korolev_matematicheskie_osnovy_teorii_ri ska (811435), страница 16
Текст из файла (страница 16)
Пусть случайная величина N имеет геометрическое распределение (2.1.1).1◦ . Пусть случайная величина X1 неотрицательна и 0 < α1 = EX1 <∞. Тогдаsup|P(pα1−1 SN < x) − G(x)| −→ 0,xasp → 0.2◦ . Пусть случайная величина X1 неотрицательна, α1 = EX1 > 0 иα2 = EX12 < ∞. Тогдаsup|P(pα1−1 SN < x) − G(x)| ≤xpα2.(1 − p)α123◦ . Пусть α1 = EX1 = 0, 0 < α2 = EX12 < ∞. Тогда при p → 0выполнено соотношение√ −1/2sup|P( pα2 SN < x) − Λ(x)| −→ 0,x942.
Свойства случайных суммгде Λ(x) – функция распределения Лапласа с плотностьюλ(x) = Λ0 (x) = 2−1/2 e−√2|x|,x ∈ IR.4◦ . Пусть α1 = EX1 = 0, 0 < α2 = EX12 и βr = E|X1 |r < ∞, 2 < r ≤ 3.Тогда существует абсолютная постоянная C(r) ∈ (0, ∞), зависящаятолько от r, такая, чтоβrp√ −1/2(1 − p) sup|P( pα2 SN < x) − Λ(x)| ≤ C(r)pr/2−1 r + .α2 2xЗдесь C(r) ≤ C0 Γ(2 − r/2)(log 2)2−r/2 , а C0 – абсолютная постояннаяиз неравенства Берри–Эссеена. В частности, C(3) ≤ 1.1297.Д о к а з а т е л ь с т в о. Первое утверждение составляет сутьтеоремы Реньи (см., например, (Kalashnikov, 1997), (Бенинг и Королев, 2000)).
Второе утверждение доказано в (Kalashnikov, 1997). Третьеутверждение является частным случаем центральной предельной теоремы для случайных сумм (см., например, (Королев, 1997)). Четвертоеутверждение можно найти в (Круглов и Королев, 1990).В заключение данного раздела рассмотрим взаимосвязь пуассоновских и геометрических случайных сумм.Лемма 2.1.1. Пусть M – целочисленная обобщенная пуассоновская случайная величина (см.
разделы 1.5 и 4.1), X1 , X2 , . . . – одинаково распределенные случайные величины с общей характеристическойфункцией f (t). Предположим, что случайные величины M, X1 , X2 , . . .независимы. Тогда случайная величина SM = X1 + . . . + XM являетсяпуассоновской случайной суммой.Д о к а з а т е л ь с т в о. Производящая функция ψM (s) случайной величины M имеет вид ψM (s) = exp{λ(ψ(s) − 1)}, где ψ(s) –производящая функция.
В соответствии с пунктом 3 Теоремы 2.1.1 характеристическая функция fSM (t) случайной суммы SM имеет видfSM (t) = ψM (f (t)) = exp{λ(ψ(f (t)) − 1)}.(2.1.5)Но из пункта 1 Теоремы 2.1.2 и пункта 3 Теоремы 2.1.1 вытекает, что(2.1.5) является характеристической функцией пуассоновской случайной суммы Y1 + . . . + YN , в которой случайная величина N имеет расdпределение Пуассона с параметром λ, Yj = X1 + .
. . + XL , j = 1, 2, . . ., L– случайная величина, производящая функция которой равна ψ(s), ислучайные величины N, Y1 , Y2 , . . . независимы, как и случайные велиdчины L, X1 , X2 , . . .. Другими словами, SM = Y1 + . . . + YN .2.1. Элементарные свойства случайных сумм95Лемма 2.1.2. Пусть M – случайная величина с геометрическимраспределениемP(M = n) = p(1 − p)n ,n = 0, 1, . .
.(2.1.6)Тогда M является обобщенной пуассоновской случайной величиной.Д о к а з а т е л ь с т в о (см. главу XII, раздел 2, в (Феллер,1984), том 1). Производящая функция величины M имеет вид (2.1.2).Положим1λ = log p1 , ψ(s) = λ1 log 1−(1−p)s.Тогда несложно видеть, что ψM (s) = exp{λ(ψ(s) − 1)}. Остается убедиться, что ψ(s) – производящая функция. Но, используя разложениелогарифмической функции в ряд Тейлора, мы видим, чт∞X11λ[(1 − p)s]kψ(s) = log=,λ1 − (1 − p)skk=1тогда какλ∞X(1 − p)kk=1k= 1,то есть набор {λ(1−p)k /k}∞k=1 задает дискретное распределение вероятностей (это распределение обычно называют логарифмическим или распределением логарифмического ряда; оно было введено в (Fisher, Corbetand Williams, 1943), также см. (Кендалл и Стюарт, 1969)).Теорема 2.1.4.
Любая геометрическая случайная сумма является пуассоновской случайной суммой. Более точно, если M, X1 , X2 , . . . –независимые случайные величины такие, что M имеет геометрическое распределение (2.1.6) и X1 , X2 , . . . одинаково распределены с общейхарактеристической функцией f (t), тоdX1 + . . . + XM = Y1 + . . . + YN ,где N – пуассоновская случайная величина с параметром log p1 , случайные величины N, Y1 , Y2 , . . .
