korolev_matematicheskie_osnovy_teorii_ri ska (811435), страница 23
Текст из файла (страница 23)
Согласно лемме 2.4.7, для любогонатурального n справедливо представлениеnSλ − λm d Yν,1 + . . . + Yν,n − nmν1 Xe√√=Sλ =≡ √Zν,k ,m2 nνm2 λn k=1в котором случайные величиныZν,k ≡Yν,k − mνYν,k − EYν,k√= qm2 νDYν,kнезависимы, одинаково распределены и имеют нулевое математическоеожидание и единичную дисперсию, причем в силу той же леммы привсех n ≥ λ имеет место соотношениеE|Zν,1 |2+δ = Λ2+δ0 (Yν,1 ) =≤E|Yν,1 − EYν,1 |2+δ≤(DYν,1 )(2+δ)/2Λ2+δβ2+δ (1 + 40ν)1 (X1 )=(1+40ν)·.2+δ δ/2ν δ/2m2 ν(2.4.31)Неравенство Берри–Эссеена для пуассоновских случайныхсумм слагаемых с моментами порядка 2 + δ.В этом разделе мы докажем аналог неравенства Берри–Эссеена дляпуассоновских случайных сумм, в которых слагаемые X1 , X2 , .
. . удовлетворяют условиям (2.4.27) и (2.4.28). Прежде всего заметим, что,используя тот же метод, которым была доказана Теорема 2.4.3, мыможем легко получить следующее утверждение1311322. Свойства случайных суммТеорема 2.4.8. Пусть выполнены условия (2.4.27) и (2.4.28) с 0 <δ ≤ 1. Тогдаρ(Fλ , Φ) ≤ Cδ · L2+δλ ,где Cδ – абсолютная положительная константа из неравенстваБерри–Эссеена для неслучайных сумм. При этом для Cδ имеют местооценкиδ = Cδ ≤0.1 1.1020.6 0.863δ = Cδ ≤0.2 1.0760.7 0.833δ=0.30.8Cδ ≤1.0080.812δ = Cδ ≤0.4 0.9500.9 0.802δ = Cδ ≤0.5 0.9021.0 0.706Д о к а з а т е л ь с т в о.
В силу представления (2.4.30) и неравенства Берри–Эссеена для неслучайных сумм (1.6.3) при каждом n ≥ 1справедлива оценкаρ(Fλ , Φ) ≤CδE|Zν,1 |2+δ ,nδ/2из которой с использованием неравенства (2.4.31) мы получаемρ(Fλ , Φ) ≤Cδ 2+δ ³ n ´δ/2 ³40λ ´Λ1+,nδ/2 1λnоткуда вследствие произвольности n вытекает требуемый результат.Приведенная в формулировке теоремы таблица оценок констант Cδ отличается от полученной в работе (Tysiak, 1983) и приведенной такжев работе (Paditz, 1996) только значением, соответствующим δ = 1.0,подробности см.
в разделах 1.6.2 и 1.6.3. Теорема доказана.Уточнение неравенства Берри–Эссеена для пуассоновскихслучайных суммВ данном разделе мы покажем, что на самом деле, неравенство, устанавливаемое Теоремой 2.4.8, по крайней мере для δ ∈ (0, 1) являетсяслишком грубым и может быть существенно уточнено. Более того, мыуточним и неравенство Берри–Эссеена при δ = 1 для гладких распределений слагаемых.Теорема 2.4.9. Пусть выполнены условия (2.4.47) и (2.4.48) длянекоторого 0 < δ < 1. Тогда для всех λ > 0 справедлива оценкаρ(Fλ , Φ) ≤ C(δ) · L2+δλ ,гдеC(δ) =)21−δ/2 Γ( 2+δ2π(1 + δ)(2 + δ)2.4. Асимптотическая ноpмальность пуассоновских сумм133Доказательство этой теоремы основано на оценке скорости сходимости в центральной предельной теореме для сумм случайных величин снеслучайным числом слагаемых, приведенной в разделе 1.6.3 (см.
