Godunov S.K., Ryabenkii V.S. Difference schemes. An introduction to the underlying theory (811440), страница 14
Текст из файла (страница 14)
ТЬе арргоасЬ ие Ьече 1пдссагед, Ьу чЬЕсЬ Со севе СЬе сопчегВепсе оЕ (12), сопв1всв 1п сЬас опе вр11гв СЫв ВЕЕЕ1си1С ргоЫеш 1псо Счо иЬЕеЬ аге в1шр1еги Е1гве, Севе чЬеСЬег ргоЫее (1) 1в арргох1шаеед Ьу (11), апд сЬеп дегегш1пе иЬесЬег ргоЫеш (11) 1в всаЫе. Вис Ьеге 1в, 1п Еасс, ап 1пд1пас1оп ав Со Ьои опе ш1ВЬС сопвггиег а сопчегхепс д1ЕЕегепее всЬеше Еог сЬе во1ис1оп оЕ ргоЫеш (1)с опе шиве еопвсгиес ап арргах1шас1пВ д1ЕЕегепее веЬеше; Егош ешопВ СЬе папу ровв1Ые шеСЬодв оЕ арргох1шас1оп опе вивЕ еЬоове опе висЬ сЬас СЬе д1ЕЕегепсе всЬеше сигпв оиг со Ье всаЫе.
Сопчегяеппе оЕ а 01ЕЕегепсе ЯсЬеше ТЬе аЬоче яепега1 р1ап Еог сЬе всиду оЕ сопчегяепсе, пагига11у, аввишев СЬе 1псгойиес1оп оЕ г1яогоив сапсерсв оЕ арргох1шас1оп впд веаЫ11су, висЬ сЬаг опе сап ргоче а сЬеогшс всвс1пя сЬас, Егош арргох1еис1оп апд веаЫ11су, Ео11оив сопчегяепсе. ТЬе вЬоче де(1п1с1опв оЕ врргох1пиС1оп апЬ всаЫ11Су вге пог г1яогоив. То де(1пе аоргох1шас1оп опе шивС Е1гвс всасе шоге ргес1ве1у иЬас 1в сЬе гев?Оиа1, ЯЕ, 1п сЬе яепега1 (Ь саве, апд иЬас 1в шеапс Ьу 1гв швяп1сиде; апй со де(1пе всаЫ11су опе шиве я1че а ргео1ве шеап1пВ Со сЬе вввегс1оп сЬаС "со а вша11 регсигЬас1оп оЕ СЬе г1ВЬс-Ьапд вЕЯе соггевропе?в а вша11 регеигЬвс1оп оЕ СЬе во1ис1оп оЕ СЬе (Ь) (Ь)" д1ЕЕегепсе ргоЫеш Ь и Е Ь ЯСг1оС де?1п1С1опв оЕ арргох1виг1оп ап4 вгаЫ11гу и111 Ье СЬе рг1пс1р1е сор1св оЕ 511 апй Ч12, гевресс1че1у.
РВОВ? В ИЯ 1. 01н?Яе СЬе 1пгегча1 (О,Ц 1псо М раггв, верагагед Ьу СЬе ро1псв х О, х , х2. .. х , х 1, 1п висЬ а иау СЬас х — х х — х Ч п п-1 апс? Весегш1пе иЬесЬег 1с Ев ровв1Ые со иве в веЧиепсе оЕ виеЬ пега и1сЬ М е (нЬеге Ч 1в а сопвсапг пос йерепд1пВ оп М) Еог сЬе врргох1шасе во1ис1оп оЕ сЬе ргоъ1еш й -и=О~ и(0) = 1 и1СЬ СЬе а16 оЕ сЬе д1ЕЕегепсе воЬеше ( ) -" (".) (Ь) (Ь) (Ь) — и (х]=0 х — х п п+1 п Роев сЬе шах1шиш оЕ сЬе веер-в1сев х — х сепс? са сего ав М е ? п+1 п Н1пс.
