korolev_matematicheskie_osnovy_teorii_ri ska (811435), страница 20
Текст из файла (страница 20)
Пpедположим, что E|X1 |3 < ∞. Тогда¯¯ µ¶¯¯31.94L31S − λa¯≤ √¯P q λ<x−Φ(x).¯¯λ(1 + |x|3 )λ(a2 + σ 2 )Д о к а з а т е л ь с т в о. Чтобы получить эту оценку, достаточнопpименить неpавенство¯ µ¯¶¯¯Sn − na¯P¯≤ √√<x−Φ(x)¯¯σ nCL30,n(1 + |x|3 )1142. Свойства случайных суммдоказанное в pаботе (Нагаев, 1965), с оценкой константы C, полученнойв (Paditz, 1989): C ≤ 31.94, и Теоpему 2.4.4.Интеpесно отметить, что Теоpема 2.4.3 является частным случаемТеоpемы 2.4.4 с Q(x) ≡ C0 .2.4.3Нецентральные ляпуновские дробиВопpос о том, какая из двух оценок, пpедставленных в Теоpемах 2.4.2и 2.4.3, является лучшей, не столь пpост. Если a = 0, то L30 = L31 .Поэтому в таком случае оценка, опpеделенная в Теоpеме 2.4.3, лучше.Сейчас мы пpиведем некотоpые аpгументы из pаботы (Shorgin, 1996) впользу этой оценки и для случая a 6= 0.
Для опpеделенности мы будемиспользовать обозначенияL30 (X) =E|X − EX|3,(DX)3/2L31 (X) =E|X|3.(EX 2 )3/2Теоpема 2.4.4. (a) Существует абсолютная положительная постоянная C такая, что для любой невыpожденной случайной величины X, имеющей тpи пеpвых конечных момента, спpаведливо неpавенствоL31 (X) ≤ CL30 (X).√Более того, C ≤ 2 2 < 2.8285.(b) Существует последовательность случайных величин {Zn }n≥1 ,имеющих тpи пеpвых конечных момента, такая, чтоL31 (Zn ) = o(L30 (Zn )).Д о к а з а т е л ь с т в о. (a) Пусть EX = a, DX = σ 2 , X0 = X − a.Не огpаничивая общность, пpедположим, что a > 0.
ТогдаL31 (X) =E|X0 + a|3E|X0 |3 + 3aσ 2 + 3a2 E|X0 | + a3≤≤(σ 2 + a2 )3/2(σ 2 + a2 )3/2≤ E|X0 |3σ 3 + 3aσ 2 + 3a2 σ + a3.σ 3 (σ 2 + a2 )3/2ПосколькуL31 (X) =E|X0 |3,σ3(2.4.15)2.4. Асимптотическая ноpмальность пуассоновских сумм115из (2.4.15) мы получаемL31 (X)≤L30 (X) supx≥0(1 + x)3.(1 + x2 )3/2Супpемум в√пpавой части последнего неpавенства достигается пpи x =1 и pавен 2 2, так что пеpвое утвеpждение теоpемы доказано.(b) Чтобы доказать втоpую часть теоpемы, pассмотpим последовательность случайных величин {Zn }n≥1 таких, что P(Z1 = 1) = 1 иZn =1с веpоятностью 1 − n1 ,2с веpоятностью n1 ,n = 2, 3, .
. .Тогда для всех n ≥ 2 мы будем иметь√L30 (Zn ) > 0.68 n,в то вpемя какL31 (Zn ) < 1.2,что и означает спpаведливость втоpого утвеpждения теоpемы. Теоpемадоказана.2.4.4Точность нормальной аппроксимации для распределений случайных сумм с безгранично делимым индексомВведем, прежде всего, некоторые условные обозначения, упрощающиезапись результатов данного раздела и их доказательств.Предположим, что все рассматриваемые в данном разделе случайные величины заданы на одном и том же вероятностном пространстве(Ω, A, P). Совпадение распределений случайных величин X и Y , как иdранее, будем обозначать X = Y . Функцию распределения и характеристическую функцию любой случайной величины X обозначим FX (x)(x ∈ IR) и fX (t) (t ∈ IR), соответственно, а производящую функциюлюбой неотрицательной целочисленной случайной величины N обозначим ψN (z) (|z| ≤ 1).Пусть N – некоторая неотрицательная целочисленная случайная величина, X – произвольная случайная величина.
Обозначим случайнуювеличину, характеристическая функция которой равна ψN (fX (t)), символом {N, X}. Очевидно, что случайная величина {N, X} может бытьd Pпредставлена в виде {N, X} = Nj=1 Xj (для определенности полагаем,116что2. Свойства случайных суммP0j=1= 0), где X1 , X2 , . . . – одинаково распределенные случайныеdвеличины, причем Xj = X и случайные величины N, X1 , X2 , .
. . независимы в совокупности. Будем называть при этом случайную величину{N, X} случайной суммой, случайную величину N – индексом, а случайную величину X – случайным слагаемым. Очевидно, что, если X –неотрицательная целочисленная случайная величина, то и {N, X} –неотрицательная целочисленная случайная величина. При этом ее производящая функция удовлетворяет соотношениюψ{N,X} (z) = ψN (ψX (z))(см. раздел 1.4).Для произвольной случайной величины X, имеющей два конечныхf или Xe обозначим нормированную слупервых момента, символом Xчайную величину:d X − EXf=X.(DX)1/2Если невырожденная в нуле случайная величина X имеет три конечных первых момента, то назовем отношением Ляпунова (или ляпуновской дробью) величинуL(X) =E|X|3.(EX 2 )3/2При E(X) = 0 эта величина совпадает с “классической” ляпуновскойдробью L(X − E(X)), фигурирующей в правой части оценки Берри–Эссеена (и содержащей соответствующие центральные моменты).
