; 3' [[х + у[[ < [[х[[ + []у[[, Еог х, у Еп В. ТЬе поги сап Ье де[1пед 1п чаг1оив чвув.
Опе свп, Еог е»ашр1е, са]се ав СЬе попа оЕ а ЕипсС1оп СЬе ехасс иррег Ьоипд оЕ сЬе шодиИ оЕ 1с'в че1иев ас сЬе пес ро1псв, 1.е. ]]и~ ~~ вир ]и~(» )~ Ь (10] йеса11ед сеЫе оЕ СЬе дев1гей во1иг1ап и, оЕ иЫсЬ 11 81чев ив ап 1псгеа»1п81у шоге сошр1есе гергевепсас1оп. Р1а 1псегро1ас1ап 1с 1в ровв1Ые, и1сЬ 1псгеав1п8 ассигасу ав Ь е О, са сопвсгисс ЕЬе во1иг1ап ечегучЬеге и1сЫп О.
С1еаг1у сЬе ассигасу ч1СЬ чЫсЬ сЫв сап Ье доле, Еог а 81чеп пишЬег апд 41всг1Ьис1оп оЕ ро1псв оЕ сЬе пее ОЬ, дерепйв оп а881с1опа1 Евсее сопсегп1п8 СЬе во1иС1оп (ИЬе, Еог е»ашр1е, Ьоип8в оп 1гв йег1час1чев), апд а1во оп СЬе 81всг1Ьиг1оп оЕ СЬе ро1псв оЕ пес О],. уе сопЕ1пе оигве1чев со висЬ равв1пВ соечеепсв оп сЬе сопвсгисг1оп оЕ сЬе Еипсс1оп, и, Егош »Ье саЫе [и]Ь. Иоге деса11е8 сопв1дегас1оп оЕ СЬе сопвегисг1оп оЕ и Еипс»1оп Егвп СаЬи1аг ча1иев сопвг1сигев СЬе виЬ]есг ешгсег оЕ СЬе сЬеогу оЕ 1псегро1ас1оп.
Уе и111 сопсегп оигве1чев оп1у и1СЬ сЬе сопвсгисс1ап оЕ сЬе саЬ1е [и)Ь апй, Ьу сопнепгсоп, сопв18ег сЬас ргоЫеш (1) Ьав Ьееп во1чед ехвсс1у И сЬе пес-Еипсс1оп [и)Ь Ьав Ьееп Весе»и(пед. Вис, оЕ соигве, ме ч111 пос виссеед 1п сошрис1п8 [и]Ь ехасс1у. 1пвсеад оЕ сЬе пес 1ипсс1оп, [и)Ь, ие ч111 1оо)с Еог апосЬег пег Еипс»1оп «(Ь], чЫсЬ "сопчегрев Со [и)Ь ав СЬе пес 1в геЕ1пед. Рог СЫв ригрове опе сап шв]се иве оЕ 81ЕЕегепсе еоиаС1опв.
2. Сопчегхешс 61ЕЕегшпсе всЬешев. Ре и111 Ье сопев»пад ч1сЬ шесЬо8в Еог сЬе сопвсисс1оп апд всиВР оЕ сопчегВепс 81ЕЕегепсе всЬешев сЬгоиВЬоие а11 оЕ СЫ» сЬарсег. Вие 11гвг оЕ а11 че ешвс 81че а ргес1ве шеап1п8 Со сЬе геои1гешепс сЬас и е [и) , сЬе сопчегсепсе гееи1гешепс сЬас че ч111 (Ь) Ь' 1шрове оп 81ЕЕегепсе всЬешев. Рог сЫв ригрове че сопв(8ег а 11пеаг пасшей врасе оЕ ЕипсС1опв йе11пее] оп сЬе пес ОЬ. УЬв попш ][и [[ оу' а швС Ь О ЕипасЕоп и 1п С 1в а поп — песас1че пишЬег иЫсЬ шеевигев сЬе йеч1ас1оп оЕ Ь Ь сЬе Еипсс1оп и Егош и в О.