1с 1в в1шр1евс со сопв14ег сЬе саве Ч ) 1, впд Со сопн1пое опеве1Е СЬаг 11ш и (х„) (1/й) СЬарсег 5 Сопчегдепсе, Арргах1шаг1оп апд ЯгаЫ11гу 54 $11. Арргохсшаг1оп оЕ а 61ЕЕегапг1а1 Ьоипйагу ча1ие ргоЫеш Ьу а 61ЕЕегапсе всЬеше 1. гЬе гев1йиа1 6Е . Уе поч 61че а ргес1ве шеап1па са сЬе сопсерг (Ь) оЕ арргох1шассоп оЕ Ьоипдагу ча1ие ргоЫеш (1) х10 Ьи = Е, оп сЬе ео1ис1оп и, Ьу 61ЕЕегепсе всЬеше (11) 510 (Я (Ь) (2) Рог сМв ригрове опе ешвс всасе ваге ргес1ве1у чЬас 1в шеапс Ьу СЬе гев16иа1 6Е (Ь) Ь [и] =Е +61 Ь Ь 6 Аи д 2 — + а(х) — + Ь(х)» сов х, с[х дх 0< х< 1, (4) и(0) 1, й (0) 2. Ав оиг пес О че саКе, ав ЬеЕоге, СЬе вес оЕ ро1псв х = иЬ, п О, 1, Ь п М; Ь 1/Н. Ав а 61ЕЕегеисе всЬеше Еог сЬе арргох1аасе сошрисас1оп оЕ [и) Ь че иве сЬе есиас1оп-вес и -2и +» и -и п+1 п п-1 г 1 и+1 п-1 с +а(х) +ЬСх)и Ьг п 2Ь и п — совх,и=1,2,...,М-1 п' (5) и 1, 0 и — иО = 2, Ь оЬСа1пе6 Ьу виЬвс1сис1па, Еог сЬе пегсчас1чев 1п (4), СЬе врргох1швс1опв чЫсЬ (агав иЬеп СЬе пес Еипсс1ап [и[, ссе саЫе оЕ ча1иев оЕ СЬе геаи1гей Ь' во1ис1оп и, 1в виЬвс1сисе6 1псо 14.
(2); ап6 опе шиве пасе а ргес1ве есасешепс ав со 1св шедп1си6е. Сопчеггепсе оЕ сЬе шагп1си6е оЕ 6Е Со вега, ав Ь е О, че СЬеп сесе (Ь) ав сЬе Ае(1псссоп оЕ арргох1шаг1оп. С(е всагС ч1сЬ СЬе сопв16егаг1ап оЕ ап ехвшр1е оЕ а 61ЕЕегепсе всЬеше Еог СЬе пишег1са1 во1иг1оп оЕ сЬе 61ЕЕегепг1в1 Ьоии6агу-ча1ие ргоЫеш 411 Арргох1шаг1оп оЕ а 01ЕЕегепсе ВсЬеше «(х + Ь) — 2«(х) + и(х-Ь) ахеи(х) Ь2 Нхг «(х + Ь) — и(х — Ь) 6«(х) 2Ь дх (6) и(Ь) — «(0) д«(0) Ь бх ТЬе 61ЕЕегепсе всЬеше (5) гасов СЬе Еогш (2) 1Е опе де(1«ев п+1 п 2« и — + и и — и + а(«Ь) — Ь + Ь(пЬ)и п Ь2 (Ь) ЬЬ« 0 1 0 Ь (7) с ов «Ь, (Ь) То со«риге апд Ьоипд СЬе шад«11«де оЕ сЬе гевсбиа1, бЕ , «ЬЕсЬ (Ь) вгсвев ебеи ]и] 1в вибвс1сисеб 1«со (2), «е геЕ1ие Ецв.
(6). Ь Ву Тау1аг'в Еога«1а ие Ьаие Ь2 Ь3 и(х + Ь) и(х) + Ьй(х) + 2 и (х) + ( и "141), ]2 ]3 и(х — Ь) «(х) — Ьи (х) + — «(х) — — и "(4 2 6 2 Ь2 ]3 ]4 (4) «(х+Ь) =и(х) ЬЬи (х) +2 и (х) +6 и (х)+24 « (45), Ьг Ьз ЬЧ <4) и(х — Ь) «(х) - Ьй (х) + — « (х) — — и (х) + — и (4 ), 2 6 24 4 ]2 и(х + Ь) и(х) + Ь«(х) + — и" (4 2 5 неге 4, (, 4, 4 апд 4 аге сегс«1п ро1псв 1п сЬе 1псегеа1 ]х-Ь, х+Ь].
