korolev_matematicheskie_osnovy_teorii_ri ska (811435), страница 21
Текст из файла (страница 21)
Если Y – неотрицательная целочисленная случайная величина, то≤ddS = {{Π(λ), Y }, X} = {Π(λ), {Y, X}}.Д о к а з а т е л ь с т в о сводится к цепочке тождествfS (t) = ψ{Π(λ),Y } (fX (t)) = ψΠ(λ) (ψY (fX (t))) == ψΠ(λ) (f{Y,X} (t)) = f{Π(λ),{Y,X}} (t).2.4. Асимптотическая ноpмальность пуассоновских суммd119Из Леммы 2.4.5 следует, что случайная величина S = {{Π(λ),Y }, X}, являющаяся случайной суммой с обобщенным пуассоновскиминдексом {Π(λ), Y } и случайным слагаемым X, одновременно является случайной суммой с пуассоновским индексом Π(λ) и случайнымслагаемым {Y, X}.
Благодаря этому анализ распределения случайнойвеличины S можно провести с помощью результатов для случайныхсумм с пуассоновским индексом.Д о к а з а т е л ь с т в о Теоремы 2.4.6. В силу Леммы 2.4.5 имеемddS = {Π(λ), {Y, X}}. Пусть U = {Y, X}. Из Леммы 2.4.4 следует, что|FSe(x) − Φ(x)| = |F{Π(λ),Ug } (x) − Φ(x)| ≤ C1E|U |3.λ1/2 (EU 2 )3/2Очевидно, чтоE|U |3 ≤ E|{Y, |X|}|3 = (EY 3 − 3EY 2 + 2EY ) (E|X|)3 ++3(EY 2 − EY ) E|X| EX 2 + EY E|X|3 ,EU 2 = (EY 2 − EY ) (EX)2 + EY EX 2 ,откуда и следует утверждение Теоремы 2.4.6.Неравенство (2.4.17) является самым точным из результатов данного раздела, но имеет достаточно сложный вид. Более наглядная оценкасодержится в следующем утверждении.Следствие 2.4.1. Справедлива оценка∆≤C1EY 3 E|X|3·=λ1/2 [EY 2 (EX)2 + EY DX]3/2·L(X) L(Y )EX 2 EY 2= C1·λ1/2EY 2 (EX)2 + EY DX¸3/2.(2.4.18)Неравенство (2.4.18) вытекает из (2.4.17) в силу того, что(E|X|)3 ≤ E|X|3 ,E|X|EX 2 ≤ E|X|3иY (Y − 1)(Y − 2) + 3Y (Y − 1) + Y = Y 3 .Правая часть (2.4.18) совпадает с правой частью (2.4.17) в случае,когда либо случайная величина X является вырожденной, либо случайная величина Y вырождена в единице.
Очевидно, что в остальныхслучаях неравенство (2.4.18) “хуже", чем (2.4.17).1202. Свойства случайных суммОбозначимL00 (N ) =E(N − EN )3.(DN )3/2Так какE{Π(λ), Y − EY }3 = λEY 3 ,тоL00 (N ) = L(Y )/λ1/2 .Неравенство (2.4.18) может быть переписано эквивалентным образом с использованием только моментов случайных величин N и X (тоесть для вычисления значения оценки не обязательно знать величинуλ и моменты случайной величины Y ).Следствие 2.4.2. Справедлива оценка∆ ≤ C1E(N − EN )3 E|X|3[DN (EX)2 + EN DX]3/2·=C1 L(X) L00 (N )EX 2 EN 2(EX)2 EN 2 + EN DX=¸3/2.(2.4.19)Данное следствие вытекает из (2.4.18) и свойств моментов случайной величины N .Так как EY 2 ≥ EY , то для выражения EY 2 (EX)2 + EY DX, присутствующего в знаменателе правой части неравенства (2.4.18), можновыписать следующие нижние оценки:EY 2 (EX)2 + EY DX ≥ EY 2 (EX)2иEY 2 (EX)2 + EY DX ≥ EY EX 2 .Значит, из (2.4.18) вытекает следующий результат.Следствие 2.4.3.
Справедлива оценка½¾C1E|X|3EY 3∆ ≤ 1/2 min L(Y ), L(X).λ|(EX)3 |(EY )3/2Очевидно, что данное неравенство (как и все приведенные выше)является обобщением (2.4.16) (с сохранением абсолютной постоянной).Чтобы из Теоремы 2.4.6 и следствий 2.4.1 – 2.4.3 получить оценкуdd(2.4.16), достаточно положить Y = 1 или, что то же самое, N = Π(λ).Отметим, что, если распределение случайной величины X фиксировано, причем EX 6= 0, то необходимым и достаточным условием сходимости правой части соотношения (2.4.19) к нулю является L00 (N ) → 0.2.4. Асимптотическая ноpмальность пуассоновских суммВ терминах моментов случайной величины Y это условие выглядиттак:L(Y )→ 0.(2.4.20)λ1/2Очевидно, что данное условие выполняется, если λ → ∞, а распределение случайной величины Y , являющейся случайным слагаемымдля случайной суммы N , фиксировано.