Ре геса11 СЬас СЬе 11пеаг врасе, В, 1» ва18 со Ье "погшед" 11 еасЬ е1шеепс, х, оЕ СЫв »расе 1в рие 1пео соггевроп8епсе и1»Ь а поп-пеВас1че пишЬег []х]] ап8, шогеочег, СЬе Ео11ои1п8 СЬгее погшах1ошв аге ча118: 89 Сопчегсепсе оЕ в ОЕЕЕегепсе ЯсЬеше 1Е и 1в а ра1г оЕ Еипсгсопв, ав 1п (9), сЬеп ав а поги, 1п апа1оду (Ь) и1ХЬ (10), опе сап сасе СЬе иррег Ьоипб оЕ сЬе шойи11 оЕ ЬосЬ Еипсг1опв оп сЬе1г гевресс1че песа. 1Е «( ) сопв1вгв оЕ Еипсг1опв де(1пей оп СЬе пег х = О, Ь, 2Ь, ..., 1, СЬеп опе ЕгечиепС1у ивев а поги де(1пед Ъу ЬЬе е9иас1оп !~„(ь)~~ [ь чс ~„ )г)172 Ь п 0 ТЬЕв поги 1в апа1аСоив со сЬе поги ) )и(х) ~ ! = () )и(х) ! дх) 0 Еог Еипсг1опв, и(х), вчивге-1псесгаЬ1е оп сЬе 1псегча1 0 ( х ( 1. ЕчегуиЬеге Ье1оч, 1Е посЬЕпд 1в ва16 со сЬе сопсгвгу, ие ч111 иве поги (10).
АЕсег сЬе 1псгодисс1оп оЕ а почием арапе, 0 , СЬе сопсерг оЕ и (Ь) йеч1агсоп Ьесчееп опе Еипсг1оп апс1 апосЬег Ьесошев шеап1пд(и1. 1Е а апд ь аге счо вгЬЕсгвгу пес Еипсс1опв 1п 0 , сЬеп ХЬе швавипв оЕ ХЬе1г (Ь) Ь' с(ви(ах(оп егош вась осьег 1в свьеп со ье сье поги ое сье1г 61ееегепсе, 1.е. СЬе аиапг1Су ~~ (Ь) Ь(Ь)~~ Мои юе сап ргосеей со а г1догоив деЕ1п1С1оп оЕ а еопчегСепс 61ЕЕегепсе всЬеше. Яиррове ХЬас, Еог СЬе арргох1швее сошригас1оп оЕ сЬе во1иС1оп оЕ ХЬе 61ЕЕегепг1а1 Ьоипдагу-ча1ие ргоЬЕеш (1), Е.е. Еог сЬе арргох1шаС1оп сошрисас1оп оЕ СЬе пеС Еипсг1оп (и)Ь ч1а 69. (1), юе Ьвче сопвсгиссед а вувсеш оЕ есиас1опв чЬЕсЬ че ч111 иг1се вушЬо11са11у, Ьу апа1осу ш1СЬ 09.
(1), 1п ХЬе Еогш 1 и( ) Е( 01ЕЕегепсе всЬешев (6), (7) апй (9), Еог ИЕЕЕегепс1а1 Ьоипдагу-ча1ие ргоЬЕешв (2), (4) апд (5) гевресс1чесу, шау Ье Сасеп ав ехашр1ев оЕ сЬЕв 61ЕЕегепс1пс ргосевв. То вг1се всЬеше (6) 1п Еогш (11) юе шау вег и — и п+1 п пЬ Ь + , п О, 1, ° ° ° , М-1, 1+и2 ' п (Ь) иО' сов пЬ, СЬарсег 5 Сопчегсепсе, Арргох1аас1оп апй ВгаЫ11гу 90 ЗсЬеае (у) иау Ье чг1Ссеп 1п Еопе (11) 11 ее саКе и -2и +и п+1 п п-1 Ьг п" о' Еьи и Л+пЬ, п=1, г, ..., М-1, 91па11у ее ыг1се (9) 1п Еопе (11), саК1пп Ьь ч — ч п+1 п Ь -+ (пЬ)ч и, п п' п = О, 1, ..., М вЂ” 1, 1 + (пЬ)2 п=О, 1, ° ° °, М1, чО' 0' (пЬ)2 — ЗпЬ + 1, сов пЬ, п О, 1, ° ° ° , М-1, п = О, 1, ° ° ° , М-1, (Ь) ~~(и)ь — и ~)0 е 0 ав Ь е О. (Ы (12) Ме вее сЬвс вувсеп (11) дерепйв оп Ь, впд пиве Ъе сгеасей аерагаге1у Еог еаеЬ Ь соггевроп41пс са еасЬ оЕ СЬе пег*, О , апд пес-Еипсс1опв (и) ь' ыЫсЬ аге оЕ 1псегевс со ив.
