korolev_matematicheskie_osnovy_teorii_ri ska (811435), страница 22
Текст из файла (страница 22)
Во-первых, докажем,что существует такая абсолютная постоянная R, что Pn /Qn ≤ R длялюбой последовательности (λn , Yn , Xn ), где Yn удовлетворяют (2.4.23),а Xn имеют три момента. Отметим, что при r ≤ 2(1 + c)/(2c + c2 )22.4. Асимптотическая ноpмальность пуассоновских суммвыполняется неравенство M (r) ≥ R1 r, где R1 = 1+c+(1+c) (2c+c2 )/2.Далее, при r ≥ 2(1 + c) (2c + c2 )2 имеемM (r)1 + s2 (r/2)1 + s2 (r/2)==.r2(1 − s2 (r/2))2 (r/2)2s3 (r/2)Последняя дробь – монотонно убывающая функция от r, значит,M (r)1 + s2 ((1 + c)/(2c + c2 )2 )≥ R2 =.r2s3 ((1 + c)/(2c + c2 )2 )При r ≥ 0 выполняется неравенство M (r) ≥ R3 r, где R3 =min{R1 , R2 }.
Имеем:λ1/2n Qn >(EYn2 )1/2C0 R3M (r1 ) ≥L0 (Xn ).EYn(EYn )1/2(2.4.24)Рассмотрим теперь оценку Pn , которую мы возьмем из Следствия 2.4.1:·λ1/2n PnEXn2= C1 L(Xn ) L(Yn )(EXn )2 + EYn DXn /EYn2¸3/2.Из неравенства Ляпунова (EYn2 )2 ≤ EYn3 EYn и (2.4.23) следует, что1≤EYn3(EYn2 )1/2≤(EYn )1/2 ≤ K.(EYn )1/2(EYn2 )3/2(2.4.25)Значит,·λ1/2n PnKC1 L(Xn )(EXn )2 + DXn≤(EYn )1/2 (EXn )2 + K −2 DXn¸3/2≤C1 K 4 L(Xn ).(EYn )1/2(2.4.26)Итак,C1 K 4 L(X)Pn≤·.QnC0 R3 L0 (X)В силу Леммы 2.4.6PnC1 C2 K 4≤R=.QnC0 R3Первое из утверждений Теоремы 2.4.7 доказано. Для доказательства второго утверждения рассмотрим λ0n = n, случайные величиныdYn0 = 1 и случайные величины Xn0 , принимающие два значения: 2 с1251262. Свойства случайных суммвероятностью 1/n и 1 с вероятностью 1 − 1/n, n = 2, 3, .
. . . Тогда привсех n ≥ 2 справедливы оценкиL0 (Xn0 ) > 0.68 n1/2иL(Xn0 ) < 1.2.Очевидно, при таком выборе {Yn0 } условие (2.4.23) выполняется с K =1, в силу (2.4.26)Pn < 1.2 C1 /n1/2 −→ 0при n → ∞, в то же время из (2.4.24) следует, чтоQn > 0.68 C0 R3 .Теорема доказана.2.4.5Уточнения неравенства Берри–Эссеена дляпуассоновских случайных суммВ данном разделе, основанном на работе (Шевцова, 2006а) мы представим результаты, обобщающие и уточняющие приведеное в разделе 2.4.2неравенство Берри–Эссеена для пуассоновских случайных сумм.
Этирезультаты по духу аналогичны уточнениям классического неравенства Берри–Эссеена, приведенным в разделе 1.6.3. При этом, в отличиеот раздела 1.6.3, где рассматривались стандартизованные слагаемые,мы рассмотрим пуассоновскиe суммы независимых одинаково распределенных случайных величин X1 , X2 , . . ., удовлетворяющих условиямEX1 = m,DX1 = σ 2 .(2.4.27)Это делается для сохранения общности – ведь при случайном суммировании центрирование слагаемых константами оказывается эквивалентным центрированию самих сумм случайными величинами, что, вообщеговоря, порождает некоторые проблемы при построении асимптотических аппроксимаций для распределений случайных сумм.
Результатыданного раздела проясняют реальную точность оценок, приведенныхвыше.Пусть λ – положительное число, Nλ – пуассоновская случайная величина c параметром λ, распределение которой имеет видP(Nλ = k) = e−λ λk /k!,k = 0, 1, . . .2.4. Асимптотическая ноpмальность пуассоновских суммМы будем предполагать, что для каждого λ > 0 случайные величиныNλ , X1 , X2 , . . . независимы. Как и ранее, обозначимSλ = X1 + . .