Однако при рассмотрении произвольной последовательности обобщенных пуассоновских случайныхdвеличин Nk = {Π(λk ), Yk } даже с неограниченно растущим параметромλk , но с различными распределениями случайных величин Yk , выполнение условия (2.4.20) не гарантировано.С целью сравнить приведенные выше оценки с аналогичными оценками, полученными с помощью других методов в (Королев, 1988),(Круглов и Королев, 1990), предположим, что λ → ∞.В (Круглов и Королев, 1990) доказано следующее утверждение,уточняющее оценку из (Englund, 1983): если случайные величины Xи N имеют три конечных момента, то для любого q ∈ (0, 1)∆ ≤ C0L0 (X)E|N − EN |+w(q)+ sup |FNe (x) − Φ(x)|,q 1/2 (EN )1/2ENx(2.4.21)где C0 – постоянная из оценки Берри–Эссеена для одинаково распределенных слагаемых (см.
Лемму 2.4.4),¸·11, 1/2,w(q) = max1 − q cq (1 + q 1/2 )c = (2πe)1/2 .Для того, чтобы сравнить неравенство (2.4.21) с Теоремой 2.4.6 иследствиями из нее, следует выяснить, как выглядит (2.4.21) в ситуации, когда случайная величина N имеет обобщенное пуассоновскоераспределение. Для этого нужно, прежде всего, заменить в правой части (2.4.21) величину supx |FNe (x) − Φ(x)| на ее оценку, получаемую спомощью методов (Королев, 1988), (Круглов и Королев, 1990). Такаяоценка приведена в (Bening, Korolev and Shorgin, 1997):½·sup |FNe (x) − Φ(x)| ≤ λ−1/2 C0 + inf0<p<1xC0 L0 (Y )+ w(p)p1/2d¾¸.Кроме того, в случае, когда N = {Π(λ), Y }, в силу неравенства Ляпунова E|N − EN | ≤ (DN )1/2 = λ1/2 (EY 2 )1/2 .
В результате заключаем,что для случайной величины N , имеющей обобщенное пуассоновскоераспределение,½½∆ ≤ λ−1/2inf0<q<1¾C0L0 (X)(EY 2 )1/2+w(q)+q 1/2 (EY )1/2EY1211222. Свойства случайных сумм½+C0 + inf0<p<1¾¾C0 L0 (Y )+ w(p)p1/2.В силу Леммы 3 из (Bening, Korolev and Shorgin, 1997) данное неравенство можно переписать так:½∆≤λгдеM (r) =−1/2¾(EY 2 )1/2M (r1 ) + C0 + M (r2 ) ,EY1 + s2 (r/2) (1 − s2 (r/2))2при r ≥(1 + c)2 r (1 + c) +2при2c + cr≤(2.4.22)2(1 + c),(2c + c2 )22(1 + c),(2c + c2 )2s(u) – решение уравненияs3 (u)=u(1 − s2 (u))2(которое существует и единственно при любом u > 0),qr1 = C0 E(Y )/E(Y 2 ) L(X),r2 = C0 L0 (Y ).Отметим, что r2 ≥ 2(1 + c)/(2c + c2 )2 .Точное решение вопроса, в каких случаях лучше оценка из (2.4.17),а в каких – оценка из (2.4.22), представляется затруднительным в силу сложности выражений, стоящих в правых частях этих неравенств.Поэтому для практического применения можно рекомендовать “объединенную"оценку:∆ ≤ min{P, Q},где P – правая часть неравенства (2.4.17), Q – правая часть (2.4.22).Для корректной постановки задачи сравнения асимптотического поведения этих оценок при λ → ∞ рассмотрим следующую схему серий.Пусть при каждом n заданы положительный параметр λn , случайнаявеличина Mn , имеющая пуассоновское распределение с параметром λn ,последовательность одинаково распределенных неотрицательных целочисленных случайных величин Y1n , Y2n , .
. . и последовательность одинаково распределенных случайных величин X1n , X2n , . . . , причем прикаждом n все перечисленные случайные величины независимы в совокупности. При различных n как случайные величины Yin , так и случайные величины Xin могут быть распределены по-разному. Рассмотримddпоследовательности случайных сумм Nn = Y1n + · · · + YMn n , Sn = X1n +· · · + XMn n и последовательность величин ∆n = supx |FSen (x) − Φ(x)|.2.4.