Не«се СЬареег 5 Сопчегдепее, Арргох1иаС1«п апд ЯгаЬ111Су Ь2 2 = и (х) + †,2 (и 141] + и (12]], и(х + Ь) — 2«(х) + и(х — Ь) ., Ь г (4), , (4), Ь 24 ( ( 3) ( 4) — — — '(«г "«,). н(х + Ь) — и(х), Ь 2. Соврисас1оп оЕ сЬе гев10«а1. )Ее и111 аввиае ссвс сЬе во1«С1ап, «(х), оЕ ргоЫеа (4) Ьав Ьоипдед с)ег1«ас1«ев ир сЬго«АЬ сЬе ЕоигсЬ. Ву «1геие оЕ (8) опе сап иг1Се и(х + Ь) — 2«(х) + и(х — Ь) и(х + Ь) — н(х — Ь) Ф а(х) 2Ь + Ьг а ь(х)и(х) — + а(х) — + Ых)и(х) + д н(х) с)н(х) с) хс дк н " (12] + н (14] н "(61] + и"-(12) + Ь + а(х) ТЬегеЕоге СЬе ахргевв1оп ЬЬ(н)Ь- и(х + Ь) — 2«(к ) + и(х — Ь) п п п н(х + Ь) — и(х — Ь) +а(х) +Ь(х]и(х), п=1, 2, ° ° °, Я1, н(0), и(Ь) — и(0) сап Ье гечг1ссеп сЬивс Арргох1паг1оп оЕ а 01ЕЕегеппе впЬеие 97 3~ ~ 4] сов х +Ь2 ' + п «(С1) + и (62) ] п 1 [и] 1+0, и (4] г+Ь ог 1.
[и] = Е +6Е Ь Ь иЬеге 3] " М " с" ] И ]~ 2 12 [ 24 О, й [43] 2 (9) 61(Ь) 1с 1в сопнеп1епг Со гехаг6 Е апд бЕ , 01чеп Ьу 09в. (7) ап6 (9), (Ь) (Ь) вв Ье1оп01п0 со а 11певг погше6 ерасе Р , иЬ1сЬ сопв1всв оЕ е1епепсв оЕ СЬе Ь' 1 о оп Ф (п 1, 2, ° ° °, 0-1), и (Ь) 6 (10) (О' 1.е. гасе ав а лога СЬе аах1аии аЬво1исе чв1ие оЕ а11 поаропепгв оЕ СЬе чеееог 0 СЬеп, Ьу ч1гсие оЕ (9), ие Оес (Ь) иЬеге ф, ф, °... ф, ап6 в1во ф ап6 ф аге вгЬЕСгагу огдегед веев оЕ 1' 2' ' и 1(Ь) О 1 пиаьегв; опе сап св]се 0 со Ье сье сосв11су оЕ пес Еипсс1опв ф , п = 1, п' 2, ..., 0-1, а1оп0 и1СЬ сЬе огдегей ра1гв оЕ пипЬеге ф ап6 ф . ТЬе виаеас1оп оЕ сио е1еиепсв оЕ сЬе врасе Р, ап6 сЬе ии1с1р11сас1оп оЕ сЬе (Ь) е1еаепсв оЕ 0 Ьу а соавоп Еаосог, аге еагг1е6 оиг Сего Ьу сеси.