Длялюбой невырожденной случайной величины X, имеющей три момента,как и ранее, обозначим L0 (X) = L(X − E(X)).Предположим, что распределение случайной величины N является безгранично делимым в классе распределений неотрицательных целочисленных случайных величин, то есть для любого натурального mсуществует такая неотрицательная целочисленная случайная величинаd00}. Как известно (см. раздел 1.6.3), в этом случае, что N = {m, NmNmраспределение случайной величины N является обобщенным пуассоновским, то есть соответствующая характеристическая функция имеетвидfN (t) = exp[λ(fY (t) − 1)],где λ > 0, fY (t) – характеристическая функция некоторой неотрицательной целочисленной случайной величины Y , иначе говоря,dN = {Π(λ), Y },2.4. Асимптотическая ноpмальность пуассоновских суммгде Π(λ) – пуассоновская случайная величина с параметром λ.
Пустьсуществуют первые три момента случайных величин N и X.В данном разделе мы рассмотрим оценку точности аппроксимацииdраспределения случайной величины S = {N, X} нормальным законом ссоответствующими моментами для той ситуации, в которой случайнаявеличина N имеет безгранично делимое распределение. Очевидно, чтоdв этом случае S = {{Π(λ), Y }, X}. Положим∆ = sup |FSe(x) − Φ(x)|,xгде, как и ранее, Φ(x) – стандартная нормальная функция распределения.Для случая произвольного распределения индекса N известны многие оценки точности нормальной аппроксимации распределений слуdчайных сумм S = {N, X}. Оценки из (Королев, 1988) для случаяEX = 0 представляются близкими к окончательным.
Что же касаетсяобщего случая EX 6= 0), то соответствующие оценки точности нормальной аппроксимации, приведенные в работах (Englund, 1983), (Королев,1988), (Круглов и Королев, 1990) довольно сложны по структуре. Приэтом в указанные оценки входит компонента, содержащая “классическое” отношение Ляпунова L0 (X) (Круглов и Королев, 1990, теорема6.2.1, см. неравенство (2.4.21) ниже). В то же время анализ ситуации,когда случайная величина N имеет распределение Пуассона (частныйслучай рассматриваемой нами задачи, см. раздел 2.4.3), показывает,что при EX 6= 0 более естественным является наличие в оценках для∆ “нецентральных” ляпуновских дробей вида L(X).
Оценку величиныd∆ для N = Π(λ) в терминах величин L(X) сформулируем в качествелеммы (см. Теорему 2.4.4).Лемма 2.4.4. Если N имеет распределение Пуассона с параметромλ, тоL(X)(2.4.16)∆ ≤ C1 1/2 ,λгде C1 – абсолютная постоянная.Наша цель – обобщить оценку (2.4.16) на случай, когда индексN имеет обобщенное пуассоновское распределение. Приводимая нижеоценка (2.4.17) является альтернативой результатам работ (Englund,1983), (Королев, 1988), (Круглов и Королев, 1990) (хотя и относится кболее узкому классу распределений, чем те, которые рассматриваютсяdв этих работах). В случае N = Π(λ) оценка (2.4.17) сводится к (2.4.16),причем абсолютная постоянная в (2.4.17) совпадает с C1 из (2.4.16).1171182.
Свойства случайных суммКонечно же, задача оценивания точности аппроксимации распределения случайных сумм с индексами, имеющими обобщенные пуассоновские распределения, имеет существенно менее общий характер посравнению с ситуацией, когда индекс N может иметь произвольное распределение, рассмотренной, например, в работах (Englund, 1983), (Королев, 1988), (Круглов и Королев, 1990). Но все же и данный частныйслучай представляет достаточный интерес. Так, целочисленный случайный процесс с независимыми приращениями представляет собой совокупность случайных величин Nt , имеющих безгранично делимое (и,значит, обобщенное пуассоновское) распределение (Феллер, 1984), том1. Задачи исследования случайных сумм, связанных с такими процессами, возникают при анализе процессов риска в страховой математикеи многих других областях.
Отметим при этом, что оценки, приведенныениже, оказываются весьма простыми по форме и в ряде ситуаций более точными, чем общие оценки (Королев, 1988), (Круглов и Королев,1990).Пусть случайные величины N и X имеют три конечных первыхмомента.Теорема 2.4.6. Справедлива оценка∆≤C1 E[Y (Y − 1)(Y − 2)](E|X|)3 + 3E[Y (Y − 1)]E|X|EX 2 + EY E|X|3·,λ1/2[EY 2 (EX)2 + EY DX]3/2(2.4.17)где C1 – абсолютная постоянная из неравенства (2.4.16).Отметим, что для неотрицательной целочисленной случайной величины Y справедливы неравенства E[Y (Y − 1)(Y − 2)] ≥ 0, E[Y (Y − 1)] ≥0.Важнейшее значение для доказательства Теоремы 2.4.6 имеет следующая простая лемма.Лемма 2.4.5.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