Тьив а д1ЕЕегепсе Ьоипдагу-ча)ие ргоЫеа 1в поС а в1пМ1е вувСеи, Ьис а Еаа11у оЕ вувсепв дерепд1пс оп а рвгааеСег, Ь. Ес ч111 ъе аввиаев сьев, Еаг евеь виЕЕ1о1епс1у веа11 ь, сьеге ех1всв а во1иС1оп, и , оЕ ргоЫеп (11), Ье1оп91пд со сЬе враге О (Ь) Ме ы111 вау сЬаг Хьв воЕысъоп ы(") о)' Хьв ИХПвгвпов Еоыпдагу-оа1ыв рсоИае цг) ооповпдвв, ав сЬе пес 1в ге(1пеМ, Хо Хьв воЕыХХоп оЕ Ъоыте(апуоа1ыв ргоЫвя (г), ЕЕ Сопчегдепсе оЕ а 01ЕЕегепсе ЯсЬеше 91 ТЕ Еп аддЕГ1оп, тЬе 1пееиа11су ][[и] — и ][ < сЬ Ь 1в ват1вЕ1ед, чЬеге с > 0 апд Ь > 0 аге сопвсаптв пот дерепд1пе оп Ь, ие в111 вау вьет оопввтдвпов яв оу' оячеяе ь~, от тьат еьв дяПвтапое воьашв лая р'ЕЬ отдав аооитаоу. 1п яд ие сопя(дегед Гчо дЕЕЕегепсе всЬешев Еог тЬе ргоЫеш — + А» = О, 0 < х < 1, ди и(0) = Ь ° ТЬе евт1шатев оЬта1пед гЬеге Еог ЕЬе д1ЕЕегепсе„б(х) = и(х ] — и (Ь) Ьетиееп СЬе ехасс апд арргох1шасе во1ит1опв вЬоч ЕЬет тЬе Е1гвс оЕ тЬеве всЬешев сопчегдев и1тЬ огдег Ь, иМ1е Еог ЕЬе весопд сопчегдепсе 1в огдег Ь ТЬе гечи1гешепт ЕЬат 1т Ье сопчегдепт 1в тЬе Еипдашепса1 геди1гешепс чЬ1сЬ и111 Ье 1шровед оп д1ЕЕегепсе всЬеше (11) Еог ГЬе пишег1са1 во1ит1оп оЕ тЬе д1ЕЕегепг1а1 Ьоипдагу-ча1ие ргоЫеш (1).
ЕЕЬеп тЫв теди1гешепт 1в шес тЬеп, и1тЬ тЬе в(д оЕ д1ЕЕегепсе всЬеше (11), ГЬе во1ит1оп и сап Ье сошритед то апу ргевсг1Ьед ассигасу, 1Е Ь 1в Еврее вша11 епоидЬ. 2(е Ьаче г1еогоив1у Еотши1асед ЕЬе сопсерг оЕ сопчегдепсе апд Ьвче сове ир Со тЬе сепсга1 сиевт1оп: 1.е., Ьои доев опе сопвтгист а сопчетдепт д1ЕЕегепсе всЬеше (11) Еог сошритагвоп оЕ гЬе во1ит1оп оЕ д1ЕЕегепс(а1 Ьоипдагу-ча1ие ргоЫеш (1)н ТЬе аЬоне ехашр1ев яирр1ешепт ГЬе сопв1дегас1опв оЕ СЬаргег 1, апд д1че вове 1деа ав Го ГЬе в1шр1евг шетЬод Еог СЬе сопвттист1оп оЕ висЬ *сЬшяев: опе шиве сЬоове а пес, апд виЬвс1тите д1ЕЕегепсе ехргеяв1опв Еог тЬе дег1час1чея.