01еаг1у 1п сЬе ехапр1е ипдег сопв1дегас1оп Р 1в ап (9+1)-61иепв1опа1 11пеаг Ь арапе. ТЬе поги оЕ РЬ сап Ье 1пггофиеед 1п папу ивув. 1Е ие 1псгойисе а попп 1п Р ч1а СЬе ециаг1оп Ь СЬарсег 5 Сопчегсепсе, Арргох1шаг1оп апд ВгаЫ11су 96 ) )61(Ь) ~ ~ < СЬ, чЬеге С 1в вове сопвсапс дерепд1пВ оп и(х), Ьиг пог оп Ь. Рсоа сЫв еоиассоп 1с Ео11оив СЬас Е сенди со сего ав Ь е О. (Ь) 1п сЬе есиассоп Ь и Е нЫсЬ не Ьвче Сасеп ав ап ехаар1е, (апд (Ь) (Ь) Ь нЫсЬ 1в иг1ссеп оис 1п деса11 1п Всв. (5)) ЬЬ пап Ье гевагдед вв вп (Ь) орегасог ° ТЫв орегагог аарв еаоЬ пес Енпсс1оп ч ч, п О, 1, п Я, 1п сЬе 11пеаг арапе оЕ Еипсс1опв деЕ1пед оп сЬе пес О, 1пго ап е1еаепс В оЕ Еогв (10), а1во 1и сЬе 11певг враге Р, ч1а сЬе епиас1оп (Ь) ч — 2ч +ч ч — ч +в[х) +Ь[х]ч 2 п 2Ь п п Ь (Ь) 1Ьч в ч о 1 О А1во 1п СЬе дапвга] д1ЕЕегеппе Ьоипдагу-ча1не ргоЫеа (2) че н111 адорс сЬе сопчепс1оп СЬас сЬе г1ВЬС-Ьапд в1дев оЕ сЬеве воа1аг еснас1опв„иЫоЬ не Ьаче чг1ссеп оо11есс1че1у 1п сЬе вуаЬо11с Еогв (Ь) (Ь) Ь аге ооаропепсв оЕ а чессог Е 1п вове 11пеаг погаед арапе Р .
ТЬеп ие (Ы (Ь) Ь' еап гевагд 1 ав ап орегасог аарр1пВ еаеЬ пеС Еипос1оп, и 1п О , 1псо вове е1евепс Е оЕ РЬ. 1п СЫв саве СЬе вуаЬо1 1 [и] 1в теап1пВЕн1, апд (Ь) гергевепсв СЬе геви1с оЕ сЬе орегас1оп 1 оп СЬе пес Еипсс1оп [и] оЕ П ап орегас1оп у1е1дЕпр ап е1евепс оЕ СЬе враге Р ТЬе гев1диа1 6Е 1 [и„~ — Е Ье1опрв Со СЬе вРасе Р, Ье1пВ СЬе (Ь) (Ь) 61ЕЕегепсе оЕ Сио е1еиепсв оЕ СЫв враге ° Ву СЬе "аввп1гнде оЕ СЬе гев1див1" 1в аванс [ [6Е (Ь) 3. АрргохЕааг1оп оЕ огдег Ь Ь ОеЕ1п1с1оп. Яе и111 вау сЬвс сЬе 61ЕЕегепсе всЬепе 1 и(Ь) Е (Ь) Ь арргохйлаСве сЬе ргоЫеа Ьи = Е оп СЬе во1иг1оп и 1Е ! [6Е ~ ! е О вв (Ь) Р Ь е О.
1Е, вогеочвг, СЬе 1песиа11су Ь [[6Е [[ < оЬ 1в ввс1в(1ед, иЬеге с > О апд Ь > О аге сопвгвпгв, сЬеп не н111 вау сЬаг ЕЬв арргохъпоссоп дв оу огг[вг Ф, ог огдвг В н(СЬ гвврва* Со ЕЬв надпьрнйв оу' Ь. Арргох1«ас1«п оЕ в 01ЕЕегепее В«Ьеае ТЬе Евсс сьвс «1в в во1иС1ап оЕ ргоЫеа (1) 01нев 1«Е«гаас1«п «Ь««с сЬе Е«п«С1«п «, 1пЕ«гааг1оп «Ысь опе пап «ве Еог сЬе сопвСгиосдоп оЕ вувгеа (2), впд «1во со чег1Еу арргох1«вс1«п. рог СЫв геавоп Еп сЬе деЕ1п1С1оп оЕ арргох1«аС1оп ее г«Еег Со ргоЫеа (1). (Ее всгевв, Ьоиечег, СЬас сЬе вЬ«че де(1п1с1оп «Е арргох1«вг1оп оЕ сЬе Ьпгоыеа Ь» = Е оп сЬе во1«С1оп и, Ьу СЬе д1ЕЕегепсе ец«ас1«п ЬЬ« = Е, доев поС ге1у оп Сье (Ь) ея«аг1«п, Ьи Е, «ЫоЬ дегега1пев СЬе Е«псг1оп и. Опе «1ВЬЕ Ьвче в«1д «1«р1у сЬ«с сЬе веЬеае 1 и Е вргеев Со огдег Ь «1СЬ Еип«11оп и, (Ь) (Ы ««Ь1па по аепс1оп аЕ сЬе ог101п оЕ сЫв Е«ппс1оп.