Теорему 1.6.2). Для удобства ссылок мы сформулируем соответствующееутверждение еще раз.√Пусть d – некоторое число, лежащее в интервале (0, 2). Введемфункции∞d2−δ X1a(δ, d) =4 r=2 rÃd22b(δ, d) =!r−2 +21−δ,(1 + δ)(2 + δ)1− dδ/2 a(δ, d).2(2.4.32)(2.4.33)Несложно видеть, что∞X1r=2rÃd22!r−2∞1 X1= +2 j=1 j + 2Ãd22!jÃ∞1 1Xd2≤ +2 3 j=1 2!j=1d2+,2 3(2 − d2 )так что21−δlim a(δ, d) =,d→0+(1 + δ)(2 + δ)1lim b(δ, d) = .2d→0+(2.4.34)Более того,√можно убедиться, что функция√ b(δ, d) монотонно убываетпри d ∈ (0, 2), причем на интервале (0, 2) лежит единственный нульэтой функции, который мы обозначим d(δ). ПустьK(δ, d) =)Γ( 2+δa(δ, d)2·.2π[b(δ, d)]1+δ/2(2.4.35)Учитывая соотношения (2.4.34), легко видеть, что на интервале (0, d(δ))функция K(δ, d) монотонно и непрерывно возрастает, причемlim K(δ, d) = limd→0+d→0+Γ( 2+δ)a(δ, d)22π [b(δ, d)]1+δ/221−δ/2 Γ( 2+δ)2=≡ C(δ),π(1 + δ)(2 + δ)lim K(δ, d) = +∞.d→d(δ)−Поэтому для любого 0 < ε < +∞ существует единственный кореньd(δ, ε) уравненияK(δ, d) = C(δ) + ε,(2.4.36)лежащий в интервале (0, d(δ)).
При этом d(δ, ε) как функция ε монотонно и непрерывно возрастает от 0 до d(δ) при ε, изменяющемся от 0до +∞.1342. Свойства случайных суммeОбозначим d(δ)= min{d(δ), (β2+δ )−2(1−δ)/2 },ÃX1 + . . . + Xn − nm√Fn (x) = P<xσ n!Лемма 2.4.8. Пусть выполнены условия (2.4.27) и (2.4.28) длянекоторого 0 < δ ≤ 1. Предположим, что m = 0 и σ 2 = 1. Тогдадля любого n ≥ 1 справедлива оценкаρ(Fn , Φ) ≡ sup |Fn (x) − Φ(x)| ≤ Cn (δ) ·xгде½Cn (δ) =infγ0 <γ<∞0<d<de(δ)β2+δ,nδ/2·γα(γ)1K(δ, d) + √2α(γ) − 12πdn(1−δ)/2¸¾,Ã!2!γ/2Ã22 Z sin ydy =α(γ) =(γSi(γ) + cos γ − 1) ,πyπγ0а γ0 – решение уравнения α(γ) = 1/2 (можно вычислить, что γ0 ≈1.69958).
Функция K(δ, d) определена в (2.4.35).Д о к а з а т е л ь с т в о леммы см. в разделе 1.6.3.Д о к а з а т е л ь с т в о Теоремы 2.4.9. Представим распределениестандартизованной пуассоновской суммы, согласно следствию 2.4.1, ввиде нормированной суммы независимых одинаково распределённыхслучайных величин Zν,k , k = 1, n, каково бы ни было натуральное числоn ≥ λ (напомним, что ν = λ/n):n1 XdSeλ = √Zν,k ,n k=1E|Zν,1 |2+δ≤ (1 +EZν,k = 0,40ν)Λ2+δ1 (X1 )DZν,k = 1,µ ¶δ/2nλОтсюда вытекает, чтоρ(Fλ , Φ) ≤ inf ρ(Fn , Φ),n≥λгд嵶n1 XFn (x) = P √Zν,k < x .n k=1.2.4. Асимптотическая ноpмальность пуассоновских суммДля случайных величин Zν,k , k = 1, .
. . , n выполнены все условия Леммы 2.4.8, поэтому для правой части последнего соотношения справедливо неравенствоinf ρ(Fn , Φ) ≤ inf Cn (δ) ·n≥λn≥λE|Zν,1 |2+δ≤nδ/2Λ2+δ1 (X1 )(1 + 40λ/n)≤n→∞λδ/2½·¸¾1γα(γ)√≤ L2+δK(δ,d)+·inflim.λγ0 <γ<∞ n→∞ 2α(γ) − 12πdn(1−δ)/2≤ lim Cn (δ) ·0<d<de(δ)Поскольку δ < 1, второе слагаемое под знаком предела в последнемсоотношении стремится к нулю при n → ∞, а значитρ(Fλ , Φ) ≤ L2+δ·λ= L2+δ· γ→∞limλd→0infγ0 <γ<∞0<d<de(δ)K(δ, d)=2α(γ) − 1K(δ, d)= C(δ) · L2+δλ ,2α(γ) − 1что и требовалось доказать. Теорема доказана.Заметим, что оценка, устанавливаемая Теоремой 2.4.9, “лучше”, чеманалогичные (при m = 0 и σ 2 = 1) оценки для сумм случайных величин с неслучайным числом слагаемых, приведенные в разделе 1.6.3 какдля общей, так и для “гладкой” ситуации.