22оченег, ав че Ьаче вееп„ Еог опе апд ГЬе ваше д1ЕЕегепт1а1 Ьоипдагу-на1ие ргоЫеш опе сап дет д1ЕЕегепт д1ЕЕегепсе всЬешев (11), сЬоов1пд дЕЕЕегепт пеев О „апд гер1ас1пд ГЬе дег1час1чев Ьу чаг1оив д1ЕЕегепсе арргох1шат1опв. 2ве Ьаче а1геаду вееп 1п 29, тЬгоидЬ СЬе ехашр1е оЕ ЕЬе в(шр1евс огд1пагу д1ЕЕегепг(а1 еииат1оп, тЬат а д1ЕЕегепсе всЬеше шау Ье ипви1таЬ1е Еог сошритат1оп. Э. Етооу оЕ сопчегшепсе оЕ а дуЕЕсгвпсе всЬеше. Рог тЬе шошепс ие ч111 пот сопсегп оигве1чев и1ГЬ тЬе ргоЫеш оЕ сопвтгисЫпд д1ЕЕегепсе всЬешев, Ьит ч111 рове а в11 ЬС1у д1ЕЕегепг ргоЫеш. Бодрове тЬат а д1ЕЕегепсе всЬеше ь и = Е, иЬ1сЬ че Ьаче геавоп то Ьоре 1в сопчет- (Л) (Ь) Ь Кепс„ ео ЕЬаг [[[и] — и [[ н О ав Ь н 0 (Ь) Ьав, вошеЬои ог апоГЬег, а1геаду Ьееп сопвггиссед.
Хоч сап опе севе иЬеГЬег 1т 1в, 1п КасС, сопчегдепс ог пос2 92 Сопчегхепсе, Арргох1шас1оп епд ВгаЫ11су СЬерсег 5 Ьес ив аввише сЬес д1ЕЕегепее всЬеше (11) Ьав а ип19ие во1чс1оп и (Ь) 1п О . 1Е оп виЬвС1гиг1пВ СЬе пеС Еипсс1оп [и] [ [и] 1п О ), Еп (Ь) р1аее ое и, 1псо сье 1еес-ьапд вие ое (11), 1с сигпв оис сьас (11) 1в ваг1в(1ед ехасг1у сЬеп, 1п ч1еч оЕ сЬе ип19иепевв оЕ сЬе во1иг1оп, ие чои1д Ьече [и] и, 1.е. Иеа1 сапчегхепсе.
ТЬе во1иг1оп, и, оЕ СЬе (Ь) (Ь) ВЕЕЕегепсе ргоЫеш Ь и = Е иои1д сЬеп, 1п осЬег иогдв, ео1пс1де и1сЬ Ь сЬе ге9и1гед пес Еипсс1оп [и]Ь, чЫсЬ че Ьаче ахгеед Со еопвИег СЬе ехасг во1ис1оп. Ноиенег, ав а ги1е опе и111 пос виеееед 1п еопвггиес1пВ (11) 1п висЬ а чау ав Со Ье ехаег1у вас1аЕ1ед Ьу [и] . ЧЬеп [и] 1в виЬвс1сисед 1пео 54. (11) вове вогС оЕ гев1диа1 и111 Еогш: "Ь[и]Л ' + ЕЕ (Ь) (Ь) (14) 1Е СЫв гевИиа1 БЕ "сепдв со хего" ав Ь О, во сЬаг [и] ваг1вЕ1ев Ви.
(Ь) (11) шоге апд шоге с1ове1у, сЬеп ие и111 веу СЬас сЬе дЕЕЕегепсе всЬеше и' ' = Е' ' арргах1шагее сЬе Ьоипдагу-ча1ие ргоЫеш 1» = Е оп сЬе (Ь) (Ь) во1ис1оп, и, оЕ сМв 1ассег ргоЫеш. 1п саве оЕ арргох1шас1оп, 1.е. 11 сЬе дЕЕЕегепсе веЬеше арргох1шасев СЬе Ьоипдагу-че1ие ргоЫеш, опе шау виррове СЬас 59. (14), чЫсЬ 1е вес1вЕЕед Ьу [и], 1в Восгеп Егош (11) сЬгоиВЬ сЬе адд1С1оп оЕ вове (вша11 (Ь) (Ь) Еог вша11 Ь) 1псгешепс, бЕ, со сЬе г1ВЬс — Ьапд вИе Е . ТЬеге(оге, 11 (Ь) сЬе во1ис1оп, и, оЕ ргоЫеш (11) 1в всаЫе и1сЬ гевресс Со регсигЬас1опв оЕ сЬе г1ВМ-Ьапд в1де Е, 1.е. еЬапх)ев 11СС1е Еог вша11 еЬвпрев оЕ СЬе (Ь) г1ВЬс-Ьапд в1де, сЬеп СЬе во1ис1оп и оЕ ргоЫеш (11) апд СЬе во1иС1оп (Ь [и] оЕ ргоЫше (14) и111 д111ег 11сс1е Егош еаеЬ осЬег, во сЬес Егош арргох1шас1оп 6Е О ав Ь + О (Ь) Ео11оев сопчегВепее (Ь) и е [и] ав Ь е О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