1п рагг1п«1вг 1Е СЬе Еип«21оп и 1в, в11ви1сапео«в1у, сЬе в«1ис1оп оЕ сао поар1есе1у дЕЕЕегепс ргоЫеав, Ь' )« = Е' ' апд Ь( )и Е' ', оЕ Еога (1), сЬеп опе апд СЬе вахе д1ЕЕегепсе воьеае, 1 и Е в1«и1гапеои«1у е1СЬег доев ог доев пос (Ь) (Ь) арргох1«аге еа«Ь оЕ сЬеве ргоЬ1еав оп сЬе1г соввеоп во1ис1оп и. 4* Вхаар1«в. Вхаар1е 1. 01ЕЕегепее всЬеае (5), 1« ч1еи оЕ Ьо«пд (11)„ арргох1«асев (Я) со Е1гвс огдег 1п Ь. 5«Ьеае (5) пап еав11у Ье геЕ1пед, Ьочечег, во сЬвг СЬе арргох1«ас1оп Ьесоаев огдег Ь . То ассоар11вЬ сЫв «е поте сьас 2 а11 соаропепев оЕ 61 ехсерс СЬе 1аас сепд со вего 11ье Ь (впд Сье пехс (Ь) со 1авс 1« асс««11у ехвсс1у ец««1 со гего). Оп1у сЬе 1«вс соаропепг оЕ СЬе чеесог 6Е (1.е., СЬе гев1ди«1 (Ь) аг1в1«В Его« сЬе в«Ь«С1с«с1оп оЕ [и) Епго сЬе 1авс еаиаИоп, Ь (« — « ~/Ь 2, оЕ вувсеа (5)) Сепдв со гего аоге в1о«1у апд 1в, 1« Еаег, 1 0 Е1гвс огдег 1« Ь.
ТЫв аппоу1по п1гс«иве«псе 1в еа«11у е11«1пагед. Ву Тау1ог'в Еогаи1а «(ь) — «(о) . ь .. ь2 Ь 2 «(0) + — и (0) +.~ — «" (() Ь Л2 — 2 + — и (0) е — и (Е), 0 < 4 ( Ь. 2 6 В«с Его« д1ЕЕегепс1«1 е5«ас1«п (4) «е ЕЕ«д сьвс «''(0) -в(0)«(0) — Ь(0)«(0) + сов 0 -2«(0) — Ь(0) + 1. ТЬегеЕоге, гер1во1па сье 1авг еа«вс1«п оЕ (5) Ьу СЬе е5«вс1«п «1 «О 2 - — (2«(0) + Ь(0) — 11, Ь 2 (12) «е Вес Еог Е, 1п р1асе оЕ (7), сЬе ехргевв1оп (Ь) сов х п Е 2 — — [2«(0) + Ь(0) — 11. Ь 2 1с сЬеп сигпв оис сЬвс Сопнегрепсе, Арргох1ваг1ап а»4 БгвЫ11Су СЬаргег 5 Ьс с(3) с~4) !2( г О, Ьс — »' (4) б » (х) + а(х)» (х) + Ь(х)»(х)) сов х) х О х=0' »Ь1сЬ 1в а сапвер»епсе оЕ сЬе 611(егепс1в! ер»вс1»п.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