. + XNλP(для определенности мы полагаем 0j=1 = 0).В этом разделе мы уточним приведенные выше результаты и распространим результаты, приведенные в разделе 1.6.3, на пуассоновскиеслучайные суммы, построим оценки скорости сходимости функции распределенияµ¶Sλ − λmFλ (x) ≡ P q<xλ(m2 + σ 2 )к стандартной нормальной функции распределения Φ(x), которые позволят оценить асимптотически правильные константы в неравенствеБерри–Эссеена для пуассоновских случайных сумм.При построении оценок равномерного расстоянияρ(Fλ , Φ) = sup |Fλ (x) − Φ(x)|xмы рассмотрим два случая: общий, когда мы не располагаем никакойинформацией о распределении слагаемых, кроме условия (2.4.27) и существования абсолютного момента порядка 2 + δβ2+δ ≡ E|X1 |2+δ < ∞(2.4.28)с δ ∈ (0, 1] и “гладкий” – когда вдобавок к условиям (2.4.27) и (2.4.28)мы предполагаем абсолютную интегрируемость характеристическойфункции f (t) случайной величины X1 :+∞ZQ ≡|f (t)|dt < ∞.(2.4.29)−∞Заметим, что из последнего условия согласно теореме Римана–Лебегавытекает абсолютная непрерывность случайной величины X1 и, болеетого, ограниченность ее плотности p(x) числом Q/2π:+∞+∞Z1 Z1Q−itxsupe f (t)dt ≤.A ≡ sup p(x) =|f (t)|dt =2π x2π2πx−∞−∞Прииз доказанного в работе (Прохоров, 1963) неравенства A ≥√ этом−1(2 3) , справедливого для всех абсолютно непрерывных случайных1271282.
Свойства случайных суммвеличин с нулевым ожиданием, единичной дисперсией и ограниченнойплотностью p(x), следует, что при условиях (2.4.27) число Q также неможет быть сколь угодно близко к нулю, а именно, всегда выполненонеравенствоπQ ≥ √ .σ 3Обозначимm22 = EX12 (= m2 + σ 2 ).Характеристическую функцию нормированной суммыξλ ≡Sλ − λm√m2 λбудем обозначать fλ (t),½itξλfλ (t) = Ee= E exp it q½ · µ= exp λ f¾Sλ − λm=λ(m2 + σ 2 )t√m2 λ¶−imt√ −1m2 λ¸¾.Вспомогательные результатыСледующая лемма устанавливает связь между распределениями пуассоновских сумм и сумм случайных величин с неслучайным числом слагаемых.
Это утверждение является основным инструментом, которыймы будем использовать, применяя известные результаты, справедливые в классической ситуации, к пуассоновским случайным суммам.Обозначимλν= .nЛемма 2.4.7. Распределение пуассоновской случайной суммы Sλсовпадает с распределением неслучайной суммы n независимых одинаково распределённых случайных величин, каким бы ни было натуральное число n ≥ 1:dX1 + . .
. + XNλ = Yν,1 + . . . + Yν,n ,(2.4.30)где при каждом n случайные величины Yν,1 , . . . , Yν,n независимы и одинаково распределены. При этом, если случайная величина X1 удовлетворяет условиям (2.4.27) и (2.4.28) с 0 < δ ≤ 1, то для моментовслучайной величины Yν,1 имеют место соотношения:EYν,1 = m · ν,DYν,1 = m22 · ν,2.4. Асимптотическая ноpмальность пуассоновских сумм129E|Yν,1 − mν|2+δ ≤ νβ2+δ (1 + 40ν) при n ≥ λ.Д о к а з а т е л ь с т в о. В основе доказательства лежит безграничная делимость пуассоновского распределения, из которой следует, чтодля любого натурального n ≥ 1 характеристическая функция fSλ (t)пуассоновской суммы Sλ может быть представлена в видеfSλ (t) = exp {λ(f (t) − 1)} = [ exp {ν(f (t) − 1)}]n ≡ [fYν,1 (t)]n ,где ν = λ/n, а fYν,1 – характеристическая функция случайной величины Yν,1 .