Асимптотическая ноpмальность пуассоновских суммdddПредположим, что Yn = Y1n , Xn = X1n . Тогда Nn = {Π(λn ), Yn }dи Sn = {Nn , Xn }. Отметим, что значение ∆n определяется тройкой(λn , Yn , Xn ) (естественно, имеются в виду распределения случайныхвеличин Yn и Xn ).Итак, справедливы неравенства ∆n ≤ Pn , ∆n ≤ Qn , где Pn – праваяddчасть неравенства (2.4.17) для λ = λn , Y = Yn , X = Xn , Qn – праваячасть неравенства (2.4.22) при этих же λ, Y, X. Конечно, значения Pnи Qn также зависят от тройки (λn , Yn , Xn ), поэтому при необходимостибудет использоваться запись Pn (λn , Yn , Xn ) и Qn (λn , Yn , Xn ).Следующая теорема показывает, что существует некоторое естественное множество распределений случайных величин Yn (см.
условие(2.4.23)), такое, что для всех случайных величин Xn , имеющих три момента, и для Yn , удовлетворяющих (2.4.23), оценка Pn в определенномсмысле более точна, чем оценка Qn .Теорема 2.4.7. Рассмотрим случайные величины Yn , удовлетворяющие условиюEYn3 (EYn )1/2 ≤ K(EYn2 )3/2 ,(2.4.23)где K ≥ 1 есть абсолютная постоянная. Существует абсолютная постоянная R (зависящая от K) такая, что для любых λn > 0, любыхслучайных величин Yn , удовлетворяющих (2.4.23), и любых случайныхвеличин Xn , имеющих три конечных момента, выполнено неравенствоPn /Qn ≤ R.В то же время существует такая последовательность троек(λ0n , Yn0 , Xn0 ), где случайные величины Yn0 удовлетворяют (2.4.23), а случайные величины Xn0 имеют три конечных момента, чтоPn (λ0n , Yn0 , Xn0 ) −→ 0 (λn → ∞),но Qn (λ0n , Yn0 , Xn0 ) не стремится к нулю.Замечание 2.4.1.
Из этой теоремы следует, что (в рамках описанного класса распределений случайных величин Yn и Xn ) для всехтех последовательностей распределений случайных величин Sn , асимптотическую нормальность которых гарантирует оценка Qn , оценка Pnтакже сообщает об их асимптотической нормальности (и имеет “не худший"порядок скорости сходимости к нулю, чем Pn ).
В то же времяналичие такой последовательности троек (λ0n , Yn0 , Xn0 ), что оценка Pn“улавливает"асимптотическую нормальность соответствующей последовательности распределений случайных величин Sn , но оценка Qn этого не “улавливает", означает, что в рамках данного класса распределе-1231242. Свойства случайных суммний случайных величин Yn и Xn оценка вида Pn является асимптотически более точной, чем оценка вида Qn . Естественно, можно выделитьи такой класс распределений случайных величин Yn и Xn , в рамкахкоторого асимптотически более точной является оценка Qn , однако вданном разделе этот вопрос рассматриваеться не будет.Замечание 2.4.2.
Отметим, что условиям (2.4.23) удовлетворяют,в частности, случайные величины Yn , удовлетворяющие условиюEYn3 ≤ KEYn2(K – абсолютная постоянная). Это следует из того, чтоEYn3 (EYn )1/2 ≤ KEYn2 (EYn )1/2 ≤ K(EYn2 )3/2 .В частности, этому условию удовлетворяют все случайные величины,равномерно ограниченные величиной K.Замечание 2.4.3. Неравенство K ≥ 1 вытекает из (2.4.25).Доказательство Теоремы 2.4.7 основывается на следующем утверждении.Лемма 2.4.6. Для любой невырожденной случайной величины Z,имеющей три конечныхмомента, L(Z) ≤ C2 L0 (Z), причем можно√положить C2 = 2 2 < 2.83.Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть EZ = α, DZ = σ 2 , Z0 = Z − α. Неограничивая общности, предположим, что α > 0.
ТогдаL(Z) =E|Z0 + α|3E|Z0 |3 + 3σ 2 α + 3E|Z0 |α2 + α3≤≤(σ 2 + α2 )3/2(σ 2 + α2 )3/2≤ E|Z0 |3σ 3 + 3σ 2 α + 3σα2 + α3.σ 3 (σ 2 + α2 )3/2Поскольку L0 (Z) = E|Z0 |3 /σ 3 , тоL(Z) ≤ L0 (Z) maxx≥0(1 + x)3.(1 + x2 )3/2Максимум в√правой части последнего неравенства достигается приx = 1 и равен 2 2, откуда и следует утверждение леммы.Д о к а з а т е л ь с т в о Теоремы 2.4.7.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