Действительно, коэффициентCn (δ) при ляпуновской дроби порядка 2 + δ при всех δ ∈ (0, 1) строгобольше, чем коэффициент C(δ) при L2+δλ . В “гладком” случае (когдаслагаемые имеют ограниченную плотность) оценка в классической ситуации имеет вид суммы двух слагаемых, одно из которых медленнеевсего убывает по n и представляет собой произведение ляпуновскойдроби порядка 2 + δ на сумму C(δ) и сколь угодно малой положительной “добавки” ε, а второе убывает экспоненциально быстро с ростомчисла слагаемых, но бесконечно возрастает при ε → 0. В том же разделе было показано, что от положительной “добавки” ε в коэффициентепри первом слагаемом можно избавиться, но за счет существенногоухудшения скорости убывания второго слагаемого: с экспоненциальной до степенной; в случае же пуассоновских сумм при L2+δмы сразуλимеем C(δ) без каких бы то ни было “добавок”, и второе слагаемое приэтом просто равно нулю.Теорема 2.4.9 довольно существенно уточняет неравенствоρ(Fλ , Φ) ≤ Cδ L2+δλ , составляющее утверждение Теоремы 2.4.8.
Для Cδ1351362. Свойства случайных суммпри δ = 0.1, 0.2, . . . , 0.9, известны оценки, значения которых изменяются от 0.8 при δ = 0.9 до 1.1 при δ = 0.1 (см. таблицу, приведенную вТеореме 2.4.8). Из Теоремы 2.4.9 вытекает неравенствоCδ ≤ C(δ),справедливое для δ ∈ (0, 1).Значения C(δ) при некоторых δ приведены в следующей таблице:δ0.050.100.150.200.250.300.35C(δ)0.28670.25920.23520.21410.19550.17910.1645δ0.400.450.500.550.600.650.70C(δ)0.15150.13990.12940.12010.11160.10400.0970δ0.750.800.850.900.951.00C(δ)0.09070.08500.07970.07500.07060.0665Сопоставляя эту таблицу с таблицей значений константы Cδ , приведенной в Теореме 2.4.8, мы замечаем, что при всех значениях δ ∈ (0, 1)величина C(δ) существенно меньше Cδ . При этом отношение Cδ /C(δ)изменяется от 4 (при малых δ) до примерно 11 (при δ, близких к единице).Несложно убедиться, что21−δ/2 Γ( 2+δ)12= < 0.31831,δ→0+ π(1 + δ)(2 + δ)πsup C(δ) = lim0<δ<1поэтому мы получаем следующую равномерную по δ оценку постоянной C(δ) в аналоге неравенства Берри–Эссеена для пуассоновских случайных сумм слагаемых в случае, когда слагаемые не имеют третьихмоментов.Следствие 2.2.2.
В условиях (2.4.27) и (2.4.28) с δ ∈ (0, 1) выполнено неравенство C(δ) ≤ 1/π. Другими словами,ρ(Fλ , Φ) ≤1· L2+δλ .π“Гладкий” случайВ этом разделе мы сосредоточися на случае δ = 1, то есть будем считать, чтоβ3 ≡ E|X1 |3 < ∞.(2.4.37)2.4.
Асимптотическая ноpмальность пуассоновских суммНашей целью будет уточнение неравенства Берри–Эссеена, устанавливаемого Теоремой 2.4.3, при дополнительном условии гладкости распределений слагаемых.Асимптотические свойства пуассоновских случайных сумм сходныс соответствующими свойствами сумм случайных величин с неслучайным числом слагаемых. Однако эта аналогия не абсолютна.
Например,в отличие от распределений сумм с неслучайным числом абсолютнонепрерывных случайных величин, распределение определенной вышепуассоновской случайной суммы не является абсолютно непрерывнымиз-за атома в нуле. Функцию распределения центрированной и нормированной пуассоновской суммыSeλ = qSλ − λmλ(m2 + σ 2 )=Sλ − λm√m2 λможно представить в виде смеси двух функций распределения: вырожденной в нуле и абсолютно непрерывной, то есть√Fλ (x) ≡ P(Sλ < λm + m2 λx) =√= e−λ E0 (λm + m2 λx) + (1 − e−λ )Hλ (x),x ∈ IR,(2.4.38)где E0 (x) – функция распределения с единственным единичным скачком в нуле, а Hλ (x) – абсолютно непрерывная функция распределения,Hλ (x) =∞√e−λ Xλk ∗kF (λm + m2 λx),−λ1 − e k=1 k!x ∈ IR,где F ∗k – k-кратная свертка функции распределения F (x) случайнойвеличины X1 с самой собой.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