Из её вида вытекает, что распределение каждого из слагаемых Yν,1 , . . . , Yν,n совпадает с распределенем случайной суммы исходных случайных величинdYν,k = X1 + . . . + XNν ,k = 1, . . . , n,где Nν – случайная величина, распределённая по закону Пуассона спараметром ν и независимая от последовательности X1 , X2 , . . . Отсюданепосредственно вытекают соотношения между первым и вторым моментами случайных величин Yν,1 и X1 . Докажем соотношение междуабсолютными моментами порядка 2 + δ. По формуле полной вероятности³E|Yν,1 − mν|2+δ ≤ e−ν ν 2+δ |m|2+δ + νE|X1 − mν|2+δ ++∞Xνkk=2k!´E|X1 + .
. . + Xk − mν|2+δ .Второе и третье слагаемые в этой сумме рассмотрим по отдельности.Для этого, не ограничивая общности, будем считать, что n ≥ λ, то естьν ≤ 1. В силу неравенства Минковского мы имеем³E|X1 − mν|2+δ´12+δÃ≤ (β2+δ )12+δ+ |m|ν = (β2+δ )12+δ!|m|ν1+.(β2+δ )1/(2+δ)Пользуясь тем, что ν ≤ 1 и 0 < δ ≤ 1, а также тем, что в силу неравен1/(2+δ)ства Ляпунова отношение |m|/β2+δне превосходит 1, получаемE|X1 − mν|2+δ ≤ β2+δ (1 + ν)2+δ ≤ β2+δ (1 + ν)3 ≤ β2+δ (1 + 7ν).Для оценивания третьего слагаемого заметим, что из неравенства Ляпунова несложно получить следующее неравенство (см., например,(Бхаттачария и Ранга Рао, 1982), с.
62):kk¯X¯rX¯¯¯xi ¯ ≤ k r−1|xi |r ,i=1i=1xi ∈ IR, i = 1, . . . , k, r ≥ 1.1302. Свойства случайных суммПри r = 2 + δ из этого неравенства вытекает, чтоE|X1 + . . . + Xk − mν|2+δ ≤ E(|X1 | + . . . + |Xk | + |m|ν)2+δ ≤≤ (k + 1)1+δ (kβ2+δ + (|m|ν)2+δ ) ≤ β2+δ (k + 1)3(здесь мы воспользовались тем, что 0 < δ ≤ 1, |m|2+δ ≤ β2+δ и ν ≤ 1).Таким образомE|Yν,1 − mν|2+δ≤ νE|X1 − mν|2+δ+∞Xνkk=2k!E|X1 + . . . + Xk − mν|2+δ ++ν 2+δ |m|2+δ ≤ νβ2+δ [1 + (8 + K)ν],гдеK=∞X(k + 1)3k=2k!= 15e − 9 < 32(см.
доказательство Теоремы 2.4.3), откуда и следует утверждение леммы.Пусть X – произвольная случайная величина. ОбозначимΛ2+δ0 (X) =E|X − EX|2+δ,(DX)(2+δ)/2Λ2+δ1 (X) =E|X|2+δ.(EX 2 )(2+δ)/22+δВеличины Λ2+δ0 (X) и Λ1 (X) будем называть соответственно центральным и нецентральным ляпуновскими отношениями.Очевидно, чтоΛ2+δ≡ Λ2+δ00 (X1 ) =Λ2+δ≡ Λ2+δ11 (X1 ) =E|X1 − m|2+δ,σ 2+δβ2+δβ2+δ.2+δ =2(m + σ 2 )(2+δ)/2m2ВеличинуL2+δ=λβ2+δβ2+δΛ2+δ1= 2+δ δ/2 =δ/22λ(m + σ 2 )(2+δ)/2 λδ/2m2 λмы будем называть нецентральной ляпуновской дробью порядка 2 + δ.Из леммы 2.4.7 вытекаетСледствие 2.4.1.
В предположениях (2.4.27) и (2.4.28) распределение стандартизованной пуассоновской случайной суммыSeλ =Sλ − λm√m2 λ2.4. Асимптотическая ноpмальность пуассоновских суммсовпадает с распределением нормированной неслучайной суммы nнезависимых одинаково распределённых стандартизованных случайных величин, каким бы ни было натуральное число n ≥ 1:n1 XdSeλ = √Zν,k ,n k=1где при каждом n случайные величины Zν,1 , . . . , Zν,n независимы, одинаково распределены и имеют нулевое среднее и единичную дисперсию.Кроме того, при всех n ≥ λ их абсолютный момент порядка 2+δ ограничен величинойE|Zν,1 |2+δ≤Λ2+δ1 (X1 )(1µ ¶δ/2+ 40ν)nλ,ν=λ.nД о к а з а т е л ь с т в о.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