независимы, причем Y1 , Y2 , . . . имеют однои то же распределение с характеристической функциейµfY1 (t) =d¶11,1 log1 − (1 − p)f (t)log pто есть Yj = X1 + . . . + XL , j = 1, 2, . . ., где случайная величина Lkимеет логарифмическое распределение P(L = k) = log p1 · (1−p), k =k1, 2, . . ., и независима от X1 , X2 , . . ..962. Свойства случайных суммД о к а з а т е л ь с т в о.вытекает из Лемм 2.1.1 и 2.1.2.Это утверждение непосредственноСледствие 2.1.1. Пусть SN – пуассоновская случайная сумма схарактеристической функцией exp{λ(f (t) − 1)}. Если функцияg(t) =1 − e−λf (t)1 − e−λявляется характеристической, то SN – геометрическая случайнаяdсумма, SN = Y1 + . .
. + YM , где случайные величины M, Y1 , Y2 , . . .независимы, причем M имеет геометрическое распределение (2.1.6)с p = e−λ , а Y1 , Y2 , . . . одинаково распределены с общей характеристической функцией g(t).Следствие 2.1.2. Любая геометрическая случайная сумма безгранично делима.Дальнейшие сведения о случайных суммах можно найти в книгах(Круглов и Королев, 1990), (Gnedenko and Korolev, 1996), (Королев,1997) и (Бенинг и Королев, 2002).2.2Пуассоновски-смешанные и обобщенные пуассоновские распределенияСначала дадим определение смеси вероятностных распределений.Пусть функция F (x, y) определена на множестве IR × Y, где для простоты предполагается, что Y ⊆ IRm при некотором m ≥ 1 и множество Y снабжено борелевской σ-алгеброй Y.
Далее, предположим, чтоF (x, y) является функцией распределения как функция аргумента xпри каждом фиксированном y и F (x, y) измерима по y при каждомфиксированном x, то есть {y : F (x, y) < c} ∈Y при каждых x ∈ IRи c ∈ IR. Пусть Q – вероятностная мера, определенная на измеримомпространстве (Y, Y).Определение 2.2.1. Функция распределенияZH(x) =F (x, y)Q(dy)(2.2.1)Yназывается смесью функции распределения F (x, y) по y относительнораспределения Q. При этом F (x, y) называется смешиваемым распределением, а Q называется смешивающим распределением.2.2Обобщенные пуассоновские распределения97Если F (x, y) – распределение Пуассона с параметром y, то распределение H(x) называется смешанным пуассоновским.
Такие распределения будут подробно рассмотрены в главе 6. Здесь же мы сконцентрируем внимание на ситуации, в которой в соотношении (2.2.1) Y – множество неотрицательных целых чисел, а Q – это распределение Пуассонас некоторым параметром µ. В отличие от пуассоновских распределениймы будем называть такие вероятностные распределения пуассоновскисмешанными.Пример 2.2.1. Предположим, что в (2.2.1) F (x, y) – это распределение Пуассона с параметром λy, λ =const> 0, а Q(y) – это функцияраспределения Пуассона с параметром µ.
Если X – случайная величинас функцией распределения H, то для k = 0, 1, 2, . . ., очевидно,P(X = k) =∞ −jλXe (jλ)k e−µ µjk!j=0−λλk e−µ+µe=k!∞X−λe−µej=0j!∞λk e−µ Xjk=(µe−λ )j =k! j=0j!(µe−λ )j k λk mk (µe−λ ) −µ+µe−λj =e,j!k!(2.2.2)где mk (λ) – k-й момент распределения Пуассона с параметром λ > 0.Распределение (2.2.2) было введено Ю. Нейманом в (Neyman, 1939) всвязи с некоторыми задачами из области энтомологии и бактериологии.Оно называется (инфекционным) распределением Неймана типа А.Пример 2.2.2. Предположим, что в (2.2.1) F – это гаммараспределение с параметром масштаба y и параметром формы α > 0,плотность которого имеет видp(x) =y α −yx α−1e x ,Γ(α)x > 0.Тогда плотность, соответствующая функции распределения H имеетвидxα−1q(x) =exp{−µ + µe−x }mα (µe−x ), x > 0.(2.2.3)Γ(α)В работе (Consael, 1952) приведено выражение для H(x) в терминахбесселевых функций. Более того, если α = 1, то p(x) становится плотностью экспоненциального распределения с параметром y и соответственно, плотность (2.2.3) становится плотностью распределения Гумбеля (распределения экстремальных значений типа III)q(x) = µ exp{µ − x + e−x },x > 0.982.
Свойства случайных суммДругие примеры пуассоновски-смешанных распределений можнонайти, например, в книге (Haight, 1967).В данной главе мы в основном будем иметь дело с частным случаемсоотношения (2.2.1), когда Y – это множество неотрицательных целыхчисел, а F (x, y) = G∗y (x) для некоторой функции распределения G.Здесь символ G∗k обозначает k-кратную свертку функции распределения G с самой собой: G∗0 (x) – это функция распределения с единственным единичным скачком в нуле, и G∗k = G ∗ G∗(k−1) для k ≥ 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
